第5章 2.2 复数的乘法与除法（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

复数的乘法与除法 (基本概念课——逐点理清式教学) 2.2 课时目标 掌握复数代数形式的乘法和除法运算.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　复数的乘法 逐点清(二)　复数的除法 逐点清(三)　复数范围内方程根问题 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　复数的乘法 01 1.复数乘法的定义 对任意两个复数a+bi和c+di(a,b,c,d∈R),类比多项式乘法,并利用i2=-1,定义复数的乘法如下:(a+bi)(c+di)= . 2.乘法的运算律 对任意z1,z2,z3∈C,有 多维理解 (ac-bd)+(ad+bc)i 交换律 z1·z2= _________ 结合律 (z1·z2)·z3= _________ 乘法对加法的分配律 z1·(z2+z3)= _________ z2·z1 z1·(z2·z3) z1·z2+z1·z3 3.乘方的运算性质 zm·zn= ,(zm)n= ,(z1·z2)n= (其中m,n∈N+). 4.虚数单位i的幂的周期性 i4n= ,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3= (其中n∈N). 5.常用公式 (1)(a±bi)2=a2±2abi-b2 (a,b∈R); (2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R). 6.共轭复数的性质 互为共轭复数的两个复数的乘积是实数,等于这个复数(或其共轭复数) .即若z=a+bi(a,b∈R),则z·=|z|2=||2=a2+b2. zm+n zmn · 1 -i 模的平方 1.计算:(1-i)2-(2-3i)(2+3i)= (　 ) A.2-13i B.13+2i C.13-13i D.-13-2i 解析: (1-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-9i2)=-13-2i. √ 微点练明 2.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:因为(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以该复数在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限,故选A. √ 3.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) 解析:因为z=(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i,所以它在复平面内对应的点为(a+1,1-a).又此点在第二象限,所以解得a<-1. √ 4.(1+i)20-(1-i)20的值是 (　 ) A.-1 024 B.1 024 C.0 D.512 解析: (1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10=(2i)10-(-2i)10= (2i)10-(2i)10=0. √ 5.已知复数z满足|z|=,且(1-2i)z是实数,则=　　　　.  解析:设z=a+bi(a,b∈R),则(1-2i)z=(1-2i)·(a+bi)=(a+2b)+(b-2a)i.又(1-2i)z是实数,所以b-2a=0,即b=2a.又|z|=,所以a2+b2=5,解得或所以当z=1+2i时,=1-2i,当z=-1-2i时,=-1+2i, 即=±(1-2i). ±(1-2i) 逐点清(二)　复数的除法 02 1.复数的倒数 给定复数z2,若存在复数z,使得z2·z=1,则称z是z2的倒数,记作z= . 2.复数的除法 对任意的复数 z1=a+bi(a,b∈R)和非零复数z2=c+di(c,d∈R),规定复 数的除法:=z1·,即= . 多维理解 -i |微|点|助|解| (1)复数的除法与根式的除法类似:根式的除法是分子、分母都乘以分母的“有理化因式”.从而使分母“有理化”;复数的除法是分子、分母都乘以分母的共轭复数,从而使分母“实数化”. (2)复数的除法是作为复数乘法的逆运算来定义的,因此,定义本身提供了求两个复数的商的另外一种方法——待定系数法,即设(a+bi)÷ (c+di)=x+yi,则a+bi=(c+di)(x+yi),由此依据复数相等的充要条件求出x,y即可. (3)常用公式 ①=-i;②=i;③=-i;④=(z2≠0);⑤=(≠0). 1.=(　 ) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 解析:===2-i. √ 微点练明 2.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i是虚数单位),则z= (　 ) A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 解析:∵z(2-i)=11+7i,∴z====3+5i. √ 3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=,则z-=(　 ) A.-i B.i C.0 D.1 解析:因为z===-,所以=,所以z-=--=-i,故选A. √ 4.若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z=+bi(a,b∈R)为“理想复数”,则(　 ) A.a-5b=0 B.3a-5b=0 C.a+5b=0 D.3a+5b=0 解析:z=+bi=+bi=+i.由题意知,=--b, 则3a+5b=0. √ 5.已知i是虚数单位,则复数(1-i)2--4i2 025=　　　　.  解析:原式=-2i--4i=-2i--4i=-2i-2i-4i=-8i. -8i 逐点清(三)　 复数范围内方程根问题 03 [典例]　(1)若2+i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根,则m+n等于 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:因为2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根,所以(2+i)2+m(2+i)+n=0,即2m+n+3+(4+m)i=0.由复数相等的充要条件可得所以m+n=1. 多维理解 √ (2)在复数范围内方程x2-2x+5=0的两根为α,β,则|α|+|β|等于 (　 ) A.2 B.2 C. D.5 解析:因为方程x2-2x+5=0,所以Δ=(-2)2-4×5=-16<0. 所以x==1±2i.若令α=1+2i,β=1-2i, 则|α|+|β|=|1+2i|+|1-2i|=+=2. √ |思|维|建|模| 　　在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法: (1)求根公式法 ①当Δ≥0时,x=. ②当Δ<0时,x=. (2)利用复数相等的定义求解,设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将此根代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数相等的定义求解. 1.在复数范围内方程2x2+3x+4=0的解为　　 　　.  解析:因为Δ=32-4×2×4=-23<0, 所以方程2x2+3x+4=0的根为x==. 针对训练 2.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数). (1)求b,c的值; 解:∵1+i是方程x2+bx+c=0的根,∴(1+i)2+b(1+i)+c=0, 即(b+c)+(2+b)i=0.∴解得 (2)试判断1-i是否是方程的根. 