第1章 §3 弧度制（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

弧度制 (基本概念课——逐点理清式教学) §3 课时目标 1.了解弧度制下,角的集合与实数集之间的一一对应关系. 2.明确圆周角度数和弧度数,有助于熟练掌握角度与弧度的互化. 3.掌握弧长公式和扇形面积公式,熟悉特殊角的弧度数. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　弧度概念 逐点清(二)　弧度与角度的换算 逐点清(三)　用弧度制表示角的集合 4 逐点清(四)　 弧长公式与面积公式的应用 5 课时跟踪检测 逐点清(一)　弧度概念 01 1.弧度 在单位圆(半径为 1的圆)中,把 的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示,读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写). 2.弧度制 在单位圆中,每一段 就是它所对圆心角的弧度数.这种以 作为单位来度量角的方法,称作弧度制. 单位长度 长度等于1 弧的长度 弧度 多维理解 3.弧度数 一般地,弧度与实数一一对应.正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个 ,零角的弧度数是 . 正数 负数 0 |微|点|助|解| (1)1弧度的角与1度的角所指含义不同,大小更不同. (2)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角,角的大小与“半径”大小无关. (3)用“度”作为单位度量角时,“度”(即“°”)不能省略,而用“弧度”作为单位度量角时,“弧度”二字或“ rad”通常省略不写. 1.下列命题是假命题的为 (　 ) A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关 解析:根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题,故选D. √ 微点练明 2.下列说法正确的是 (　 ) A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 解析:对于A,根据弧度的定义知,“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”,故A正确;对于B,大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等,故B错误;对于C,只有在同圆或等圆中,1弧度的圆心角所对的弧长是相等的,故C错误;对于D,用弧度表示的角也可以是负角或零角,故D错误. √ 3.时针经过一小时,转过了　　　　rad.  4.若θ=-5,则角θ的终边在第　　　　象限.  解析:2π-5与-5的终边相同, ∵2π-5∈,∴2π-5是第一象限角,则-5也是第一象限角. - 一 逐点清(二)　弧度与角度的换算 02 角度化弧度 弧度化角度 360°= rad=360° 180°= _______ π rad= 1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad= ≈57°18' __________ 2π rad ______ 2π π rad 180° _____ 多维理解 |微|点|助|解| 1.角度与弧度互化的原则和方法 (1)原则:牢记180°=π rad,充分利用1°= rad,1 rad=°进行 换算. (2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n, 则α rad=°;n°=n· rad. 2.角度制与弧度制中的易错点 角度制与弧度制是两种不同的度量制度,在表示角时不能混用,例如α=k·360°+(k∈Z),β=2kπ+60°(k∈Z)等写法都是不规范的,应写为α=k·360°+30°(k∈Z),β=2kπ+(k∈Z). 1.(多选)下列转化结果正确的是 (　 ) A.72°化成弧度是 B.-π化成角度是-660° C.-150°化成弧度是-π D.化成角度是15° 解析:因为72°=72×=,所以A正确.因为-π rad=-600°,所以B不正确.因为-150°=- rad,所以C不正确.因为 rad=15°,所以D正确. √ √ 微点练明 2.时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为 (　 ) A.π B.-π C.π D.-π 解析:分针每分钟转6°,则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为-6°×(2×60+20)=-840°,∴-840°×=-π,故选B. √ 3.将下列角度与弧度进行互化. (1)20°=　　　　; 解析: 20°=20×=. (2)-15°=　　　　;  解析:-15°=-15×=-. - (3)=　　　　; 解析:=×=105°. (4)-=　　　　.  解析:-=-×=-396°. 105° -396° 4.将下表中的角度和弧度互化: 角度 0° 30° 45° 　  　  120° 135° 150° 　  　  360° 弧度 　  　  　  　  　  　  π 　  0 60° 90° 180° 270° 2π 逐点清(三)　 用弧度制表示角的集合 03 1.弧度制下与角α终边相同的角的表示 在弧度制下,与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍. 2.用弧度表示角的注意点 (1)注意角度与弧度不能混用. (2)各终边相同的角需加2kπ,k∈Z. (3)求两个角的集合的交集时,注意应用数轴直观确定,可对k进行适当的赋值. 多维理解 1.与-330°角终边相同的角的集合为 (　 ) A. B. C. D. 解析:-330°角的弧度数为-,故与其终边相同的角的集合为=.