第2章 5.1 第2课时平面向量数量积及其运算性质的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

平面向量数量积及其运算性质的应用 (拓展融通课——习题讲评式教学) 第2课时 课时目标 　进一步掌握平面向量数量积的运算.能运用数量积的运算性质和运算律解决模、垂直、夹角问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　数量积的运算 题型(二)　向量的模 题型(三)　向量的夹角与垂直 4 课时跟踪检测 题型(一)　数量积的运算 01 [例1]　(1)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·=(　 ) A. B.3 C.2 D.5 解析:由题意知,=+=+,=+=-+, 所以·= · =||2-||2=4-1=3,故选B. √ (2)(2021·新课标Ⅱ卷)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2, a·b+b·c+c·a=　　　　.  解析:法一:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0⇒ 2(a·b+b·c+c·a)+9=0⇒a·b+b·c+c·a=-. 法二:由a+b=-c⇒a2+b2+2a·b=c2⇒a·b=-.由a+c=-b⇒ a2+c2+2a·c=b2⇒a·c=-. 由b+c=-a⇒b2+c2+2b·c=a2⇒b·c=-.∴a·b+b·c+c·a=-. - |思|维|建|模| 求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π]; (2)分别求|a|和|b|; (3)求数量积,即a·b=|a||b|cos θ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,也不能省去. 1.如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=2,则·=(　 ) A.2 B.4 C.3 D. √ 针对训练 解析:根据向量的线性运算,结合平面向量数量积的定义可得·=(+)·=·+·,由AD⊥AB, 可知=0,又因为= ,||=2, 所以=·=||·||·cos∠ADB= ×2×||×=4.故选B. 2.(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b) ·b=　　　.  解析:(2a+b) ·b=2a·b+b2=2|a|·|b|·cos<a,b>+|b|2=2×1×3× +32=11. 11 题型(二)　向量的模 02 [例2]　已知向量a与b夹角为45°,且|a|=1,|2a+b|=,求|b|. 解:因为|2a+b|=,所以(2a+b)2=10, 所以4a2+4a·b+b2=10. 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|=1, 所以4×12+4×1×|b|×+|b|2=10, 整理得|b|2+2|b|-6=0, 解得|b|=或|b|=-3(舍去). |思|维|建|模| 求向量模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方. (2)a·a=a2=|a|2或|a|=,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. (3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)= a2-b2等. 3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足:|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= (　 ) A.　　 B.　　 C.　　 D.1 解析:因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2=2a·b,又因为|a|=1,|a+2b|=2,所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4,从而|b|=. √ 针对训练 4.已知向量a,b满足|a+b|=4,|a-b|=2,则|a||b|的最大值是 (　 ) A.3 　　　　B.4 C.5 　　　　D.6 解析:∵|a+b|=4,|a-b|=2,∴|a+b|2+|a-b|2=2|a|2+2|b|2=20. ∴|a|2+|b|2=10.∵(a-b)2≥0,∴|a|2+|b|2≥2|a||b|. ∴|a||b|≤5.∴|a||b|的最大值为5,故选C. √ 题型(三)　向量的夹角与垂直 03 [例3]　已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b夹角的大小. 解:因为a,b都是非零向量,由a+3b与7a-5b垂直, 则(a+3b)· (7a-5b)=0, 即7a2+16a·b-15b2=0.　① 由a-4b与7a-2b垂直,则(a-4b)·(7a-2b)=0, 即7a2-30a·b+8b2=0.　② ①-②,得2a·b=b2=|b|2,　③ ③代入①,得|a|=|b|. 设a与b夹角为θ,则cos θ===, 因为θ∈[0,π],所以θ=.所以a与b的夹角为. |思|维|建|模| 1.求向量夹角的方法 (1)求出a·b,|a|,|b|,代入公式cos θ=求解. (2)用同一个量表示a·b,|a|,|b|,代入公式求解. (3)借助向量运算的几何意义,数形结合求夹角. 2.求向量夹角的注意点 要注意夹角θ的范围为[0,π].当cos θ>0时,θ∈; 当cos θ<0时,θ∈;当cos θ=0时,θ=. 5.若e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角大小为　　　　.  解析:∵e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则e1·e2=|e1||e2|cos 60°=, ∴a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6+e1·e2+2=-6++2=-, |a|====, 针对训练 120° |b|====. ∴cos<a,b>==-.∵0°≤<a,b>≤180°,∴<a,b>=120°. 6.已知a⊥b,且|a|=2,|b|=1,若有两个不同时为零的实数k,t,使得a+(t-3)b与-ka+tb垂直,则k的最小值为　　　　.  解析:∵a⊥b,∴a·b=0. 又由已知得[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0,∴-ka2+t(t-3)b2=0. ∵|a|=2,|b|=1,∴-4k+t(t-3)=0.∴k=(t2-3t)=-(t≠0). 故当t=时,k取得最小值,最小值为-. - 7.已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,当向量a+λb与λa+b的夹 角为钝角时,实数λ的取值范围为　　 　　.  解析:因为|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为120°, 所以a·b=|a||b|cos 120°=1×2×=-1. (-∞,-1)∪∪ 因为向量a+λb与λa+b的夹角为钝角,所以(a+λb)·(λa+b)<0, 且两向量不共线.则(a+λb)·(λa+b)=λa2+(λ2+1)a·b+λb2= λ-(λ2+1)+4λ<0,解得λ<或λ>.当(a+λb)∥(λa+b)时, 则a+λb=k(λa+b)=kλa+kb(k∈R),可得解得k=λ=±1. 所以λ的取值范围是(-∞,-1)∪∪. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.已知a和b为非零向量,且|2a+b|=|2a-b|,a与b的夹角为(　 ) A. C. 解析:因为|2a+b|=|2a-b|,则|2a+b|2=|2a-b|2,即4a2+4a·b+b2=4a2-4a·b+b2,所以a·b=0,又因为a和b为非零向量,则a与b的夹角为. