第2章 3.2 向量的数乘与向量共线的关系（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

3.2 向量的数乘与向量共线的关系 (深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.掌握共线(平行)向量基本定理及简单应用. 2.会应用共线(平行)向量基本定理证明两直线平行及三点共线问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使 . 2.直线的向量表示 通常可以用=t表示过点A,B的直线l,其中 称为直线l的方向向量. a=λb |微|点|助|解| (1)对任意两个向量a,b,若存在不全为0的实数对(λ,μ),使λa+μb=0,则a与b共线.证明如下:若a,b中至少有一个为零向量,显然成立.若a,b均为非零向量,不妨设μ≠0,则b=-a,说明a与b共线. 但若向量a,b不共线,当λa+μb=0时,一定有λ=μ=0. (2)一般地,解决向量a,b共线问题,可用两个不共线向量(如e1,e2)表示向量a,b,设b=λa(a≠0),化成关于e1,e2的方程Φ(λ)e1+φ(λ)e2=0,由于e1,e2不共线,则解方程组即可. 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a∥b,则存在λ∈R,使得b=λa. (　 ) (2)若=3,则与共线. (　 ) (3)一个点A和一个非零向量可以唯一确定过点A与向量平行的直线l. (　 ) (4)若点P是AB的中点,点O为直线AB外一点,则=(+). (　 ) 基础落实训练 × √ √ √ 2.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的 (　 ) A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 3.若|a|=5,b与a的方向相反,且|b|=7,则a=　　　　b.  解析:因为|a|=5,|b|=7,所以 =.又因为b与a的方向相反,所以a=-b. - 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　向量共线的判定 [例1]　(多选)已知e1,e2为两个不共线的向量,则下列说法正确的是 (　 ) A.若a=2e1,b=3e2,则a∥b B.若a=2e1+e2,b=-2e1-e2,则a∥b C.若a=2e1-3e2,b=-2e1-3e2,则a∥b D.若a=-2e1,b=3e1,则a∥b √ √ 解析:对于A,因为e1,e2不共线,所以a与b不共线,A错误;对于B,由式子可知a=-b,所以a∥b,B正确;对于C,因为a,b两向量没有倍数关系,所以a,b不共线,C错误;对于D,因为a=-b,所以a∥b成立,D正确. |思|维|建|模| 　　向量共线的判定一般是用其判定定理,即a是一个非零向量,若存在唯一一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线. 针对训练 1.(多选)向量a=2e,b=-6e,则下列说法正确的是 (　 ) A.a∥b B.向量a,b方向相反 C.|a|=3|b| D.b=-3a 解析:因为a=2e,b=-6e,所以b=-3a,故D正确;由向量共线定理知,A正确; -3<0,a与b方向相反,故B正确;由上可知|b|=3|a|,故C错误. √ √ √ 2.已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,则下列向量一定共线的是(　 ) A.与与 C.与与 解析:因为++=,所以+++=0,即-2=. 所以与共线.故选B. √ 题型(二)　三点共线的判定与证明 [例2]　(1)设e1,e2是两个不共线的向量,已知=e1+5e2,=-2e1+8e2,=3e1-3e2,则(　 ) A.A,B,C三点共线 B.B,C,D三点共线 C.A,B,D三点共线 D.A,C,D三点共线 √ 解析:因为=e1+5e2,=-2e1+8e2,=3e1-3e2,所以=+= e1+5e2=.所以A,B,D三点共线.因为与没有倍数关系,所以A,B,C三点不共线.因为与没有倍数关系,所以B,C,D三点不共线.因为=+=-e1+13e2,与没有倍数关系,所以A,C,D三点不共线.故选C. (2)已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三点共线的充要条件为(　 ) A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 √ 解析:由A,B,C三点共线可得,∥,∴存在m∈R,使=m, ∴λa+b=ma+mμ b,即(λ-m)a=(mμ-1) b.∵a,b不共线,∴故可得λμ=1.反之,若λμ=1,则μ=.∴=a+b=(λa+b)=,∴∥,又与有公共点A,∴A,B,C三点共线.故选D. |思|维|建|模| 证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得=λ(或=λ等)即可. (2)利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点⇔存在实数x,y,使=x+y且x+y=1. 针对训练 3.P是△ABC所在平面内一点,=λ+,则P点必在(　 ) A.