故选B. √ 微点练明 2.用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负 半轴,终边在如图所示的阴影部分内的角的集合 (不包括边界)为 　　　.  解析:以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z),以OB为终边的角 为-+2kπ(k∈Z),所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合 为 . 3.已知角α=2 010°. (1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角; 解:∵2 010°=2 010×==5×2π+,又π<<, ∴α与终边相同,是第三象限角. (2)在区间[-5π,0)上找出与α终边相同的角. 解:∵与α终边相同的角可以写成γ=+2kπ(k∈Z), 又-5π≤γ<0,∴当k=-3时,γ=-;当k=-2时,γ=-;当k=-1时,γ=-. 逐点清(四)　 弧长公式与面积公式的应用 04 设扇形的半径为r,弧长为l,α为其圆心角,则 (1)弧度数公式:α=. (2)弧长公式:l= . (3)扇形面积公式:S=lr=αr2. αr 多微理解 |微|点|助|解| 1.扇形弧长、面积公式的变形运用 (1)l=α·r⇒α=,r=.(2)S=αr2⇒α=. 2.谨记两个注意点 (1)在弧度制中,弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负. (2)运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α是弧度. 1.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮(如图所示), 大轮有25个齿,小轮有15个齿,大轮每分钟转3圈,若小 轮的半径为2 cm,则小轮每秒转过的弧长是 (　 ) A.10π cm B.5π cm C. cm D. cm √ 微点练明 解析:由大轮有25个齿,小轮有15个齿,大轮每分钟转3圈,得小轮每分钟转的圈数为=5,因此小轮每秒钟转的弧度数为=,所以小轮每秒转过的弧长是×2 cm= cm. 2.已知扇形OAB的圆心角为2,弦长AB=2,则扇形的弧长等于 (　 ) A. C. 解析:因为扇形的半径r==,所以扇形的弧长等于α×r=2×=.故选B. √ 3.已知一扇形的圆心角是72°,半径等于20 cm,则扇形的面积为　 cm2.  解析:设扇形的弧长为l, ∵72°=72×=(rad),∴l=αr=×20=8π(cm). ∴S=lr=×8π×20=80π(cm2). 80π 4.已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小; 解:由圆O的半径r=10=AB,知△AOB是等边三角形,所以α=∠AOB=. (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 解:由(1)可知α=,r=10, 则弧长l=α·r=×10=. 扇形的面积S1=lr=××10=. 又△AOB是等边三角形,所以三角形的高 h=10sin=5,S△AOB=×AB×5=×10×5=25, 弓形的面积S=S1-S△AOB=-25=25. 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.下列各命题是真命题的为 (　 ) A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度等于半径的弧 C.1弧度是1°的弧与1°的角之和 D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角 解析:根据弧度制和角度制的规定可知A、B、C均错误,D正确. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知角α=15°,则α的弧度数为 (　 ) A. C. 解析:因为1°=,所以15°=15×=, 所以α的弧度数为.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.若α=-+kπ,k∈Z,则α终边所在象限为(　 ) A.第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限 解析:∵-经过第三象限,则反向延长其终边射线经过第一象限, ∴α=-+kπ,k∈Z经过第一、三象限.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.将-1 485°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是 (　 ) A.-8π B.π-8π C.-10π D.π-10π 解析:因为-1 485°=-5×360°+315°,360°=2π rad,315°=π rad, 所以-1 485°可化成π-10π.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知半径为1的扇形面积为,则 扇形的圆心角为(　 ) A. C. 解析:由S=αr2,得=×α×12,解得α=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长,则这段圆弧所对的圆心角为 (　 ) A. C. 解析:选C　如图,设圆的半径为R,则正方形边长为R, ∴弧长l=R,∴圆心角α===. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(多选)下列命题正确的是 (　 ) A.1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B.5弧度的角是第四象限角 C.α是第一象限角,则-α也是第一象限角 D.