第1章 5.2 第2课时余弦函数图象与性质的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

余弦函数图象与性质的应用 (拓展融通课——习题讲评式教学) 第2课时 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　余弦函数图象的应用 题型(二)　余弦函数的单调性及应用 题型(三)　 与余弦函数有关的最值、值域问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　余弦函数图象的应用 01 [例1]　已知函数f(x)=2cos x+1,若f(x)的图象过点,则m=　　　; 若f(x)<0,则x的取值集合为　　　　 　　　　.  解析:当x=时,f(x)=2cos+1=1,∴m=1. f(x)<0,即cos x<-,作出y=cos x在 x∈[0,2π]上的图象,如图所示.由图知x的取 值集合为. 1 |思|维|建|模| 利用图象解不等式cos x>a的步骤 (1)作出相应的余弦函数在[0,2π]上的图象. (2)确定在[0,2π]上cos x=a的x值. (3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集. (4)写出定义域内的解集. 1.函数y=的定义域是　　 　　.  解析:要使函数有意义,只需2cos x-≥0,即cos x≥.由余弦函数图象知(如图),所求函数的定义域为,k∈Z. 针对训练 ,k∈Z 2.已知方程cos x=在x∈上有两个不同的实数根,求实数a的取值范围. 解:作出y=cos x,x∈与y=的大致图象,如图所示. 由图象,可知当≤<1,即-1<a≤0时,y=cos x,x∈的图象与y=的图象有两个交点,即方程cos x=在x∈上有两个不同的实数根,故实数a的取值范围为. 题型(二)　 余弦函数的单调性及应用 02 [例2]　(1)函数y=1-2cos x的单调递增区间是　　 　　　　.  解析:因为y=cos x的单调递减区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z), 所以函数y=1-2cos x的单调递增区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z). [2kπ,2kπ+π](k∈Z) (2)比较大小:cos　　　　cos.  解析: cos=cos=cos, cos=cos=cos=cos. 因为y=cos x在[0,π]上是单调递减的, 又<,所以cos>cos,即cos<cos. < |思|维|建|模| 　　利用余弦函数的单调性比较两个余弦函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间,若不属于,先化至同一单调区间内,再比较大小. 3.若函数y=cos x在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围为 (　 ) A. B.(-π,0] C. D.(-π,π) 解析:函数y=cos x在区间[-π,0]上单调递增,在(0,π)上单调递减, 故-π<a≤0. √ 针对训练 4.cos 110°与sin 10°,-cos 50°的大小关系是 　　　 　.  解析:因为sin 10°=cos 80°,-cos 50°=cos 130°. 而y=cos x在[0,π]上单调递减, 所以sin 10°>cos 110°>-cos 50°. sin 10°>cos 110°>-cos 50° 题型(三)　 与余弦函数有关的最值、值域问题 03 [例3]　(1)已知函数y=4cos x-1,x∈,此函数的最小值为　　　　,最大值为　　　　.  解析:∵x∈,∴当x=0时,函数y=4cos x-1取得最大值为4-1=3; 当x=时,函数y=4cos x-1取得最小值为0-1=-1. -1 3 (2)函数y=cos2x-4cos x+5的值域是　　　　.  解析: y=cos2x-4cos x+5,令t=cos x,则-1≤t≤1,y=t2-4t+5=(t-2)2+1, 当t=-1时,函数取得最大值10;当t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为[2,10]. [2,10] |思|维|建|模| 求余弦函数的最值、值域的常用方法 (1)求解形如y=acos x+b的函数的最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性(-1≤cos x≤1)求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑余弦函数的周期性. (2)求解形如y=acos2x+bcos x+c,x∈D的函数的值域或最值时,通过换元,令t=cos x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t=cos x的有界性.　 5.函数y=cos2x-3cos x+2的最小值是 (　 ) A.2 B.0 C. D.6 解析:设t=cos x,∴y=t2-3t+2=-(-1≤t≤1), 可知当t=1时取得最小值0. √ 针对训练 6.已知函数y=2cos x的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是(　 ) A.2 B.3 C. +2 D.2 解析:根据函数y=2cos x的定义域为,故它的值域为[-2,1],再根据它的值域为[a,b],可得b-a=1-(-2)=3,故选B. √ 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.设M和m分别表示函数y=cos x-1的最大值和最小值,则M+m等于(　 ) A. B.- C.- D.-2 解析:函数的最大值为M=-1=-,最小值为m=--1=-,所以M+m=-2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知函数y=cos x在(a,b)上单调递增,则y=cos x在(-b,-a)上 (　 ) A.单调递增 B.单调递减 C.单调递增或单调递减 D.以上都不对 解析:∵函数y=cos x为偶函数,∴在关于y轴对称的区间上单调性相反. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知定义在区间[0,2π]上的函数f(x)=则不等式f(x)≤0的解集为(　 ) A.　　 C. D.[π,2π] 解析:作出函数图象,如图中实线部分, 由函数图象得不等式f(x)≤0在区间[0,2π] 上的解集为. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.函数f(x)=sin-|lg x|零点的个数为(　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析: f(x)的零点个数,即为y=sin=cos x与y=|lg x|图象的交点 个数,在同一直角坐标系下,两函数图象如图所示. 由图可知,两函数共有4个交点,故f(x)有4个零点. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.