第5章 2.1 复数的加法与减法（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

复数的加法与减法 (基本概念课——逐点理清式教学) 2.1 课时目标 1.结合实数的加、减运算法则,熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则. 2.理解复数加法、减法运算的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　 复数代数形式的加、减运算 逐点清(二)　 复数代数形式加、减运算的几何意义 逐点清(三)　复数的模的综合问题 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　 复数代数形式的加、减运算 01 1.复数的加法运算法则 对任意两个复数a+bi和c+di(a,b,c,d∈R) 2.复数的相反数 给定复数z2,若存在复数z,使得z2+z=0,则称z是z2的相反数,记作z= . 多维理解 文字语言 两个复数的和仍是一个______,两个复数的和的实部是它们的___________,两个复数的和的虚部是它们的___________ 符号语言 (a+bi)+(c+di)=___________ 复数 实部的和 虚部的和 (a+c)+(b+d)i -z2 3.复数的减法运算法则 对任意的复数z1=a+bi和非零复数z2=c+di(a,b,c,d∈R) 4.复数的加法运算律 对任意z1,z2,z3∈C,有 (1)z1+z2= ; (2)(z1+z2)+z3= . 文字语言 两个复数的差仍是一个_____,两个复数的差的实部是它们的_________,两个复数的差的虚部是它们的__________ 符号语言 (a+bi)-(c+di)= _____________ 复数 实部的差 虚部的差 (a-c)+(b-d)i z2+z1 z1+(z2+z3) 1.已知复数z1=1+3i,z2=3+i(i为虚数单位).复平面内,z1-z2对应的点在 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:∵z1=1+3i,z2=3+i,∴z1-z2=-2+2i.故z1-z2在复平面内对应的点(-2,2)在第二象限. √ 微点练明 2.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为 (　 ) A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4 C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4 解析:由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故解得a=-3,b=-4. √ 3.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,则|z1+z2|=　　　　.  解析:因为z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i] =[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i, 所以解得 所以z1=3-2i,z2=-2+i,则z1+z2=1-i.所以|z1+z2|=. 4.计算:(1)(1+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2i); 解:原式=(-1+3i)+(-2-i)+(1-2i)=(-3+2i)+(1-2i)=-2. (2)(i2+i)+|i|+(1+i); 解:原式=(-1+i)++(1+i)=-1+i+1+1+i=1+2i. (3)(8-2i)-(-7+5i)+(3+7i). 解:原式=[8-(-7)+3]+(-2-5+7)i=15+3. 逐点清(二)　 复数代数形式加、减运算的几何意义 02 1.复数加、减法的几何意义 多维理解 z1,z2,z3∈C,设,分别与复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c, d∈R)相对应,且,不共线   加法 减法 几何 意义 复数的和z1+z2与 向量+= 的坐标对应 复数的差z1-z2与 向量-= 的坐标对应 2.常见结论 在复平面内,O为坐标原点,z1,z2对应的点分别为A,B(O,A,B不共线), z1+z2对应的点为C,则四边形OACB为平行四边形;若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;若|z1|=|z2|且|z1+z2| =|z1-z2|,则四边形OACB为正方形. 1.如图,在复平面上,一个正方形的三个顶点A,B,O对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,那么这个正方形的第四个顶点C对应的复数为 (　 ) A.3+i B.3-i C.1-3i D.-1+3i 解析:因为=+,所以对应的复数 为1+2i-2+i=-1+3i.所以点C对应的复数为-1+3i. √ 微点练明 2.如图,设向量,,所对应的复数为z1,z2,z3, 那么(　 ) A.z1-z2-z3=0 B.z1+z2+z3=0 C.z2-z1-z3=0 D.z1+z2-z3=0 解析:由题图可知,+=0,所以+-=0.所以z1+z2-z3=0. √ 3.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对 应的复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求: (1)所表示的复数,所表示的复数; 解:∵=-,∴所表示的复数为-3-2i. ∵=,∴所表示的复数为-3-2i. (2)对角线所表示的复数; 解:∵=-,∴所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)对角线所表示的复数及的长度. 解:∵=+,∴所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, ||==. 逐点清(三)　 复数的模的综合问题 03 [典例]　(1)△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的 (　 ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析:由复数模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A,B,C距离相等,所以P为△ABC的外心.故选A. 多维理解 √ (2)设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为 (　 ) A.0 B.1 C. √ 解析:∵由|z+1|-|z-i|=0,得|z+1|=|z-i|,∴复数z表示以A(-1,0),B(0,1) 为端点的线段的垂直平分线OM.设复数-i对应点C(0,-1),|z+i|表示点 Z到点C(0,-1)的距离.当CM⊥OM时,|z+i|取到最小值|CM|.又|CM|= |OC|sin 45°=,∴|z+i|的最小值为. |思|维|建|模| 　　设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别为Z1(a,b),Z2(c,d),则|Z1Z2|=,又复数z1-z2=(a-c)+(b-d)i,则|z1-z2|=.故|Z1Z2|=|z1-z2|,即|z1-z2|表示复数z1,z2在复平面内对应的点之间的距离. 设z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|. 解:法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 由题设知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2. 又∵(a+c)2+(b+d)2=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2,∴2ac+2bd=0. ∵|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-(2ac+2bd)=2,∴|z1-z2|=. 