第1章 §2 任意角（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

任意角 (基本概念课——逐点理清式教学) §2 课时目标 1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角. 2.理解并掌握终边相同角的概念,能写出终边相同角组成的集合. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　角的概念推广 逐点清(二)　终边相同的角 逐点清(三)　终边相同角的应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　角的概念推广 01 1.角的概念 平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB,形成角α.其中点O是角α的顶点,射线OA是角α的 ,射线OB是角α的 . 始边 终边 多维理解 2.角的分类 类型 定义 图示 正角 按 方向旋转形成的角 负角 按 方向旋转形成的角 零角 一条射线 作任何旋转,称它形成了一个零角 逆时针 顺时针 没有 3.角的加法 (1)若两角α,β的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α=β. (2)设α,β是任意两个角,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β. (3)把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫作互为相反角,角α的相反角记为-α,α-β=α+(-β). 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)小于90°的角都是锐角. (　 ) (2)终边与始边重合的角为零角. (　 ) (3)大于90°的角都是钝角. (　 ) (4)将时钟拨快20分钟,则分针转过的角度是120°. (　 ) × × × × 微点练明 2.已知∠α=60°36',则∠α的余角是 (　 ) A.29.4° B.29.64° C.119.4° D.119.64° 解析:∠α的余角为90°-60°36'=29°24'=°=29.4°. √ 3.如图,圆O的圆周上一点P以A为起点按逆时针方向 旋转,10 min转一圈,24 min之后OP从起始位置OA转 过的角是 (　 ) A.-864° B.432° C.504° D.864° 解析:因为点P以A为起点按逆时针方向旋转,10 min转一圈,所以点P逆时针方向旋转一分钟转的度数为=36°,设24 min之后OP从起始位置OA转过的角为36°×24=864°。 √ 4.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置绕端点O旋转到达OC位置,得∠AOC=-150°,则射线OB旋转的方向与角度分别为 (　 ) A.逆时针,270° B.顺时针,270° C.逆时针,30° D.顺时针,30° 解析:由题意可得∠AOB=120°,设∠BOC=θ, 则∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+θ=-150°,解得θ=-270°, 所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°。 √ 逐点清(二)　终边相同的角 02 1.象限角 在平面直角坐标系中,角的顶点在 ,始边在 .角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的第几象限,就说这个角是 .如果角的终边在 上,这个角就不属于任何象限. 坐标原点 x轴的非负半轴 第几象限角 坐标轴 多维理解 2.象限角的集合表示 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°+270°<α<k·360°+360°,k∈Z} 3.终边相同的角 一般地,给定一个角α,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β| },即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和. β=α+k·360°,k∈Z |微|点|助|解| (1)角α为任意角,“k∈Z”不能省略. k有三层含义:①特殊性:对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角. ②一般性:表示所有与角α终边相同的角(包括α自身).③从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向转动的圈数.k取正整数时,逆时针转动;k取负整数时,顺时针转动;k=0时,没有转动. (2)k·360°与α中间要用“+”连接,k·360°-α可理解成k·360°+(-α). (3)终边相同的角的相关结论 ①终边相同的角之间相差360°的整数倍. ②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍. ③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍. 1.下列选项中,与角α=-30°终边相同的角是 (　 ) A.30° B.240° C.300° D.330° 解析:与角α=-30°终边相同的角表示为θ=-30°+360°·k,k∈Z, 当k=1时,θ=330°,故330°与角α=-30°终边相同. √ 微点练明 2.800°是以下哪个象限的角 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:因为800°=2×360°+80°,所以800°与80°的终边相同. 而80°是第一象限的角,所以800°是第一象限的角,故选A. √ 3.已知角α=k·180°-2 002°,k∈Z,则符合条件的最大负角为 (　 ) A.