第2章 2.2 向量的减法（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

2.2 向量的减法 (深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量的减法运算. 2.理解平面向量减法的几何意义,掌握向量减法的三角形法则. 3.利用相反向量的概念,理解减法运算是加法运算的逆运算. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.向量减法的定义及几何意义 定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的 ,即_____________ 几何 意义 如图,给定向量a与b,作有向线段=a,=b,故-b=,则a-b= a+(-b)=+=+= ,即如果把向量a与b的起点放在点O,那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A,得到的向量就是________ 相反向量 a-b=a+(-b) a-b 2.向量减法的性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量,于是-0=0. (2)互为相反向量的两个向量的和为0,即a+(-a)=(-a)+a=0. (3)若a+b=0,则a=-b,b=-a. |微|点|助|解| (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义, -=,就可以把减法转化为加法. (2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点. (3)向量减法满足三角形法则.如图, 在用三角形法则作向量减法时,要注 意“共起点,连终点,指向被减”.解题 时要结合图形,准确判断,防止混淆. 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量. (　 ) (2)=-. (　 ) (3)a-b的相反向量是b-a. (　 ) (4)|a-b|<|a+b|. (　 ) 基础落实训练 √ √ √ × 2.在△ABC中,=a,=b,则=(　 ) A.|a+b| B.a-b C.b-a D.-a-b 3.在平行四边形ABCD中,-+=(　 ) A. C. √ √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　向量减法法则的应用 [例1]　 (1)如图,已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d. 解:如图所示,在平面内任取一点O,作=a, =b,=c,=d,则a-b=,c-d=. (2)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c. 解:法一:如图①所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c. 法二:如图②所示,在平面内任取一点O, 作=a,=b,则=a+b,再作=c, 连接OC,则=a+b-c. |思|维|建|模| 利用向量减法进行几何作图的方法 (1)已知向量a,b,如图①所示,作=a,=b,利用向量减法的三角形法则可得a-b,利用此方法作图时,把两个向量的起点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量. (2)利用相反向量作图,通过向量求和的平行四边形法则作出a- b.如图②所示,作=a,=b,=-b,则=a+(-b),即=a- b. 针对训练 1.如图,已知正方形ABCD的边长等于1, =a,=b,=c,试作向量a-b+c. 解:如图,连接BD,则=a-b, 作向量=c,连接DE, 则=+=a-b+c. 题型(二)　向量的加、减运算 [例2]　化简下列各式: (1)(+)+(--); 解:法一:原式=+++=(+)+(+)=+=. 法二:原式=+++=+(+)+=++= +0=. (2)--; 解:法一:原式=-=. 法二:原式=-(+)=-=. (3)(-)-(-). 解:法一:(-)-(-)=(+)-(+)=-=0. 法二:(-)-(-)=(-)-(-)=-=0. 法三:在平面内任取一点O,则(-)-(-)=(-)-(-)-[(-)-(-)]=--+-++-=0. |思|维|建|模|　 化简向量的和差的方法 (1)如果式子中含有括号,括号里面能运算的直接运算,不能运算的去掉括号. (2)可以利用相反向量把差统一成和,再利用三角形法则进行化简. (3)化简向量的差时注意共起点,由减数向量的终点指向被减数向量的终点. 提醒:利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧. 针对训练 2.在▱ABCD中,设=a,=b,=c,=d,则下列等式不正确的是(　 ) A.a+b=c B.a-b=d C.b-a=d D.c-a=b 解析:a+b=+==c,故A正确;a-b=-=+==-d, 故B错误;b-a=-==d,故C正确;c-a=-===b,故D正确. √ 3.化简:(1)--++; 解: --++=++++=+=. (2)(++)-(--). 解: (++)-(--)=++-++=(+)+(-)+(+)=++0=0. 题型(三)　用已知向量表示未知向量 [例3]　如图,O是平行四边形ABCD的对角线AC,BD的交点, 设=a,=b,=c,用a,b,c表示. 解:=+=++=+-=c+b-a. |思|维|建|模| 用已知向量表示未知向量的基本步骤 第一步:观察各向量的位置; 第二步:寻找(或作)相应的平行四边形或三角形; 第三步:运用法则找关系; 第四步:化简结果. 4.如图所示,已知=a,=b,=c,=d, =e,=f,试用a,b,c,d,e,f表示 -+-++. 解:=-=c-a,=-=d-a, -==-=d-b,+=-+-=b-a+f-c, -==-=f-d,++=0. 针对训练 题型(四)　向量加减法的几何应用 　如图所示,在▱ABCD中,=a,=b, 用向量a,b表示,并回答下面几个 问题. (1)当a,b满足什么条件时,AC⊥BD? 解:∵=a,=b,∴=a+b,=a- b. 当|a|=|b|时,▱ABCD为菱形,因为菱形的对角线互相垂直,所以AC⊥BD. (2)当▱ABCD满足什么条件时,|a+b|=|a-b|? 解:当▱ABCD为长方形时,因为长方形的对角线相等, 所以|a+b|=|a-b|. 变式拓展 若将例题中的条件变为“设平面内四边形ABCD及任一点O,=a,=b,=c,=d,若a+c=b+d且|a-b|=|a-d|”.试判断四边形ABCD的形状. 解:由a+c=b+d,得a-b=d-c, 即-=-. ∴=.于是AB 􀱀 CD, ∴四边形ABCD为平行四边形. 又|a-b|=|a-d|,从而|-|=|-|, ∴||=||.∴四边形ABCD为菱形. |思|维|建|模| (1)以向量=a,=b为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线的向量为=a+b,=b-a. (2)在▱OACB中,=a,= b. ①若|a|=|b|,则▱OACB为菱形. ②若|a+b|=|a-b|,则▱OACB为矩形. ③若|a|=|b|,且|a+b|=|a-b|,则▱OACB为正方形. 针对训练 5.