1.5.1 第1课时 向量的数量积（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.5.1 数量积的定义及计算 向量的数量积 (教学方式：基本概念课——逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积. 2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　数量积的物理背景及定义 逐点清(二)　投影 逐点清(三)　数量积的运算律 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　数量积的物理 背景及定义 01 多维理解 1.数量积的定义 (1)设a，b是任意两个向量，<a，b>是它们的夹角，则定义a·b=_______________为a与b的数量积. (2)<a，b>=α的取值范围为[0，π]. |a||b|cos<a，b> 2.相关概念 (1)当a，b均不为0时，a·b=0⇔cos α=0⇔α=⇔______ (α=<a，b>). (2)当a=0或b=0时，由于零向量与任意向量垂直，因而仍有_______.因此，a·b=0⇔a⊥b对所有情形均成立. a⊥b a⊥b |微|点|助|解|　 (1)向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab. (2)两个向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数. (3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积，由于|a|，|b|均为正数，故其符号由夹角来决定. 微点练明 1.已知|a|=，|b|=2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　) A.3 B.-3 C.-3 D.3 解析：由平面向量数量积的定义可得a·b=|a||b|cos 120°=×2× =-3. √ 2.若a与b满足|a|=|b|=1，<a，b>=60°，则a·a+a·b等于 (　　) A. B. C.1+ D.2 解析：由题意得a·a+a·b=|a|2+|a||b|·cos 60°=1+=，故选B. √ 3.已知等边三角形ABC的边长为1，设=a，=b，=c，那么a·b+b·c+c·a=(　　) A.3 B.-3 C. D.- 解析：在等边三角形ABC中，有a·b+b·c+c·a=1×1×cos 120°+ 1×1×cos 120°+1×1×cos 120°=-.故选D. √ 4.已知|a|=2，|b|=5，若①a∥b，②a⊥b，分别求a·b. 解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°. ∴a·b=|a||b|cos 0°=2×5×1=10. 若a与b反向，则它们的夹角为180°. ∴a·b=|a||b|cos 180°=2×5×(-1)=-10. ②当a⊥b时，它们的夹角为90°. ∴a·b=|a||b|cos 90°=2×5×0=0. 逐点清(二)　投影 02 多维理解 1.投影向量及投影长 如图，作向量=a，=b，两个向量的夹角为α，过点B作BB1⊥OA于点B1，则=+，其中与共线. 我们把______称为在方向上的投影向量，投影向量的长度||=____________称为投影长.  |||cos α| 2.投影的几何意义 (1)一般地，a与b的数量积等于___________________________________ _____________，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积.  (2)b在a方向上的投影|b|cos α的公式：|b|cos α=_____. a的长度| a |与b在a方向上的投影| b | cos α的乘积 微点练明 1.已知|a|=1，|b|=2，其中a，b的夹角为，则a在b上的投影长为(　　) A.1 B. C. D. 解析：由题意，a在b上的投影长为|a|=1×=. √ 2.已知向量e是与向量b方向相同的单位向量，且|b|=2，若a在b方向上的投影向量为2e，则a·b= (　　) A.2 B.-2 　 C.4 D.-4 解析：a·b=|b|·|a|cos<a，b>=|b|·|2e|=2×2=4.故选C. √ 3.已知O为正三角形ABC的中心，则向量在向量上的投影向量为(　　) A.- B. C.- D. √ 解析：取AB中点D，连接OD，因为O为正三角形ABC的中心，所以OD⊥AB，则向量在向量上的投影向量为=-，故选C. 4.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，a·b=-3，则b在a上的投影向量为 (　　) A.-a B.-a C.-a D.-a 解析：设向量a，b的夹角为θ，因为|a|=2，|b|=3，a·b=-3，所以a·b =|a||b|cos θ=2×3cos θ=-3，所以cos θ=-，所以b在a上的投影向量为|b|cos θ·=3cos θ·=3×·=-a. √ 逐点清(三)　数量积的运算律 03 多维理解 1.平面向量数量积的运算律 对任意的向量a，b，c和实数λ. (1)交换律：a·b=_____； (2)与数乘的结合律：a·(λb)=______； (3)分配律：a·(b+c)=________. b·a λ(a·b) a·b+a·c 2.平面向量的数量积的性质 (1)若e是单位向量，则a·e=e·a=|a|cos<a，e>； (2)若a，b是非零向量，则a·b=0⇔a⊥b； (3)a·a=|a|2，即|a|=； (4)cos<a，b>=(|a||b|≠0)； (5)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立. |微|点|助|解|　 (1)已知实数a，b，c(b≠0)，则ab=bc⇒a=c.但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b=b·c不能推出a=c. (2)对于实数a，b，c有(ab)c=a(bc)，但对于向量a，b，c，(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立. 微点练明 1.(多选)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论不正确的是 (　　) A.0·a=0 B.(a·b)·c=a·(b·c) C.a·b=0⇒a⊥b D.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2 √ √ 解析：0·a=0，A错误； (a·b)·c表示与c共线的向量，a·(b·c)表示与a共线的向量，但a与c不一定共线，B错误；a·b=0⇒a⊥b，C正确；(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2，D正确. 2.已知向量a，b夹角的余弦值为-，且|a|=4，|b|=1，则(a-b)·(b-2a) =(　　) A.-36 B.-12 C.6 D.36 解析： (a-b)·(b-2a)=a·b-2a2-b2+2a·b=3a·b-b2-2a2=3×4× 1×-1-2×16=-36.故选A. √ 3.已知向量a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=5，则2a-b在a方向上的投影长为 (　　) A. B.2 C. D.3 解析：投影长为===. √ 4.若单位向量a，b满足(a-2b)·(a+b)=-，则|a-b|等于(　　) A.1 B. C. D. 解析：因为a，b为单位向量，所以(a-2b)·(a+b)=|a|2-a·b-2|b|2=-a·b-1=-.