第1章 5.2 第1课时余弦函数图象与性质再认识（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

余弦函数的图象与性质再认识 5.2 余弦函数图象与性质再认识 (基本概念课——逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 了解利用单位圆中的余弦线画余弦曲线的方法.掌握“五点(画图)法”画余弦曲线的步骤和方法.理解并掌握余弦函数的定义域、值域、周期性、单调性等性质. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　余弦函数的图象 逐点清(二)　余弦函数性质的再认识 逐点清(三)　五点(画图)法 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　余弦函数的图象 01 1.余弦函数图象的作法 余弦函数y=cos x(x∈R)的图象称作 .图象如图所示(其作法同正弦函数): 余弦曲线 多维理解 2.正弦函数与余弦函数图象的关系 余弦函数y=cos x的图象可以通过将正弦曲线 y=sin x 得到. 向左平移个单位长度 |微|点|助|解| 　　由于余弦曲线可以看作由正弦曲线向左平移个单位长度得到的,因此余弦函数的性质和正弦函数的性质非常相似.处理余弦函数的问题时注意类比正弦函数的研究方法. 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=cos x的图象与y轴只有一个交点. (　 ) (2)将余弦曲线向右平移个单位长度就得到正弦曲线. (　 ) (3)余弦函数y=cos x,x∈R的图象关于x轴对称. (　 ) (4)正、余弦函数y=sin x和y=cos x的图象不超出直线y=-1与y=1所夹的区域. (　 ) √ √ × √ 微点练明 2.函数y=-cos x,x∈[0,2π]的图象与y=cos x,x∈[0,2π]的图象 (　 ) A.关于x轴对称 B.关于原点对称 C.关于原点和x轴对称 D.关于y轴对称 解析:在同一平面直角坐标系中作出两函数的简图(图略), 易知A选项正确. √ 3.函数y=cos x+|cos x|,x∈[0,2π]的大致图象为 (　 ) 解析:y=故选D. √ 4.在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是 (　 ) A.∪ C. 解析:∵sin x>|cos x|,∴sin x>0.∴x∈(0,π). 在同一平面直角坐标系中画出y=sin x, x∈(0,π)与y=|cos x|,x∈(0,π)的图象,如图. 观察图象易得x∈. √ 逐点清(二)　 余弦函数性质的再认识 02 函数 y=cos x 定义域 ____ 最大(小)值 和值域 当x=2kπ,k∈Z时余弦函数取得最大值 ;当x=(2k+1)π,k∈Z时余弦函数取得最小值 .余弦函数的值域是______ 周期性 最小正周期______ R 1 -1 [-1,1] 2π 多维理解 续表 单调性 在区间 ,k∈Z上单调递增; 在区间 ,k∈Z上单调递减 奇偶性 图象关于 对称,是偶函数 [(2k-1)π,2kπ] [2kπ,(2k+1)π] y轴 1.函数y=sin,在上(　 ) A.单调递增 B.单调递减 C.是偶函数 D.是奇函数 解析:y=sin=cos x,x∈,为偶函数,不是奇函数,不是单调函数. √ 微点练明 2.函数y=cos x,x∈R的最小正周期是 (　 ) A.2π B.3π C.4π D.5π 解析:由题意可得,函数y=cos x,x∈R的最小正周期是2π. √ 3.函数f(x)=-cos x+3的值域是 (　 ) A.[-4,2] B.[2,4] C.[-4,-2] D.[-2,4] 解析:因为cos x∈[-1,1],所以-cos x+3∈[2,4]. 所以f(x)的值域为[2,4]. √ 4.比较大小:cos 1　　　　cos 2.  解析:∵函数y=cos x在[0,π]上单调递减,且0<1<2<π,∴cos 1>cos 2. > 逐点清(三)　五点(画图)法 03 1.余弦曲线上有五个关键点 这五个点是 ,, ,, . 2.“五点(画图)法”作图的步骤 作形如y=acos x+b,x∈[0,2π]的图象时,可由“五点(画图)法”作出,其步骤如下: (1)列表.取x=0,,π,,2π. (2)描点. (3)连线.用光滑的曲线将各点顺次连接成图. (0,1) (π,-1) (2π,1) 多维理解 1.利用“五点(画图)法”作出函数y=-1-cos x(0≤x≤2π)的简图. 解:取值列表如下: x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 -1-cos x -2 -1 0 -1 -2 微点练明 解:描点、连线,如图所示. 2.画出函数y=3+2cos x的简图.求使此函数取得最大值、最小值的自变量x的集合,并分别写出最大值、最小值. 解:按五个关键点列表如下, x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 3+2cos x 5 3 1 3 5 描点画出图象(如图). 当cos x=1,即x∈{x|x=2kπ,k∈Z}时, ymax=3+2=5,当cos x=-1,即x∈{x|x=2kπ+π,k∈Z}时,ymin=3-2=1. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.对余弦函数y=cos x的图象,有如下描述: ①向左、向右无限延伸;②与y=sin x的图象形状完全一样,只是位置不同;③与x轴有无数多个交点;④关于y轴对称. 其中正确的描述有(　 ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.函数y=1-2cos x,x∈R的最大值是 (　 ) A.