-22° B.-220° C.-202° D.-158° 解析:因为α=k·180°-2 002°<0, 所以k<11+.又k∈Z,所以当k=11时,最大负角为-22°,故选A. √ 4.若角α满足α=45°+k·180°,k∈Z,则角α的终边落在 (　 ) A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 解析:当k为偶数时,α与45°角终边相同,此时α为第一象限角; 当k为奇数时,α与225°角终边相同,此时α为第三象限角,故选A. √ 5.在-360°到720°之间,且与-1 050°终边重合的角是　　　　　　　　.  解析:与-1 050°终边重合的所有角连同-1 050°在内可表示为k·360°-1 050°，k∈Z，依题意有-360°≤k·360°-1 050°<720°, 解得≤k<,又k∈Z,则k∈{2,3,4}, 所求的角对应为-330°,30°,390°. -330°,30°,390° 逐点清(三)　终边相同角的应用 03 [典例]　 (1)如图,终边落在阴影部分的角的集合是(　 ) A.{α|-45°≤α≤120°} B.{α|120°≤α≤315°} C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z} D.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°,k∈Z} 解析:阴影部分的角从-45°到90°+30°=120°,再加上360°的整数倍,即k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z. √ (2)已知角α是第三象限角,则角是(　 ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 解析:因为α是第三象限角,所以k·360°+180°<α<k·360°+270°(k∈Z), 所以k·180°+90°<<k·180°+135°(k∈Z).当k=2n(n∈Z时, n·360°+90°<<n·360°+135°(n∈Z),所以是第二象限角; 当k=2n+1(n∈Z)时,n·360°+270°<<n·360°+315°(n∈Z), 所以是第四象限角. √ |思|维|建|模| 1.关于角nα或象限的确定 (1)由α的范围,表示出nα,的范围,由n的取值确定象限. (2)特别地,求所在象限时,可以把每个象限等分为n份,在每一份中按顺序标记一、二、三、四,找到原象限数字即可. 2.表示区域角的三个步骤 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界. (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α<x<β},其中β-α<360°. 1.已知α∈,则角α的终边所在的阴影部分是(　 ) 解析:令k=0,得45°≤α≤90°.则B选项中的阴影部分区域符合题意. 针对训练 √ 2.已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是 (　 ) A.第一象限角 B.第一或第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角 解析:由题意知k·360°<2α<180°+k·360°(k∈Z), 故k·180°<α<90°+k·180°(k∈Z),按照k的奇偶性进行讨论. 当k=2n(n∈Z)时,n·360°<α<90°+n·360°(n∈Z),所以α在第一象限; 当k=2n+1(n∈Z)时,180°+n·360°<α<270°+n·360°(n∈Z), 所以α在第三象限.故α是第一或第三象限角. √ 3.终边在直线y=x上的角α的集合为(　 ) A. B. C. D. 解析:易得y=x的倾斜角为60°.当终边在第一象限时, α=60°+k·360°,k∈Z;当终边在第三象限时, α=240°+k·360°,k∈Z. 所以角α的集合为. √ 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.下列说法正确的是 (　 ) A.第二象限角比第一象限角大 B.60°角与600°角是终边相同的角 C.斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角 D.将表的分针拨快10分钟,则分针转过的角度为60° √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 解析:选项A,第二象限角可能为负角,如-240°,第一象限角也有可能为正角,如60°,故A错误;选项B,600°-60°=540°≠k·360°(k∈Z),故60°角与600°角终边不同,故B错误;选项C,斜三角形的内角为锐角或者钝角,故其内角为第一象限角或第二象限角,故C正确;选项D,分针拨快是顺时针旋转,得到的角为负角,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.已知角α在直角坐标系中,如图所示,其中射线OA与 y轴正半轴的夹角为30°,则α的值为 (　 ) A.-480° 　　　　B.-240° C.150° 　　　　D.480° 解析:由角α的终边绕原点O按逆时针方向旋转, 可知α为正角.又旋转量为480°,∴α=480°. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.将-885°化为α+k·360°(k∈Z,0°≤α<360°)的形式是 (　 ) A.-165°+(-2)×360° B.195°+(-3)×360° C.195°+(-2)×360° D.165°+(-3)×360° 解析:由0°≤α<360°知-885°=195°-1 080°=195°+(-3)×360°. 故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.