△ABC内部 B.直线AC上 C.直线AB上 D.直线BC上 解析:∵=-=λ+,∴-=λ+.∴-=λ. ∴∥,即与共线.∴P点一定在AC边所在直线上.故选B. √ 4.已知a,b是不共线的两非零向量,=2a-b,=3a+b,=a-3b,证明A,B,C三点共线. 证明:∵=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,而=-= (a-3b)-(3a+b)=-2(a+2b)=-2,∴与共线,又与 有公共点,∴A,B,C三点共线. 题型(三)　利用向量共线求参数 [例3]　(1)在△ABC中,已知D是AB边上一点,=2=+λ, 则λ=(　 ) A. C.- D.- 解析:由=2,得-=2(-),即=+,所以λ=. √ (2)已知非零向量e1,e2不共线,欲使-e1+ke2和-2e1+e2共线,则k的值 为　　　.  解析:因为-e1+ke2与-2e1+e2共线,所以存在实数λ,使-e1+ke2=λ(-2e1+e2), 则(2λ-1)e1=(λ-k)e2.又e1与e2为不共线的非零向量,所以 解得k=. |思|维|建|模| 利用向量共线求参数的方法 　　判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值. 针对训练 5.设e1,e2是两个不共线的单位向量,若=2e1-e2,=3e1+3e2, =e1+ke2,且A,C,D三点共线,则实数k的值为　　　　.  解析:因为A,C,D三点共线,设=m,且=+= 2e1-e2+3e1+3e2=5e1+2e2,所以5e1+2e2=m(e1+ke2), 即5e1+2e2=me1+mke2,因此解得 6.设e1,e2是两个不共线向量,若向量ke1+2e2与8e1+ke2方向相反,则实数k=　　　　.  解析:由题意知,ke1+2e2与8e1+ke2共线,∴存在实数λ, 使ke1+2e2=λ(8e1+ke2)=8λe1+kλe2.∵e1,e2不共线, ∴解得或 ∵ke1+2e2与8e1+ke2反向,∴λ=-,k=-4. -4 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.设a,b都是非零向量,下列四个条件,使 成立的充要条件是(　 ) A.a=b B.a=2b C.a∥b且|a|=|b| D.a∥b且方向相同 解析: 表示a方向的单位向量,因此 的充要条件是a与b同 向即可,故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(多选)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定可以使a,b共线的是 (　 ) A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0 C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0) D.已知梯形ABCD,其中=a,=b √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:由2a-3b=-2(a+2b)得到b=-4a,故A可以;λa-μb=0⇒λa=μb, 故B可以;当x=y=0时,有xa+yb=0,但b与a不一定共线,故C不可以; 梯形ABCD中,没有说明哪组对边平行,故D不可以. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知平面向量a,b,c,下列结论正确的是 (　 ) A.若a∥b,则a=b B.若|a+b|=|a|+|b|,则a∥b C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.若|a|=|b|,则a=b √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:若a,b为非零向量,a∥b,但|a|不一定等于|b|,故a=b不成立,A错误;由|a+b|=|a|+|b|可知a,b同向,于是可知a,b共线,即a∥b,B正确;若b为零向量,a∥b,b∥c不一定能推出a∥c,C错误;|a|=|b|,但是两个向量方向不一定相同,故不可以推出a=b,D错误.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.(多选)已知4-3=,则下列结论正确的是(　 ) A.A,B,C,D四点共线 B.C,B,D三点共线 C.||=|| D.||=3|| 解析:因为4-3=,所以3-3=-.所以3=. 因为有公共端点B,所以C,B,D三点共线,且||=3||. B、D正确,A错误.由4-3=,得=3-3+=3+. 所以||≠||,C错误.故选B、D. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则实数λ的值为(　 ) A.-1 B.2 C.-2或1 D.-1或2 解析:由于A,B,C三点共线,故可设=k(k∈R).因为=λa+2b, =a+(λ-1)b,所以λa+2b=k[a+(λ-1)b].所以λ=k,2=k(λ-1), 解得λ=-1或λ=2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.