满足cos α≥的角的集合为 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析: cos α≥结合余弦函数的性质可得2kπ-≤α≤2kπ+,k∈Z,故满足cos α≥的角的集合为 . 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.函数y=的值域是　 　　　.  解析:∵-1≤cos x≤1,且1-cos x≠0, ∴0<1-cos x≤2,∴y=≥, 即函数y=的值域为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知x∈,则函数y=-3(1-cos 2x)-4cos x+4的值域为　 　　　.  解析:因为x∈,所以cos x∈. 又y=-3(1-cos 2x)-4cos x+4=3cos 2x-4cos x+1=3-,所以当cos x=时,ymin=-,当cos x=-时,ymax=. 故函数y=-3(1-cos 2x)-4cos x+4的值域为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.比较大小:(1)cos　　　　cos;  解析: cos=cos=cos,cos=cos=cos. ∵π<<<<2π,又y=cos x在[π,2π]上单调递增,∴cos<cos, 即cos<cos. < 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)sin　　　　cos.  解析: sin=sin=cos=cos=cos,cos=cos. ∵0<<<π, 又y=cos x在[0,π]上单调递减,∴cos>cos,即sin<cos.　 < 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)已知函数f(x)=2cos x-1. (1)完成下列表格,并用“五点(画图)法”在下面直角坐标系中画出f(x)在[0,2π]上的简图; x 0 π 2π f(x)           1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:表格如下: 用“五点(画图)法”在直角坐标系 中画出f(x)在[0,2π]上的简图如图. x 0 π 2π f(x) 1 -1 -3 -1 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求不等式f(x)>--1在全体实数上的解集. 解:由已知f(x)=2cos x-1>--1,得 cos x>-, 得-+2kπ<x<+2kπ,k∈Z, 即不等式f(x)>--1在全体实数上的解集为,k∈Z. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)已知函数y=a-bcos x的最大值是,最小值是-,求函数y=-4bsin ax的最大值、最小值及最小正周期. 解:因为-1≤cos x≤1,由题意知b≠0,当b>0时,-b≤-bcos x≤b, 所以a-b≤a-bcos x≤a+b.所以解得 所以y=-4bsin ax=-4sinx. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π. 当b<0时,b≤-bcos x≤-b,所以a+b≤a-bcos x≤a-b. 所以解得 所以y=-4bsin ax=4sinx. 最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.(多选)关于函数f(x)=,下列说法正确的是(　 ) A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)是偶函数 C.函数f(x)是周期函数 D.函数f(x)在区间(-π,0)上单调递减 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为cos π=-1,1+cos π=0,所以f(x)的定义域不是R,A选项错误. 由1+cos x≠0,得cos x≠-1.所以x≠2kπ+π,k∈Z. 所以f(x)的定义域是{x|x≠2kπ+π,k∈Z},f(x)的定义域关于原点对称, f(-x)===f(x),所以f(x)是偶函数,B选项正确. 因为f(x+2π)===f(x),所以f(x)是周期函数,C选项正确. 当x≠2kπ+π,k∈Z时,1+cos x>0恒成立,因为y=1+cos x在(-π,0)上单调递增,所以f(x)=在区间(-π,0)上单调递减,D选项正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.若函数y=cos x的定义域为[a,b],值域为,则b-a的取值范围是(　 ) A. 　 B. C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:如图所示为y=cos x的图象,当y=时,x=+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z),当y=-1时,x=π+2kπ(k∈Z). 结合图象可知b-a的最小值为π-=,b-a的最大值为-==,∴b-a的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.设0≤x≤2π,且|cos x-sin x|=sin x-cos x,则x的取值范围为　 　　　.  解析:由题意知sin x-cos x≥0,即cos x≤sin x,在同一平面直角坐标系画出y=sin x,x∈[0,2π]与y=cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示. 观察图象知x∈. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,求这个封闭图形的面积. 解:作出函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象,函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2围成的平面图形为如图所示的阴影部分. 利用图象的对称性可知,该阴影部分的面积 等于矩形OABC的面积,又∵OA=2,OC=2π, ∴S阴影部分=S矩形OABC=2×2π=4π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,且f=0,△ABC的内角A满足f(cos A)≤0,求角A的取值范围. 解:∵当0<A<时,cos A>0, 又f(cos A)≤0=f,f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴cos A≤.∴≤A<. ∵当<A<π时,cos A<0,又f(cos A)≤0=f,f(x)在(-∞,0)上单调递增, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴cos A≤-.∴≤A<π. 当A=时,cos A=0, 由f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(0)=0, 即f(cos A)=0,满足题意. 综上所述,角A的取值范围是∪. $$