(多选)下列四个角为第二象限角的是 (　 ) A.-200° B.100° C.220° D.420° 解析:-200°=-360°+160°,在0°~360°范围内,与-200°终边相同的角为160°,它是第二象限角,同理100°为第二象限角,220°为第三象限角,420°为第一象限角. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.若角α,β的终边相同,则α-β的终边落在 (　 ) A.x轴的非负半轴上 B.x轴的非正半轴上 C.x轴上 D.y轴的非负半轴上 解析:因为角α,β的终边相同,故α-β=k·360°,k∈Z. 所以α-β的终边落在x轴的非负半轴上. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.(多选)已知α是锐角,则 (　 ) A.2α是小于180°的正角 B.180°+α是第三象限角 C.只是锐角 D.2α是第一或第二象限角 解析:依题意知0°<α<90°,所以0°<2α<180°,故A正确; 180°<180°+α<270°,所以180°+α是第三象限角,故B正确; 0°<<45°,所以是锐角,故C正确;0°<2α<180°,当2α=90°时, 不是第一或第二象限角,故D错误.故选A、B、C. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.角α=-60°+k·180°(k∈Z)的终边落在 (　 ) A.第四象限 B.第一、二象限 C.第一象限 D.第二、四象限 解析:令k=0,α=-60°,在第四象限; 再令k=1,α=-60°+180°=120°,在第二象限. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(多选)如果α是第三象限的角,那么可能是哪个象限的角(　 ) A.第一象限 B.第二象限　 C.第三象限 D.第四象限 解析:因为α是第三象限的角,则k·360°+180°<α<k·360°+270°, k∈Z,所以k·120°+60°<<k·120°+90°,k∈Z.所以可以是第一、第三或第四象限角.故选A、C、D. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(多选)如果角α与角γ+60°的终边相同,角β与角γ-60°的终边相同,那么 α-β的可能值为 (　 ) A.120° B.360° C.1 200° D.3 600° 解析:∵角α与角γ+60°的终边相同,α=m·360°+γ+60°,m∈Z, 角β与角γ-60°的终边相同,β=n·360°+γ-60°,n∈Z, ∴α-β=m·360°+γ+60°-(n·360°+γ-60°)=(m-n) · 360°+120°(m,n∈Z).即α-β与120°角终边相同, 选项A、C符合题意.故选A、C. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.已知-990°<α<-630°,且α与120°角的终边相同,则α=　　　　.  解析:因为α与120°角终边相同,所以α=k·360°+120°,k∈Z. 又-990°<k·360°+120°<-630°,即-1 110°<k·360°<-750°, 故取k=-3,则α=-3×360°+120°=-960°. -960° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.如图所示,终边落在阴影部分的角α的取值集合为　 　　　　　 　　　　　 　 　.  解析:终边落在射线OA上的角的集合是{β|β=k·360°+30°, k∈Z},终边落在射线OB上的角的集合是{γ|γ=k·360°+105°,k∈Z}, 所以终边落在阴影部分(含射线OA,不含射线OB)的角的集合是{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z}. {α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(17分)已知角α=2 024°. (1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角; 解:∵2 024=5×360+224, ∴取k=5,β=224°,α=5×360°+224°. 又β=224°是第三象限角,∴α为第三象限角. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<720°. 解:与2 024°终边相同的角为k·360°+2 024°(k∈Z). 令-360°≤k·360°+2 024°<720°(k∈Z), 解得-6≤k<-3(k∈Z).∴k=-6,-5,-4. 将k的值代入k·360°+2 024°中,得角θ的值为-136°,224°,584°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(18分)如图,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针方向匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,求α,β的值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解:根据题意可知14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°, m∈Z,14β=n·360°,n∈Z.由0°<α<β<180°,知0°<2α<2β<360°, 又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限, ∴2α,2β都是钝角,即90°<2α<2β<180°,即45°<α<β<90°, ∴45°<α=·180°<90°,45°<β=·180°<90°,∴<m<,<n<. ∵α<β,∴m<n,又m,n∈Z,∴m=2,n=3,∴α=,β=. $$