点C在线段AB上,且||=||,若=λ,则λ=　　　　.  解析:不妨设||=4a,则||=||=3a.因为点C在线段AB上, 所以=-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.设向量a和b不平行,若向量2λa+8b与a+λb反向共线,则实数λ=　　　　.  解析:因为向量2λa+8b与a+λb反向共线,所以存在t(t<0,t∈R), 使得2λa+8b=t(a+λb),即(2λ-t)a=(tλ-8) b.又向量a和b不平行, 所以解得t=-4,λ=-2. -2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知平面内O,A,B,C四点,其中A,B,C三点共线,O,A,B三点不共线,且=x+y,则x+y=　　　　.  解析:∵A,B,C三点共线,∴存在λ∈R,使=λ. ∴-=λ(-).∴=(1-λ)+λ. ∴x=1-λ,y=λ.∴x+y=1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)已知向量m,n不是共线向量,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn. (1)判断a,b是否共线; 解:若a与b共线,由题知a为非零向量, 则有b=λa,即6m-4n=λ(3m+2n), ∴得到λ=2且λ=-2, ∴λ不存在,即a与b不共线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若a∥c,求x的值. 解:∵a∥c,∴存在实数r,使得c=ra, 即m+xn=3rm+2rn, 即解得x=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=3,∠A=90°,E,F分别是线段AB,AC上的点,且=λ=μ,其中λ,μ∈(0,1),M,N分别是线段EF,BC的中点.求证:=(+). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 证明:由已知一方面=++,另一方面=++, 因为M,N分别是EF,BC的中点, 所以+=0,+=0, 所以2=+++++=+, 所以=(+). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是(　 ) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对 解析:由已知,得=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2,故∥. 又因为与不平行,所以四边形ABCD是梯形. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(多选)下列命题是真命题的是 (　 ) A.若A,B,C,D在一条直线上,则与是共线向量 B.若A,B,C,D不在一条直线上,则与不是共线向量 C.若向量与是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上 D.若向量与是共线向量,则A,B,C三点必在一条直线上 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析: A项为真命题,A,B,C,D在一条直线上,则向量的方向相同或相反,因此与是共线向量;B项为假命题,A,B,C,D不在一条直线上,则的方向不确定,不能判断与是否共线;C项为假命题,因为两个向量所在的直线可能没有公共点,所以A,B,C,D四点不一定在一条直线上;D项为真命题,因为两个向量所在的直线有公共点A,且与是共线向量,所以A,B,C三点共线.故选A、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.如图,在△ABC中,=,P是BN上一点, 若=m+,则实数m的值为(　 ) A. C. 解析:由题意可得=5,则=m+×5=m+. 因为B,N,P三点共线,所以m+=1,即m=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)如图,在△ABC中,==. 设=a,= b. (1)用a,b表示; 解:由题图,=-=b-a, =-=+=(b-a)+a=b+a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若P为△ABC内部一点,且=a+ b.求证:M,P,N三点共线. 解:证明:由+=++=+-=a+b- (b-a)=a+b,又=a+b,所以=+,故M,P,N三点共线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)设平面上不在一条直线上的三个点为O,A,B,当实数p,q满足+=1时,连接p,q两个向量终点的直线是否通过一个定点?并证明你的结论. 解:连接p,q两个向量终点的直线过定点.证明如下: 设=+,则C为定点. 设M是连接p,q两个向量终点的直线上任意一点, 则-p=t(q-p),其中t为参数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∵+=1,∴q=. ∴=p+t =p+(+-p), 当t=时,=+=, 故连接p,q两个向量终点的直线过定点C. $$