第1章 §1 周期变化（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第一章 三 角 函 数 §1 周期变化 (深化学习课 ——梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解周期变化,能判断简单实际问题中的周期变化. 2.初步了解周期函数、周期、最小正周期的概念,能判断简单的函数的周期. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.周期函数 一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有x+T∈D,且满足 ,那么函数y=f(x)称作周期函数,非零常数T称作这个函数的 . 2.最小正周期 如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个 的正数,那么这个 就称作函数y=f(x)的最小正周期. f(x+T)=f(x) 周期 最小 最小正数 |微|点|助|解| (1)周期T是一个非零常数,是使函数值重复出现的自变量x的增加量. (2)周期函数的周期不是唯一的,如果T是函数f(x)的周期,那么nT(n∈N+)也一定是它的周期. (3)不是所有的周期函数都有最小正周期,如函数f(x)=1是周期函数,但无最小正周期. 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“春去春又回”是周期现象. (　 ) (2)某同学每天上数学课的时间是周期现象. (　 ) (3)钟表上分针的运动是一个周期现象,其周期为60分钟. (　 ) (4)由f(-3+6)=f(-3),可得f(x)的周期为6. (　 ) 基础落实训练 √ × √ × 2.如果钟摆每经过2 s就回到竖直状态,则每经过　　s可以再回到最左边位置.  解析:回到竖直状态的时间间隔为2 s,即半个周期,而再回到最左边位置的间隔时间,也就是一个周期,所以是4 s. 4 3.已知函数f(x)是周期函数,10是f(x)的一个周期,且f(2)=,则f(22)=　　　　.  解析:f(22)=f(22-20)=f(2)=. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　周期变化的现象 [例1]　判断下列现象是否为周期现象: (1)每届世界杯的举办时间; 解:世界杯每4年一届,所以其举办时间是周期现象. (2)北京天安门广场的国旗,日出时升旗,日落时降旗,则其每天的升旗时间; 解:北京每天的日出、日落随节气变化而变化,并非恒定,相邻两天的升旗时间间隔是变化的,不是常数,所以不是周期现象. (3)中央电视台每晚7:00的新闻联播. 解:每24小时,新闻联播播出一次,所以是周期现象. |思|维|建|模| 　　 判断周期现象的关键点 首先要认真审题,明确题目的实际背景,然后牢牢抓住“间隔相同,现象(或值)重复出现”这一重要特征.常用方法有: (1)根据我们熟知的自然规律、生活常识等判断; (2)将问题涉及变量的值列在表格中分析判断; (3)将问题涉及的数据用散点图表示出来观察判断. 针对训练 1.(多选)下列现象是周期现象的是 (　 ) A.日出日落 B.潮汐 C.海啸 D.地震 解析:每天日出日落,周期为一天;潮汐是指海水在天体(主要是月球和太阳)引潮力作用下所产生的周期性运动;而海啸和地震是随机现象. √ √ 2.钟表上分针的运动是一个周期现象,其周期为60分钟,现在分针恰好指在2点处,则100分钟后分针指在 (　 ) A.8点处 B.10点处 C.11点处 D.12点处 解析:一个周期是60分钟,则100分钟是个周期,故100分钟后分针指在10点处.故选B. √ 题型(二)　判断函数的周期 [例2]　已知函数f(x)的周期为T. 求证:(1)函数f(2x)的周期为; 证明:由f(x+T)=f(x), 可得f(2x+T)=f(2x),即f=f(2x),故f(2x)的周期为. (2)函数f的周期为2T. 证明:由f(x+T)=f(x),可得f=f,即f=f,故f的周期为2T. |思|维|建|模|　确定函数周期的几种方法 观察法 通过列举前几项结果,观察发现其周期并验证 图象法 通过观察函数的图象,根据图象的特征判定并得到周期 定义法 确定非零实数T,通过证明f(x+T)=f(x)对定义域内任意x都成立 针对训练 3. 设函数y=f(x),x∈R.若函数y=f(x)为偶函数并且图象关于直线x=a(a≠0)对称,求证:函数y=f(x)为周期函数. 证明:由图象关于直线x=a对称得f(2a-x)=f(x),即f(2a+x)=f(-x).因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),从而f(2a+x)=f(x),所以f(x)是以2a为周期的周期函数. 题型(三)　利用函数的周期求值 [例3]　设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 024)=　　　　.  解析:因为f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期T=2. 又当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,所以f(0)=0,f(1)=1, 所以f(0)=f(2)=f(4)=…=f(2 024)=0,f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2 023)=1. 故f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 024)=1 012. 1 012 思|维|建|模| (1)利用周期性求函数值、解析式、研究函数的性质,关键是利用性质f(x+kT)=f(x)(其中T为f(x)的周期,k∈Z且k≠0)转化到对应的区间上. (2)常用结论 已知a>0且a为常数,若函数y=f(x)对定义域内任一实数x: ①满足f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期T=2a;②满足f(x+a)=±,则f(x)的周期T=2a;③满足f(x+a)=f(x-a), 则f(x)的周期T=2a. 针对训练 4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=f(x+4),且f(1)=1, 则f(2 023)+f(2 024)= (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:因为f(x)=f(x+4),所以函数的周期T=4, 所以f(2 023)=f(-1),f(2 024)=f(0). 又f(x)是R上的奇函数,f(1)=1,所以f(-1)=-f(1)=-1,f(0)=0, 所以f(2 023)+f(2 024)=-1+0=-1. √ 5.已知f(x)是定义在R上以 ,若f(1)<1,f(5)=, 求实数a的取值范围. 解:因为f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,所以f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1),因为f(1)<1,f(5)=,所以<1,即<0,解得-1<a<4. 故a的取值范围为(-1,4). 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——达标评价 1.下列现象不是周期现象的是(　 ) A.挂在弹簧下方作上下振动的小球 B.游乐场中摩天轮的运行 C.抛一枚骰子,向上的数字是奇数 D.每四年出现一个闰年 解析:周期现象是指间隔相等而重复出现的现象,由此可知A、B、D均为周期现象,C不是周期现象. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则函数y=f(x)的图象是 (　 ) 解析:由已知得f(x)是周期为2的偶函数,故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.如果今天是星期三,那么7k-6,k∈N*天后的那一天是 (　 ) A.星期三 B.星期四 C.星期五 D.星期六 解析:由7k-6=7(k-1)+1,所以7k-6天后的那一天是星期四. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.函数f(x)是在R上的周期为3的奇函数,当0<x<2时,f(x)=2x,则f(-7)= (　 ) A.2 B.-4 C.-2 D.4 解析:∵函数f(x)是在R上的周期为3的奇函数, ∴f(-7)=f(-7+2×3)=f(-1)=-f(1)=-2.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知函数f(x)=则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)=(　 ) A. B.1 516 C. D.1 517 解析:由题意,在f(x)=中,因为当x>0时,f(x)=f(x-2), 所以 f(x)是以2为周期的周期函数.故f(2 023)=f(2 021)=…=f(3)=f(1)=f(-1)= 2-1=,f(2 022)=f(2 020)=…=f(4)=f(2)=f(0)=20=1. 所以f(1)+f(2)+f(3)+… +f(2 023)=1 012×f(-1)+1 011×f(0)=1 012×+1 011×1=1 517.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.若自行车大轮48齿,小轮20齿,则大轮转一周小轮转　　　　周.  解析:∵两个车轮转动的齿数相同,大轮有48齿,小轮有20齿,∴当大轮转动一周时,大轮转动了48个齿.∴小轮转动=周. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知定义在R上的函数f(x),对任意实数x有f(x+4)=-f(x),若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,f(-1)=2,则f(2 025)=　　　　.  解析:由函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称可知, 函数f(x)的图象关于y轴对称,故f(x)为偶函数.又由f(x+4)=-f(x), 得f(x+4+4)=-f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期为8的偶函数, ∴f(2 025)=f(1+253×8)=f(1)=f(-1)=2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在[1,2]上的解析式是　　　　　　　.  解析:令x∈[-1,0],则-x∈[0,1],结合题意可得f(x)=f(-x)=log2(-x+1),令x∈[1,2],则x-2∈[-1,0],故f(x)=log2[-(x-2)+1]=log2(3-x).故函数f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)=log2(3-x). f(x)=log2(3-x) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(12分)若游乐场中的摩天轮有10个座舱,每个座舱最多乘坐4人,每30分钟转一圈,请估算16个小时内最多有多少人乘坐. 解:每一个周期最多乘坐4×10=40(人),16个小时内共有32个周期,因而在16个小时内最多有40×32=1 280(人)乘坐. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(14分)已知函数f(x)是R上的奇函数,对于∀x∈(0,+∞),都有f(x+2)= -f(x),且x∈(0,1]时f(x)=2x+1,求f(-2 024)+f(2 025)的值. 解:∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期是4. ∴f(-2 024)=f(0),f(2 025)=f(1). ∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0. ∵当x∈(0,1]时,f(x)=2x+1,∴f(1)=2+1=3. ∴f(-2 024)+f(2 025)=f(0)+f(1)=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——重点培优 11.已知函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+2)·f(x)=k(k为常数),当x∈[0,2]时,f(x)=x2+1,则f(5)=(　 ) A.1 B.2 C.3 D.5 解析:因为f(0)=1,f(2)=5,故f(0+2)·f(0)=5=k, 所以f(x+2)·f(x)=5.所以f(x+4)·f(x+2)=5,故f(x+4)=f(x). 所以函数的周期为4,故f(5)=f(1)=12+1=2,故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(多选)奇函数f满足f=f,则下列选项正确的是(　 ) A.f的一个周期为2 B.f<f C.f为偶函数 D.f为奇函数 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析: f=f,f的对称轴为x=, f=f=-f=-f=f,∴T=2,A正确;T=2, 故f=f,f=f,f关于x=对称,故f=f, B错误;f=-f=-f=f,f为偶函数,C正确;f(2x-4)=f(2x+4)=-f(-2x-4),所以f(2x-4)是奇函数,D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.如图所示的弹簧振子在A,B之间做简谐运动,振子向右运动时,先后以相同的速度通过M,N两点,经历的时间为t1=1 s,过N点后,再经过t2=1 s第一次反向通过N点,振子在这2 s内共通过了8 cm 的路程,则振子的振动周期T=　　s.  4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:简谐运动的振子,先后以同样大小的速度通过M,N两点,则可判定这两点关于平衡位置O点对称,所以振子由M到O的时间与由O到N的时间相等.那么平衡位置O到N点的时间为t1=0.5 s,又过N点后再经过t2= 1 s振子以方向相反、大小相同的速度再次通过N点,所以振子从O点经过N点到最大位置,再返回平衡位置O点的时间是0.5+1+0.5=2 s,为半个周期,因此,振子振动的周期是T=2×2=4 s. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(16分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; 证明:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式. 解:∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2].∴4-x∈[0,2]. ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8. ∵f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即当x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. $$