所以a·b=-.所以|a-b|== =，故选C. √ 5.已知向量a，b满足|a|=，|b|=2，且a⊥(a-b)，则a与b的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：因为a⊥(a-b)，所以a·(a-b)=0，即|a|2-|a||b|cos<a，b>=0，解得cos<a，b>=.又因为0°≤<a，b>≤180°，所以a与b的夹角为30°，故选A. √ 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.已知a，b是互相垂直的单位向量，若c=a-2b，则b·c= (　　) A.-2 B.-1 C.0 D.2 解析：b·c=b·(a-2b)=b·a-2b2=0-2=-2.故选A. √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2.已知|a|=3，|b|=4，a·b=-6，则向量a与b的夹角为 (　　) A. B. C. D. 解析：设向量a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，因为cos θ===-，所以θ=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 3.若|a|=4，|b|=2，a和b的夹角为30°，则a在b的方向上的投影长为 (　　) A.2 B. C.2 D.4 解析：因为a在b的方向上的投影向量为|a|cos 30°×=4×× =b，所以a在b的方向上的投影长为|b|=2，故选C. √ 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 4.对于非零向量a与b，下列不等式恒成立的是 (　　) A.a·b≥|a|·|b| B.a·b≤|a|·|b| C.a·b>|a|·|b| D.a·b<|a|·|b| 解析：设非零向量a与b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，cos θ∈[-1，1]，则a·b=|a|·|b|·cos θ≤|a|·|b|，故选B. √ 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 5.已知平面向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=2，|b|=3，|c|=4，则cos<a，b>= (　　) A. B. C.- D. 解析：因为a+b+c=0，所以c=-a-b，则c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2，即4+2|a||b|·cos<a，b>+9=16，从而12cos<a，b>=3，解得cos<a，b>=. √ 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 6.在四边形ABCD中，=，且(+)·()=0，那么四边形ABCD为(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 解析：由=，可得四边形ABCD是平行四边形.由(+)· ()=0，得=0，即=，所以||=||.所以四边形ABCD为菱形.故选C. √ 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 7.已知|a|=|b|=1，向量a与b的夹角为60°，则|3a-4b|= (　　) A.5 B.13 C.3 D. 解析：|3a-4b|== ==，故选D. √ 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 8.若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a+2b)= (　　) A.4 B.3 C.2 D.0 解析：∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c， ∴a·c=0，b·c=0， ∴c·(a+2b)=a·c+2b·c=0+0=0. √ 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 9.已知非零向量m，n满足4|m|=3|n|，设m与n的夹角为θ，若cos θ=，n⊥(t m+n)，则实数t的值为(　　) A.4 B.-4 C. D.- 解析：由题意知，cos θ===，所以m·n=|n|2=n2，因为n·(t m+n)=0，所以t m·n+n2=0，即t n2+n2=0，所以t=-4. √ 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 10.“平面向量a，b平行”是“平面向量a，b满足a·b=|a||b|”的 (　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 解析：若平面向量a，b平行，则向量a，b方向相同或相反，所以a·b=|a||b|或a·b=-|a||b|；若a·b=|a||b|，则cos＜a，b＞=1，即向量a，b方向相同，以及向量a，b平行.综上，“平面向量a，b平行”是“平面向量a，b满足a·b=|a||b|”的必要而不充分条件.故选B. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 11.已知平面向量α，β，|α|=1，|β|=2，α⊥(α-2β)，则|2α+β|的值是　　　.  解析：由α⊥(α-2β)知，α·(α-2β)=0，则2α·β=1， 所以|2α+β|2=4α2+4α·β+β2=4+2+4=10.故|2α+β|=. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 12.在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上，且满足=2，则·(+)= 　　.  解析：因为M是BC的中点，=2，AM=1， 所以·(+)=·2=·===. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 13.(15分)在△ABC中，已知||=5，||=4，||=3，求： (1)·； 解：因为||=5，||=4，||=3， 所以||2+||2=||2，即AC⊥BC， 所以cos B==. 所以·=||||cos(π-B)=5×4×=-16. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 (2)在上的投影向量； 解：由(1)知，AC⊥BC，所以cos A==， 所以在上的投影向量为||cos A·=3××=. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 (3)在上的投影向量. 解：由(1)知，cos B=，所以在上的投影向量为||cos (π-B) ·=5××=-. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 14.(15分)已知向量e1与e2是夹角为的单位向量，且向量a=3e1+4e2，b=2e1+λe2. (1)求|a|； 解：由题意知，e1·e2=1×1×cos=.因为a=3e1+4e2，所以|a|====. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 (2)若a⊥(a+b)，求实数λ的值. 解：因为向量a=3e1+4e2，b=2e1+λe2，所以a·b=(3e1+4e2)· (2e1+λe2)=6+(3λ+8)e1·e2+4λ=10+λ.因为a⊥(a+b)，所以a·(a+b)=a2+a·b=37+10+λ=0，解得λ=-. 2 $$