解:由(1)知方程为x2-2x+2=0,把1-i代入方程左边,得x2-2x+2= (1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,∴1-i也是方程的一个根. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.(2022·新课标Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)= (　 ) A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i 解析: (2+2i)(1-2i)=2-4i+2i+4=6-2i. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(2024·新课标Ⅰ卷)若=1+i,则z=(　 ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 解析:因为==1+=1+i,所以z=1+=1-i.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于(　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:+(1+i)2=i++1-3+2i=-+i,故复数对应的点在第二象限. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.复数z=,则ω=z2+z4+z6+z8+z10的值为(　 ) A.1 B.-1 C.i D.-i 解析:因为z2==-1,所以ω=-1+1-1+1-1=-1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)已知复数z=,其中i是虚数单位,则以下说法正确的是(　 ) A.复数z的实部为3 B.复数z的虚部为2i C.复数z的模为 D.复数z的共轭复数=-3+2i 解析:∵z====3+2i,∴复数z的实部为3,虚部为2, |z|==,=3-2i,故选A、C. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知在复平面内,复数z1,z2所对应的点分别为(2,5),(-3,-7), 则=(　 ) A.-29-29i B.29-29i C.29+29i D.-29+29i 解析:因为在复平面内复数z1,z2所对应的点分别为(2,5),(-3,-7), 所以z1=2+5i,z2=-3-7i.所以=== ===-29-29i.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.设复数z1=1+ai(a∈R),z2=,且|z1|≤|z2|,则a的最大值为(　 ) A.1 B.2 C.2 D.3 解析:因为复数z2===3+2i,又z1=1+ai(a∈R),且|z1|≤|z2|,所以a2+1≤32+22,解得-2≤a≤2.所以a的最大值为2.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知复数2+i是关于x的方程x2-ax-b=0(a,b∈R)的一个解,则复数z=a+bi在复平面内对应的点位于 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:因为复数2+i是关于x的方程x2-ax-b=0的一个解,所以方程的另一解为2-i.由根与系数的关系可得解得所以复数z=a+bi在复平面内对应的点为(4,-5),在第四象限.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9. (多选)关于x的方程x2=-4的复数解为z1,z2,则 (　 ) A.z1·z2=-4 B.z1与z2互为共轭复数 C.若z1=2i,则满足z·z1=2+i的复数z在复平面内对应的点在第二象限 D.若|z|=1,则|z-z1·z2|的最小值是3 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为(±2i)2=-4,所以不妨令方程x2=-4的复数解z1=2i,z2= -2i.z1·z2=2i·(-2i)=4,A错误;z1与z2互为共轭复数,B正确;z1=2i, 由z·z1=2+i,得z====-i,则复数z在复平面内对应的点在第四象限,C错误;设z=x+yi(x,y∈R),由|z|=1,得x2+y2=1, 显然有-1≤x≤1,由选项A知z1·z2=4,因此|z-z1·z2|=|(x-4)+yi|= =≥3,当且仅当x=1,即z=1时取等号,D正确. 故选B、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(多选)已知复平面内复数z1对应向量=(1,-),复数z2满足|z2|=2,是z1的共轭复数,则(　 ) A.|z1|=|| B.= C.=4 D.|z1z2|=4 解析:依题意,z1=1-i,则|z1|=||=2,故A正确;=1+i, =-2+2i,=-2-2i,=-2+2i,即=,故B正确; 设z2=a+bi(a,b∈R),由|z2|=2,得a2+b2=4, √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 则===,== ====1, 故C错误;z1z2=(a+bi)·(1-i)=(a+b)+i, |z1z2|=|(a+b)+(b-a)i|== ===4,故D正确.故选A、B、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(2024·天津高考)已知i是虚数单位,复数(+i)·(-2i)=　　　　.  解析:(+i)(-2i)=()2-2i+i-2i2=7-i. 7-i 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.在复平面中,点O为坐标原点,记,,表示的复数分别为2+i,-1+2i,1-2i,记z为所表示的复数,则z·=　　　　.  解析:因为,,表示的复数分别为2+i,-1+2i,1-2i, 所以=(2,1),=(-1,2),=(1,-2). 所以=-=(-1,2)-(2,1)=, 则=-=(-3,1)-(1,-2)=(-4,3), 那么z=-4+3i.所以z·=25. 25 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(2024·上海高考)已知虚数z,其实部为1,且z+=m(m∈R),则实数m为　　　　.  解析:法一　设z=1+bi(b∈R且b≠0), 则z+=1+bi+=1+bi+=1++i.因为m∈R, 所以b-=0,得b2=1,所以m=1+=2. 法二　由z+=m得z2-mz+2=0,解得z=,依题意得=1,解得m=2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.若z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为　 　, z1·z2= 　 　.  解析:====. ∵为纯虚数,∴解得a=. ∴z1·z2=(3-4i)=8-i+6i+8=16-i. 16-i 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知关于x的实系数一元二次方程x2+mx+9=0. (1)若复数z是该方程的一个虚根,且|z|+=4-2i,求m的值; 解:因为|z|2=z·=9,所以|z|=3.因为|z|+=4-2i,所以=1-2i. 所以z=1+2i.由根与系数的关系可得-m=z+=2,所以m=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)记方程的两根为x1和x2,若|x1-x2|=2,求m的值. 解:若方程的两根为实数根,则|x1-x2|== =2,解得m=±4.若方程的两根为虚数根, 则设x1=a+bi,x2=a-bi,a,b∈R,可得|x1-x2|=|2b|=2, 则x1=a+i,x2=a-i,x1x2=a2+3=9,所以a2=6,即a=±. 由根与系数的关系可得-m=x1+x2=±2,所以m=±2. 此时Δ=m2-36<0,满足题意.综上,m=±2或±4. 阶段质量评价（四） 复数 $$