第2章 4.1 平面向量基本定理（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

4.1 平面向量基本定理 (深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.能推导平面向量基本定理和运用平面向量基本定理解决某些数学 问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内两个 的向量,那么对该平面内任意一个向量a,存在唯一的一对实数λ1,λ2,使 . 2.基 我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组 ,记为{e1,e2}. 3.正交基及正交分解 若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为 .在正交基下向量的线性表示称为正交分解.若基中的两个向量是互相垂直的单位向量,则称这组基为 . 不共线 a=λ1 e1+λ2 e2 基 正交基 标准正交基 |微|点|助|解| 1.平面向量基本定理的作用 平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和,并且这种分解是唯一的. 2.基的性质 (1)不共线性 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基.由于零向量与任何向量共线,所以零向量不可以作为基. (2)不唯一性 对基的选取不唯一,平面内任一向量a都可被这个平面的一组基{e1,e2}线性表示.  1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基. (　 ) (2)平面向量的基不是唯一的. (　 ) (3)零向量不可作为基中的向量. (　 ) 基础落实训练 × √ √ 2.设O为平行四边形ABCD的对称中心,=4e1,=6e2,则2e1-3e2等于(　 ) A. C. 解析:如图,==(-)=2e1-3e2. √ 3.如图所示,向量可用向量e1,e2表示为　　　　.  4e1+3e2 4.向量e1,e2不共线,实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值为　　　　.  3 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　对向量基的理解 [例1]　设e1,e2是两个不共线的向量,则下列四组向量中,不能作为平面向量的一组基的是 (　 ) A.e1+e2和e1-e2 B.e1+2e2和e2+2e1 C.3e1-2e2和4e2-6e1 D.e2和e2+e1 √ 解析: e1+e2和e1-e2没有倍数关系,二者不共线,可作为平面向量的一组基;e1+2e2和e2+2e1没有倍数关系,二者不共线,可作为平面向量的一组基;4e2-6e1=-2(3e1-2e2),二者是共线向量,不能作为平面向量的一组基; e2和e2+e1不共线,可作为平面向量的一组基.故选C. |思|维|建|模| 判断所给的两个向量能否作为一组基的方法 　　由基的定义可知,要判断两个向量a,b能否作为一组基只需判断两向量是否共线,而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R,使a=λb成立.另外,作为一组基的向量必为非零向量. 针对训练 1.设e1,e2是平面内一组基,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示 为另一组基a,b的线性组合,即e1+e2=　　　　a+　　　b.  解析:由题意,设e1+e2=ma+nb.因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理, 得所以 - 2.已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,若a,b能作为一组基,则实数λ的取值范围为　　　　　　　　.  解析:若a,b能作为一组基,则向量a,b不共线.由题可知,若向量a,b共线,则有λ=4,故当向量a,b不共线时,λ≠4, 即实数λ的取值范围是(-∞,4)∪(4,+∞). (-∞,4)∪(4,+∞) 题型(二)　用基表示向量 [例2]　设M,N,P是△ABC三边上的点,它们使=,=, =,若=a,=b,试用a,b将,,表示出来. 解:如图,=-=--=--(-)= -=b-a.=-=-=a-b. =-=-(+)=a+b. |思|维|建|模| 　　平面内任何一个向量都可以用两个基底进行表示,转化时一定要看清转化的目标,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,同时结合实数与向量积的定义,牢记转化方向,把未知向量逐步往基底方向进行组合或分解.　 针对训练 3.在△ABC中,=a,=b,=,则=(　 ) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 解析:∵=a,=b,∴=-=b-a. 又=,∴=+=a+=a+(b-a)=a+b.故选B. √ 4.如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若= λ+μ,则λ+μ等于(　 ) A.- C.1 D.-1 解析:由平面向量基本定理,得=+=+= -+(+)=-,所以λ=,μ=-,即λ+μ=-,故选A. √ 题型(三)　平面向量基本定理的应用 [例3]　如图, 在长方形ABCD中,E为边DC的中点, F为边BC上一点,且=,设=a,=b. (1)试用基a,b表示,,; 解:=+=+=+=a+b; =+=+=+=a+b; =+=-+=-+a+b=a-b. (2)若G为长方形ABCD内部一点,且=a+b,求证:E,G,F三点共线. 解:证明:由(1)知=a+b,=a+b,设=λ+μ, 则a+b=λ+μ=a+b, 即解得故=+,+=1,故E,G,F三点共线. |思|维|建|模| 用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量为基; (2)将相关的向量用基向量表示,将几何问题转化为向量问题; (3)利用向量知识进行向量运算,得向量问题的解; (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解. 针对训练 5.平面内有一个△ABC和一点O(如图),线段OA, OB,OC的中点分别为E,F,G,BC,CA,AB的中点分 别为L,M,N,设=a,=b,=c. (1)试用a,b,c表示向量,,; 解:如题图,∵=a,=(b+c),∴=-=(b+c-a). 同理,=(a+c-b),=(a+b-c). (2)求证:线段EL,FM,GN交于一点且互相平分. 解:证明:设线段EL的中点为P1, 则=(+)=(a+b+c). 设FM,GN的中点分别为P2,P3, 同理可求得=(a+b+c),=(a+b+c). ∴==,∴P1,P2,P3三点重合. 即线段EL,FM,GN交于一点且互相平分. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.平面内任一向量m都可以表示成λa+μb(λ,μ∈R)的形式,下列关于向量a,b的说法正确的是(　 ) A.向量a,b的方向相同 B.向量a,b中至少有一个是零向量 C.向量a,b的方向相反 D.当且仅当λ=μ=0时,λa+μb=0 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析:因为任一向量m=λa+μb(λ,μ∈R),根据平面向量的基本定理得, 向量a,b不共线,故A、C不正确.因为a,b是一个基底,所以不能为零向量,故B不正确.因为a,b不共线,且不能为零向量,所以若λa+μb=0,当且仅当λ=μ=0,故D正确.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.如图,向量a-b等于 (　 ) A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2 解析:不妨令a=,b=,则a-b=-=.