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,a⊥(b-a),则|2a+b|= (　 ) A.4 B.2 C.3 D.12 解析:∵a⊥(b-a),∴a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=0, ∴a·b=1,|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=12,∴|a+b|=2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知菱形ABCD的边长为2,·=2,则||=(　 ) A. B.2 C.1 D.2 解析:根据题意可得=+,=-, ∵=2,即·(+)=+=2,∴=-2, ||2==-2+=12,即||=2,故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.早在公元前十一世纪,数学家商高就提出“勾三股四弦五”.《周髀算经》中曾有记载,大意为:“当直角三角形的两条直角边分别为3(勾)和4(股)时,斜边(弦)则为5”,勾股定理也称为商高定理.现有△ABC的三边满足“勾三股四弦五”,其中勾AC的长为3,点A在弦BC上的射影为点D,则(-)·=(　 ) A. C.- D.- √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意可得,AD==,AD⊥BC,所以cos∠CAD===, (-)·=·=cos∠CAD=3××=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(2024·北京高考)设a,b是向量,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由(a+b)·(a-b)=0,得a2-b2=0,即|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|, 当a=(1,1),b=(-1,1)时,|a|=|b|,但a≠b且a≠-b,故充分性不成立; 当a=-b或a=b时,(a+b)·(a-b)=0,故必要性成立.所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知|a|=2,|b|=3,且a⊥b,则(a+b)·(2a-b)=　　.  -1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为,且a+b+c=0,则|c|=　　　　.  解析:因为a+b+c=0,所以c=-a-b, 所以c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2=22+2×2×3cos+32=4-6+9=7, 所以|c|=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=,则a与b的夹角为　　　　.  解析:|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+4=5-2a·b=7,∴a·b=-1, 又θ∈[0,π],cos θ==-,∴θ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(10分)如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°, BC=4,A是线段EF的中点,EF=2.若与的 夹角为60°,求·. 解:·=(+)·(+)=·+· +·+·.∵∠BAC=90°,∴·=0. 又A是线段EF的中点,∴=-,∴·=·-·-= ·-1=4×1×cos 60°-1=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(12分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a,b的夹角为60°. (1)若(2a+3b)⊥(a-kb),求实数k的值; 解:因为(2a+3b)⊥(a-kb), 所以(2a+3b)·(a-kb)=2a2+(3-2k)a·b-3kb2=2|a|2+(3-2k)a·b-3k|b|2=0, 即2+(3-2k)×1×2×cos 60°-3k×4=0,解得k=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求a+b与a-b的夹角的余弦值. 解:因为|a+b|====, |a-b|====, 所以cos<a+b,a-b>====-, 故a+b与a-b的夹角的余弦值为-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.(多选)在△ABC中,下列结论错误的是(　 ) A.-= B.·<||·|| C.若(+)·(-)=0,则△ABC是等腰三角形 D.若·>0,则△ABC是锐角三角形 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由向量减法法则可得-=,故A错误; ·=||·||·cos<,><||·||,故B正确;设BC的中点为D,(+)·(-)=2·=0,则⊥,因为BD=CD, 所以由三线合一得AB=AC,所以△ABC是等腰三角形,故C正确;由·>0,可以得到∠BAC是锐角,不能得到△ABC是锐角三角形, 故D错误.故选A、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E是CD上一点,则·的最小值为(　 ) A.13 B.15 C.17 D.19 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:设=λ(0≤λ≤1),则=λ,=(1-λ)·,=+= λ+,=+=(λ-1)+,则·=(λ+)· =λ(λ-1)+(2λ-1)·+= 4λ2-4λ+16=4+15,所以当λ=,即E是CD的中点时, ·的最小值为15.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(多选)八卦是中国文化的基本哲学概念,图1是八卦模型图,其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH,其中|OA|=1,则下列结论正确的是 (　 ) A.与的夹角为 B.+= C.|-|=|| D.在上的投影向量为-e(其中e为与同向的单位向量) √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为多边形ABCDEFGH为正八边形,所以∠AOH==.所以与的夹角为,A错误.若+=成立,则=-=,显然不成立,B错误.因为∠AOC=2×=,所以|-|=||=||. 又||=||=||,所以|-|=||,C正确.因为∠AOD=3×=, 所以在上的投影向量为||·cos∠AOD· e=1×cos×e=-e, D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(多选)若平面向量a,b,c两两的夹角相等,且|a|=1,|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|= (　 ) A. B.2 C. D.5 解析: |a+b+c|==,因为平面向量a,b,c两两的夹角相等,所以夹角有两种情况,即a,b,c两两的夹角为0°或120°.当夹角为0°时,a·b=|a||b|cos 0°=1, a·c=|a||c|cos 0°=3,b·c=|b||c|cos0°=3, √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 |a+b+c|==5.当夹角为120°时, a·b=|a||b|cos 120°=-,a·c=|a||c|cos 120°=1×3×=-, b·c=|b||c|cos 120°=1×3×=-, |a+b+c|==2. 所以|a+b+c|=2或5,故选B、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)如图,在△OAB中,P为线段AB上 的一个动点(不含端点),且满足=λ. (1)若λ=,用向量,表示; 解:因为=λ,所以=.所以=+=+ (-)=+.当λ=时,=+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若||=6,||=2,且∠AOB=120°,求·的取值范围. 解:由(1)可知=+,所·=· (-)=-+·+||2.因为||=6,||=2, ∠AOB=120°,所以·=-+×6×2×+=10-. 因为λ>0,所以-52<-<0.所以-42<·<10, 即·的取值范围为(-42,10). $$