第1章 5.1 第1课时正弦函数图象与性质再认识（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

正弦函数的图象与性质再认识 5.1 正弦函数图象与性质再认识 (基本概念课——逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.掌握“五点(画图)法”画正弦曲线的步骤和方法. 2.理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、单调性等性质,并能求正弦函数的性质及利用性质解题. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　正弦函数的图象 逐点清(二)　正弦函数性质的再认识 逐点清(三)　五点(画图)法 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　正弦函数的图象 01 正弦函数图象在平面直角坐标系中的作法 (1)作单位圆,把☉O 12等分(当然分得越细,图象越精确); (2)12等分后得到对应于0,,,,…,2π的角,并作出相应的 ; 正弦值 多维理解 (3)将x轴上从0到2π一段分成12等份; (4)平移相应角的正弦值; (5)描点,用 顺次连接,就得到y=sin x在区间[0,2π]上的图象(如图); 光滑曲线 (6)将函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象 平移(每次平移2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sin x,x∈R的图象.正弦函数的图象称作正弦曲线. 向左、右 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)第一象限内的角越大,其正弦曲线越长. (　 ) (2)正弦函数的图象向左、右两边无限延伸. (　 ) (3)正弦函数是定义域上的增函数. (　 ) × × √ 微点练明 2.下列图象中,y=-sin x在[0,2π]上的图象是 (　 ) √ 3.函数y=sin|x|的图象是 (　 ) 解析:y=sin|x|=结合选项可知选B. √ 4.下列函数图象相同的是 (　 ) A.y=sin x与y=sin(π+x) B.y=sin与y=sin C.y=sin x与y=sin(-x) D.y=sin(2π+x)与y=sin x 解析:利用诱导公式可知D图象相同. √ 逐点清(二)　 正弦函数性质的再认识 02 函数 y=sin x 定义域 ___ 最大(小) 值和值域 当x=______,k∈Z时正弦函数取得最大值1;当x=______, k∈Z时正弦函数取得最小值-1.正弦函数的值域是______ 周期性 最小正周期为______ R 2kπ+ [-1,1] 2π 2kπ+ 多维理解 续表 单调性 在区间____________________ ,k∈Z上单调递增; 在区间____________________,k∈Z上单调递减 奇偶性 图象关于_________对称,是_________ 原点 奇函数 |微|点|助|解| (1)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一. (2)正弦曲线是中心对称图形,其对称中心的坐标为(kπ,0)(k∈Z),即正弦曲线与x轴的所有交点;正弦曲线也是轴对称图形,其对称轴方程是x=kπ+(k∈Z),对称轴垂直于x轴,且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值. (3)判断正弦函数奇偶性时,必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间,如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数. 1.函数f(x)=xsin x (　 ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 解析:函数的定义域为R,且满足f(-x)=(-x)·sin(-x)=x·sin x=f(x), 所以f(x)=xsin x是偶函数. √ 微点练明 2.函数y=sin的最小正周期为(　 ) A. B.2π C.π D. 解析:∵sin=sin=sin, ∴自变量x只要并且至少要增加到x+,函数y=sin,x∈R的值才能重复出现.∴函数y=sin,x∈R的最小正周期是. √ 3.函数y=4sin(2x+π)的图象关于　　　　对称.  解析:y=4sin(2x+π)=-4sin 2x,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称. 原点 4.sin　　　　sin(填“>”或“<”).  解析:0<<<,由于函数y=sin x在上单调递增,则sin<sin. < 逐点清(三)　五点(画图)法 03 　在平面直角坐标系中描出五个关键点 , 然后再根据正弦函数的基本形状,用光滑曲线将这五个点顺次连接起来,就得到正弦函数在[0,2π]上的简图.这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”. (0,0),,(π,0),, (2π,0) 多维理解 |微|点|助|解| (1)在描点时,光滑的曲线是指经过最高点或最低点的连线要保持近似“圆弧”的形状,经过位于x轴上的点时要改变“圆弧的圆心位置”. (2)作图时自变量要用弧度制,这样自变量与函数值均为实数,在x轴、 y轴上统一单位,作出的图象正规,便于应用. (3)“五点(画图)法”作图的五个点,不一定是我们列出的那五个点,如x∈[-π,π]时的五点为(-π,0),,(0,0),,(π,0). [典例]　利用“五点(画图)法”作出函数y=1-sin x(0≤x≤2π)的简图. 解:取值列表: x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 1-sin x 1 0 1 2 1 解:描点、连线,如图所示. |思|维|建|模| 　　“五点(画图)法”作形如y=asin x+b,x∈[0,2π]的图象时,其步骤 如下: (1)列表:取x=0,,π,,2π; (2)描点:将表中所对应的点(x,y)标在坐标平面内; (3)连线:用光滑的曲线将所描的点连接起来.