已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,求|a+b|的值. 解:如图所示,设=a,=b,则=a-b.以OA, OB为邻边作平行四边形OACB,则=a+ b. 由于(+1)2+(-1)2=42,故||2+||2=. 所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形,从而OA⊥OB. 所以▱OACB为矩形.根据矩形的对角线相等有||=||=4,即|a+b|=4. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.化简+=(　 ) A. C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.如图,在四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则=(　 ) A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c 解析:=++=-+=a-b+c. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.如图所示,单位圆上有动点A,B,当|-|取得 最大值时,|-|等于(　 ) A.0 B.-1 C.1 D.2 解析:因为|-|=||,A,B是单位圆上的动点,所以|-|的最大值为2,此时与反向.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.(多选)下列结果为零向量的是 (　 ) A.-(+) B.-+- C.-+++- 解析:-(+)=-=2;-+-=+=0; -+=+=0;++-=+=0.故选B、C、D. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.设a表示“向东走6 km”,b表示“向南走3 km”,则b-a+b所表示的意义为 (　 ) A.向东南走6 km B.向东南走3 km C.向西南走6 km D.向西南走3 km √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:如图,分别作出=a,=2b,则利用向量加法的交换律可得b-a +b=2b-a,故=2b-a.易知△OAB为等腰直角三角形,故∠OAB=45°, 且||=6,所以b-a+b所表示的意义为向西南走6 km. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于O点,则--++=　　　　.  解析:由题图知--++=-+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.如图,在△ABC中,若D是边BC的中点,E是边AB上一点,则 -+=　　　　.  解析:-+=++=+.因为+=0, 所以-+=0. 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=　　　　.  解析:如图,设=a,=b,利用平行四边形法则得=a+ b. ∵|a|=|b|=|a+b|=1,∴△OAC为正三角形.∴=|a-b|=2××|a|=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9. (10分)如图,在正五边形ABCDE中, 若=a,=b,=c, =d,=e,求作向量a-c+b-d-e. 解:a-c+b-d-e=(a+b)-(c+d+e)= (+)-(++)=-=+.如图,连接AC, 并延长至点F,使CF=AC,则=,所以=+, 即为所求作的向量a-c+b-d-e. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(12分)已知平行四边形ABCD的两条 对角线AC与BD交于点E,O是任意一点, 求证:+++=4. 解:因为+++-4=(-)+(-)+(-)+ (-)=+++,又ABCD为平行四边形,则E为AC,BD的中点,可得=-=-,所以+++-4= +++=(+)+(+)=0,+++=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.平面上有三点A,B,C,设m=+,n=-,若m,n的长度恰好相等,则有(　 ) A.A,B,C三点必在同一直线上 B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 C.△ABC必为直角三角形且∠B=90° D.△ABC必为等腰直角三角形 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:如图,作平行四边形ABCD,则+=-=-=. 因为|m|=|n|,所以||=||.所以平行四边形ABCD为矩形.所以△ABC为直角三角形,且∠ABC=90°,故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上运动,且=2,设=x,=y,若|-|=,则x+y的最大值为(　 ) A.2 B.4 C.2 D.4 解析:∵|-|===2,∴x2+y2=4. ∴(x+y)2=x2+y2+2xy≤2(x2+y2)=8,当且仅当x=y时取等号.∴x+y≤2, 即x+y的最大值为2,故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(多选)已知△ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,则有 (　 ) A.|+|=|-| B.|-|=|-| C.|-|=|-| D.|-|2>|-|2+|-|2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由条件可知||=||,且⊥,以为邻边的平行四边形是正方形,对角线相等,根据向量加、减法则可知|+|=|-|, 故A正确;|-|=||,|-|=||,所以|-|=|-|,故B正确; |-|=|+|=||,|-|=|+|=||,所以|-|=|-|,故C正确;===, 由条件可知||2=+,即|-|2=|-|2+|-|2, 故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b所在直线的夹角为　　　　.  解析:如图,设=a,=b,则a-b=.因为|a|=|b|=|a-b|,所以||=||=||.所以△OAB是等边三角形,∠BOA=60°,四边形OACB为菱形.因为=a+b,且在菱形OACB中,对角线OC平分∠BOA,所以a与a+b所在直线的夹角为30°. 30° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)如图,设O是△ABC内一点,且=a,=b,=c,若以线段OA,OB为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以OC,OD为邻边作平行四边形,其第四个顶点为H.试用a,b,c表示. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:由题意可知四边形OADB为平行四边形,所以=+=a+b. 所以=-=c-a- b.又四边形ODHC为平行四边形, 所以=+=c+a+ b.所以=-=c+a+b-b=a+c. $$