-1 B.1 C.3 D.-3 解析:∵-1≤cos x≤1,∴当cos x=-1时,函数y=1-2cos x取得最大值, 即ymax=1-2×(-1)=3. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.从函数y=cos x,x∈[0,4π]的图象来看,对应于cos x=的x有(　 ) A.1个值 B.2个值 C.3个值 D.4个值 解析:由于函数y=cos x,x∈[0,4π]的图象与直线y=有且只有4个交点, 所以选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.函数y=|cos x|-1的最小正周期是 (　 ) A.2kπ(k∈Z)　 B.3π C.π D.2π 解析:∵函数y=|cos x|-1的周期同函数y=|cos x|的周期一致, 由函数y=|cos x|的图象知其最小正周期为π, ∴y=|cos x|-1的最小正周期也是π,故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.下列关于函数f(x)=的说法正确的是(　 ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.是非奇非偶函数 解析:定义域为{x|x≠0,x∈R },且f(-x)==-=-f(x),故f(x)是奇函数. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.使函数y=cos(2x+φ)为偶函数的φ值可以是 (　 ) A. B.π C. 解析:由于函数y=cos(2x+φ)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z),当k=1时,φ=π. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.下面结论正确的是 (　 ) A.sin 400°>sin 50° B.sin 220°<sin 310° C.cos 130°>cos 200° D.cos(-40°)<cos 310° 解析:由cos 130°=cos(180°-50°)=-cos 50°, cos 200°=cos(180°+20°)=-cos 20°, 又当0°<x<90°时,函数y=cos x单调递减,所以cos 50°<cos 20°, 所以-cos 50°>-cos 20°,即cos 130°>cos 200°. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.函数y=2|cos x|-7的一个单调递增区间是 (　 ) A. B.[0,π] C. 解析:函数y=2|cos x|-7的一个单调递增区间, 即为函数y=|cos x|的一个单调递增区间, 作出y=|cos x|的图象如图所示.由图可知函数 y=|cos x|的一个单调递增区间为. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(多选)下列对y=cos x的图象描述正确的是 (　 ) A.在[0,2π]和[4π,6π]上的图象形状相同,只是位置不同 B.介于直线y=1与直线y=-1之间 C.关于x轴对称 D.与y轴仅有一个交点 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:对A,由余弦函数的周期T=2π,则区间[0,2π]和[4π,6π]相差4π,故图象形状相同,只是位置不同,A正确;对B,由余弦函数的值域为[-1,1],故其图象介于直线y=1与直线y=-1之间,B正确;由余弦函数的图象可得C错误,D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(多选)函数f(x)=2sin,则以下结论不正确的是(　 ) A.f(x)在上单调递增 B.x=为f(x)图象的一条对称轴 C.f(x)的最小正周期为2π D.f(x)在上的值域是(1,) √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为f(x)=2sin=2cos x,所以函数f(x)在上单调递减, 函数f(x)的图象不关于直线x=对称,函数f(x)的最小正周期为2π, 当0<x<时,0<cos x<1,则f(x)在上的值域是(0,2). 所以A、B、D错误,C正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.函数y=cos x在区间上的最大值为　　;最小值为　　　　.  解析:因为y=cos x在上单调递增,在上单调递减,所以当x=0时y取最大值为cos 0=1;又因为cos=,cos=,故y的最小值为. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.比较大小:cos　　　　cos.  解析:∵cos=cos=cos,cos=cos=cos, 而0<<<,又y=cos x在上单调递减,∴cos>cos, 即cos>cos. > 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.函数y=cos x的值域为　　 　　.  解析:当x∈时,-≤cos x≤1,所以值域为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知函数f(x)= (1)作出该函数的图象; 解:作出函数f(x)=的图象,如图①所示. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若f(x)=,求x的值. 解:因为f(x)=,所以在图①基础上再作直线y=,如图②所示,则由图象知当-π≤x<0时,x=-;当0≤x≤π时,x=或x=.综上,可知x的值为-或或. $$