在连线过程中要注意曲线的“凸性”. 作出函数y=+sin x,x∈[-π,π]的大致图象并写出使得y<0和y>0的x的取值范围. 解:因为y=+sin x,列表: x -π - 0 π y - 针对训练 描点、连线,函数图象如图所示. 令y=0,即sin x+=0,则sin x=-, 所以x=-+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z). 因为x∈[-π,π],所以x=-或x=-. 由图可知当-<x≤π或-π≤x<-时,y>0,当-<x<-时,y<0. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.用“五点(画图)法”作函数y=2sin x-1的图象时,首先应描出的五点的横坐标可以是 (　 ) A.0,,π,,2π B.0,,,,π C.0,π,2π,3π,4π D.0,,,, √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.y=cos是(　 ) A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数 解析:因为y=cos=-sin x,所以该函数是周期为2π的奇函数. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象 (　 ) A.重合 B.形状相同,位置不同 C.关于y轴对称 D.形状不同,位置不同 解析:根据正弦曲线的作法可知函数y=sin x, x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,形状相同. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.(多选)关于正弦函数y=sin x的图象,下列说法正确的是 (　 ) A.关于原点对称 B.有最大值1 C.与y轴有一个交点 D.关于y轴对称 解析:正弦函数y=sin x的图象如图所示.根据y=sin x,x∈R的图象可知A、B、C均正确,D错误. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.正弦函数y=sin x,x∈R的图象的一条对称轴是 (　 ) A.y轴 B.x轴 C.直线x= D.直线x=π 解析:根据正弦函数图象性质可知,当x=时,y取最大值,则直线x=是一条对称轴. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.函数y=-sin x,x∈的简图是(　 ) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:因为当x=0时,y=0,即函数图象过原点,排除选项A、C; 又当x∈(0,π)时,sin x>0,则-sin x<0,即函数y=-sin x,x∈(0,π)的图象在x轴下方,排除选项B,选项D符合要求. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.如图,曲线对应的函数是 (　 ) A.y=|sin x| B.y=sin|x| C.y=-sin|x| D.y=-|sin x| 解析:当x>0时,y=-sin x;当x<0时,y=sin x. 所以y=-sin|x|. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.函数y=sin x-|sin x|的值域是 (　 ) A.[-1,0] B.[0,1] C.[-1,1] D.[-2,0] 解析:当0≤sin x≤1 时,y=sin x-sin x=0,当-1≤sin x<0时,y=2sin x, 此时-2≤2sin x<0,所以函数的值域为[-2,0]. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.设函数f(x)=x4sin x+1,若f(a)=11,则f(-a)=　　　　.  解析:f(a)=a4sin a+1=11,则a4sin a=10, f(-a)=(-a)4sin(-a)+1=-a4sin a+1=-10+1=-9. -9 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.函数y=3sin x-1的最大值为　　　　,取得最大值时x的取值范围 为　 　　 　.  2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.若0<α≤,则y=sin α+的最小值为　　　.  解析:设t=sin α,∵0<α≤,∴0<t≤1. 则y=t+(0<t≤1),易得y=t+在(0,1]上单调递减,∴y=t+在t=1时取得最小值6. 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(17分)在同一平面直角坐标系下作出y=sin x和y=sin x-1的大致图象,并说明它们之间的关系. 解:对于y=sin x,列表如下: x 0 π 2π y 0 1 0 -1 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 对于y=sin x-1,列表如下: 描点、连线,可得y=sin x和y=sin x-1的 图象如图所示.其中将y=sin x向下平移 1个单位长度得到y=sin x-1. x 0 π 2π y -1 0 -1 -2 -1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(18分)已知函数f(x)=1-2sin x. (1)用“五点(画图)法”作出函数f(x)在x∈[0,2π]上的简图; 解:五个关键点列表如下: x 0 π 2π f(x) 1 -1 1 3 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 作图: (2)根据图象求f(x)≥1在[0,2π]上的解集. 解:根据(1)中的图象,可得f(x)≥1在[0,2π]上的解集为{0}∪[π,2π]. $$