针对训练 法二:作出z1,z2对应的向量,,使+=. ∵|z1|=|z2|=1,又,不共线(若,共线,则|z1+z2|=2或0与题设矛盾),∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形.又|z1+z2|=, ∴∠Z1OZ2=90°,即四边形OZ1ZZ2为正方形,故|z1-z2|=. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.(3+4i)+(1-2i)= (　 ) A.4+2i B.4-2i C.1+4i D.1+5i 解析: (3+4i)+(1-2i)=(3+1)+(4-2)i=4+2i. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知复数z对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向量正确的是 (　 ) 解析:由题图可知z=-2+i,所以z+1=-1+i,则复数z+1所对应的向量的坐标为(-1,1).故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.若z1=2+2i,z2=5+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为 (　 ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 解析:z1+z2=2+2i+5+ai=(2+5)+(2+a)i=7+(2+a)i.∵z1+z2所对应的点在实轴上,∴2+a=0.∴a=-2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知复数z满足z+2i-5=7-i,则|z|= (　 ) A.12 B.3 C.3 D.9 解析:由题意知z=7-i-(2i-5)=12-3i,∴|z|==3.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,, 则|z1+z2|=(　 ) A.1 B. C.2 D.3 解析:由题图可知z1=-2-2i,z2=i, 所以z1+z2=-2-i,|z1+z2|=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.设z1=x2-i,z2=-1+xi,x∈R,若z1+z2为纯虚数,则实数x的值为 (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.1或-1 解析:由z1=x2-i,z2=-1+xi,得z1+z2=x2-i+(-1+xi)=x2-1+(x-1)i, 若z1+z2为纯虚数,则解得x=-1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是 (　 ) A.点P0的坐标为(1,2) B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称 C.复数z对应的点Z在一条直线上 D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),A正确;复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错误;设z=x+yi(x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即=,整理得y=x,即点Z在直线y=x上,C正确;易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为P0与Z之间距离的最小值,结合平面几何知识知D正确.故选A、C、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.在复平面内点A,B,C所对应的复数分别为1+3i,-i,2+i,若=,则点D对应的复数是(　 ) A.1-3i B.-3-i C.3+5i D.5+3i √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:∵点A,B,C对应的复数分别为1+3i,-i,2+i, ∴对应的复数为2+i-(-i)=2+2i. 设点D对应的复数为x+yi(x,y∈R), ∴对应的复数为x-1+(y-3)i. 又=,∴x-1+(y-3)i=2+2i. 由复数相等的充要条件得∴ ∴点D对应的复数为3+5i. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.若复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为 (　 ) A.2 B.4 C.4 D.16 解析:由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|. ∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3. ∴2x+4y=2x+22y≥2=2=4, 当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为zO=0,zA=2+i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,a,b∈R,则a-b=　　　　.  解析:因为+=,所以2+i+(-b+ai)=-2a+3i.所以解得故a-b=-4. -4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.已知|z|=4,且z+2i是实数,则复数z=　　 　　.  解析:因为z+2i是实数,所以可设z=a-2i(a∈R).由|z|=4,得a2+4=16.所以a2=12,即a=±2.所以z=±2-2i. ±2-2i 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.已知复数z1=+ai,若复数z=z1-|z1|+1-i在复平面内所对应的点在第二象限,则实数a的取值范围为　　 　　.  解析:因为z1=+ai,所以|z1|==|a+1|. 又a≥-,所以|a+1|=a+1.所以z=+ai-(a+1)+1-i=-a+ (a-1)i.因为z=z1-|z1|+1-i在复平面内所对应的点在第二象限,所以解得a>1+.所以实数a的取值范围为(1+,+∞). (1+,+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四个点,且向量,对应的复数分别为z1,z2. (1)若z1+z2=1+i,求z1,z2; 解:∵=(a,1)-(1,2)=(a-1,-1),=(-1,b)-(2,3)= (-3,b-3),∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i.∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i. 又z1+z2=1+i,∴解得 ∴z1=4-i,z2=-3+2i. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求a,b的值. 解:由(1)得z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i.∵|z1+z2|=2,z1-z2为实数,∴解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知复平面内的平行四边形ABCD中,A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求: (1)点C,D对应的复数; 解:∵向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,∴向量 对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.又∵=+,∴点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.∵=,∴向量对应的复数为3-i,即=(3,-1).设D(x,y),则=(x-2,y-1)=(3,-1),∴解得∴点D对应的复数为5.综上,点C,D对应的复数分别是4-2i和5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)平行四边形ABCD的面积. 解:∵·=||||cos B,∴cos B===. ∵0<B<π,∴sin B=.∴S四边形ABCD=||||sin B=××=7. ∴平行四边形ABCD的面积为7. $$