由平行四边形法则可知=e1-3e2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知e1,e2是不共线的非零向量,则以下向量可以作为基的是 (　 ) A.a=0,b=e1-e2 B.a=3e1-3e2,b=e1-e2 C.a=e1-2e2,b=e1+2e2 D.a=e1-2e2,b=2e1-4e2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:对于A,零向量与任意向量均共线,所以这两个向量不可以作为基.对于B,因为a=3e1-3e2,b=e1-e2,所以a=3 b.所以这两个向量不可以作为基.对于C,设a=λb,即e1-2e2=λ(e1+2e2),则无解,所以这两个向量不共线,可以作为一组基.对于D,因为a=e1-2e2,b=2e1-4e2,所以a= b.所以这两个向量不可以作为基.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.如图,点D,E分别为AC,BC的中点,设=a,=b,F是DE的中点, 则=(　 ) A.a+b 　　　B.-a+b C.a+b 　　　D.-a+b 解析:=+=+=+=a+b.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数y的值为 (　 ) A.3 B.4 C.- D.- √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,所以(3x-4y+7)e1+(10-y-2x)e2=0. 又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基, 所以解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.在△ABC中,点M,N满足 =2,=.若=x+y, 则x=　　　　;y=　　　　.  解析:由题中条件得=+=+= +(-)= -=x+y,所以x=,y=-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.在三角形ABC中,D是BC上靠近点C的三等分点, E为AD的中点,若=x+y,则x=　　　　.  解析:因为D是BC上靠近点C的三等分点,所以=+.又E为AD的中点,所以=-=-=-+.所以x=-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,F是线段DC上的点.若DC=3DF,设=a,=b,则=　　　　.  解析:如图所示,平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,F是线段DC上的点,且DC=3DF,∴==(-)=(-),=-= +.则=+=+ (-)=+=a+b. a+b 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)在平行四边形ABCD中,E,F分别是BC, CD的中点,DE交AF于H,记,分别为a,b, 用a,b表示. 解:由题意知=b+a,=a- b. 设=λ,则=λa-λb, 所以=+=λa+ b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为与共线且a,b不共线, 所以=,解得λ=. 所以=a+ b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2. (1)证明:a,b可以作为一组基; 解:证明:若a,b共线,则存在λ∈R,使a=λb,则e1-2e2=λ(e1+3e2). 由e1,e2不共线,得⇒∴λ不存在,故a与b不共线, 可以作为一组基. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)以a,b为基,求向量c=3e1-e2的分解式; 解:设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2. ∵e1与e2不共线,∴解得∴c=2a+ b. (3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值. 解:由4e1-3e2=λa+μb,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2. ∴解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.(多选)如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法不正确的是(　 ) A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个 C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2) D.若实数λ,μ使得λe1+μe2≠0,则λ≠0且μ≠0 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:根据平面向量基本定理可知A正确;根据平面向量基本定理可知,如果一个平面的基确定,那么任意一个向量在此基下的实数对都是唯一的,B错误;当两向量的系数均为0,这样的λ有无数个,C错误;若实数λ,μ使得λe1+μe2≠0,则λ和μ可以有1个等于零,D错误.故选B、C、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12. (多选)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,且=3,F为AE的中点,则(　 ) A.=-+ 　B.=+ C.=-+ 　D.=+ √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:∵AB∥CD,AB=2DC,∴=++=-++= -+,A正确.∵=3,∴==-+. ∴=+=+=+.又F为AE的中点, ∴==+,B正确.∴=+=-++= -+,C正确.∴=+=-=-+-= --,D错误.故选A、B、C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.若点M是△ABC所在平面内一点,且满足 =+,则△ABM与△ABC的面积之比为　　　　.  解析:如图,由=+可知M,B,C三点共线,令=λ, 则=+=+λ=+λ(-)= (1-λ)·+λ⇒λ=, 所以=,即面积之比为1∶4. 1∶4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14. (10分)如图,在△ABC中,点D是AC的中点, 点E是BD的中点,设=a,=c. (1)用a,c表示向量; 解:因为=-=c-a,所以==(c-a). 所以=(+)=+=-a+(c-a)=c-a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若点F在AC上,且=a+c,求AF∶CF. 解:设=λ,所以=+=+λ=a+λ(c-a)=(1-λ)a+λc. 又=a+c,所以λ=.所以=.所以AF∶CF=4∶1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15. (14分)已知m>0,n>0,如图,在△ABC中,点M,N满足=m,=n,D是线段BC上一点,=,点E为AD的中点,且M,N,E三点共线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (1)若点O满足2=+,证明:OE∥BC. 证明:由题可知=+=+=+(-)=+. 因为点E为AD的中点,所以=+. 由2=+,则2=+++,即=(+), 所以=-=-(+)=-. 又=-,所以∥.又E,C,B三点不共线,所以OE∥BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求m+2n的最小值. 解:因为M,N,E三点共线,所以可设=λ.又=m,=n, 所以=(1-λ)+λ=(1-λ)m+λn. 又=+,所以(1-λ)m=,λn=.所以+=1. 所以m+2n=(m+2n)=+++≥+2=, 当且仅当m=,n=时,等号成立.所以m+2n的最小值是. $$