-1弧度角是锐角 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:A选项,1弧度的角就是弧长为半径的弧所对的圆心角, A选项错误.B选项,因为<5<2π,所以5弧度是第四象限角.B选项正确. C选项,因为α是第一象限角,即2kπ<α<2kπ+,k∈Z,所以-2kπ-<-α<-2kπ, k∈Z,-2kπ<-α<-2kπ+,k∈Z.所以-α也是第一象限角.C选项正确.D选项,因为-1弧度角是负角,所以不是锐角.D选项错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.《九章算术》是我国算术名著,其中有这样的一个问题:“今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何?”意思是说:“现有扇形田,弧长30步,直径16步,问面积是多少?”在此问题中,扇形的圆心角的弧度数是 (　 ) A. C. D.120 解析:因为直径16步,故半径为R=8步,S==120(平方步). 设扇形的圆心角为α,则S=αR2,即120=α×64⇒α=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(多选)下列表述正确的是 (　 ) A.与终边相同的角的集合是 B.π=180° C.在半径为6的圆中,弧度的圆心角所对的弧长为2π D.第二象限角都是钝角 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:对于A,与终边相同的角的集合是 ,A正确; 对于B,π(rad)=180°,B正确;对于C,在半径为6的圆中,弧度的圆心角所对的弧长为×6=2π,C正确;对于D,第二象限角的取值范围为(k∈Z),不一定为钝角,D错误.故选A、B、C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(多选)小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后,对家里的扇形瓷器盘(图1)产生了浓厚的兴趣,并临摹出该瓷器盘的大致形状,如图2所示,在扇形OAB中,∠AOB=,OB=OA=2,则(　 ) A.∠AOB=30° B.弧长 = C.扇形OAB的周长为+4 D.扇形OAB的面积为 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:∠AOB==60°,所以A错;弧长 =αr=×2=,所以B对; 扇形OAB的周长为+4,所以C对;面积为S=lr=××2=, 所以D错. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.-π的角化为角度制的结果为　　　　.  解析:-π=-°=-300°. -300° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知集合A={x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z},集合B={x|-4≤x≤4},则A∩B=　　　 　.  解析:如图所示, ∴A∩B=[-4,-π]∪[0,π]. [-4,-π]∪[0,π] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.“数摺聚清风,一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句,折扇出人怀袖,扇面书画,扇骨雕琢,是文人雅士的宠物,所以又有“怀袖雅物”的别号,如图,这是折扇的示意图,已知D为OA的中点,OA=4,∠AOB=,则此扇面(扇环ABCD)部分的面积是　　　　.  4π 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意可得整个折扇扇形的半径r=4,圆心角α=, 故扇面面积S=αr2-α·=αr2=××42=4π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(12分)已知α=1 690°. (1)把α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式; 解:1 690°=1 440°+250°=4×360°+250°=4×2π+π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求θ,使θ与α终边相同,且θ∈(-4π,4π). 解:∵θ与α终边相同,∴θ=2kπ+π(k∈Z). 又θ∈(-4π,4π),∴-4π<2kπ+π<4π,解得-<k<(k∈Z). ∴k=-2,-1,0,1.∴θ的值是-π,-π,π,π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(13分)(1)已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm2,求扇形圆心角的弧度数. 解:设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l cm,半径为R cm,依题意有 ①代入②得R2-5R+4=0,解得R=1或R=4.当R=1时,l=8,此时,θ=8 rad>2π rad舍去.当R=4时,l=2,此时,θ==(rad).综上可知,扇形圆心角的弧度数为 rad. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)已知一扇形的周长为4,当它的半径与圆心角取何值时,扇形的面积最大?最大值是多少? 解:设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l,半径为r,面积为S, 则l+2r=4,所以l=4-2r, 所以S=lr=×(4-2r)×r=-r2+2r=-(r-1)2+1, 所以当r=1时,S最大,且Smax=1,此时θ===2(rad). $$