1.3 第2课时 向量数乘的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

向量数乘的应用 (教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学) 第2课时 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　用已知向量表示其他向量 题型(二)　向量共线的判定 题型(三)　向量共线中的参数问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　用已知向量 表示其他向量 01 [例1]　如图，点E，D分别是△ABC中AC(靠近C)， BC(靠近B)边上的三等分点，已知=a，=b，求： (1)用a与b表示； 解：∵E为AC边上的三等分点， ∴=.又∵=+， =a，=b，∴=a+b. (2)用a与b表示. 解：∵D为BC边上的三等分点，∴=. ∴===(+)-=. 又∵=a，=b，∴=a-b. 　　|思|维|建|模| 用已知向量表示未知向量的求解思路 (1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中. (2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量. (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. 针对训练 1.如图，在△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三 等分点，点E是线段AB的中点，则=(　　) A.- B.- C.- D.-+ √ 解析：∵点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点， ∴===(+)=-. 2.在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且=4=r+s，求r-s的值. 解：因为=+=4，所以=3，所以==+ =+=+()-=，所以r=，s=-，r-s=. 题型(二)　向量共线的判定 02 [例2]　已知非零向量a，b，且=a+2b，=-3a+4b，=a-3b，则一定共线的三点是(　　) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D √ 解析：∵=a+2b，=-3a+4b，=a-3b，∴=++= -a+3b. ∴=+=-2a+6b=2. 又与有公共点A，∴A，C，D三点共线. |思|维|建|模| 　　证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.具体依据如下： 若存在实数λ，使=λ，则A，B，C三点共线. 针对训练 3.设P是△ABC所在平面内的一点，+=2，则(　　) A.P，A，C三点共线 B.P，A，B三点共线 C.P，B，C三点共线 D.以上均不正确 解析：在△ABC中，取AC的中点D(图略)，则+=2，∴2=2.∴D和P重合.∴P，A，C三点共线. √ 4.在四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，则四边形ABCD的形状是(　　) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.无法判断 解析：∵=++=-8a-2b， ∴=2，即AD∥BC.∵AD≠BC，∴四边形ABCD为梯形. √ 题型(三)　向量共线中的参数问题 03 [例3]　(1)设e1，e2是两个不共线的向量，=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2，若A，B，D三点共线，求实数k的值； 解：若A，B，D三点共线，则与共线.设=λ(λ∈R)，∵==2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2，∴2e1+ke2=λe1-4λe2. 由e1与e2不共线可得解得λ=2，k=-8. (2)设e1，e2是两个不共线的向量，若a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，c=2e1-9e2，问：是否存在实数λ，μ，使d=λa+μb与c共线? 解：d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2，要使d与c共线，则存在实数k，使得d=kc，即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2. 所以解得λ=-2μ. 故存在实数λ和μ，使得d与c共线，此时λ=-2μ. |思|维|建|模| 1.证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得=λ(或=λ等)即可. 2.利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解. 针对训练 5.已知向量=a-kb，=2a+b，=3a-b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于(　　) A.10 B.-10 C.2 D.-2 √ 解析：∵A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使得=λ=λ()，∴a-kb=λ(3a-b-2a-b)=λ(a-2b)， ∴(1-λ)a+(2λ-k)b=0，∴解得故选C. 6.设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka+2b与8a+kb的方向相反，则k=_____.  解析：因为向量ka+2b与8a+kb的方向相反，所以存在实数λ(λ<0)，使得ka+2b=λ(8a+kb). -4 又a，b是两个不共线的非零向量， 所以 解得或(舍去). 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.设a，b都是非零向量，下列四个条件，使=成立的充要条件是(　　) A.a=b B.a=2b C.a∥b且|a|=|b| D.a∥b且方向相同 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：表示a方向的单位向量，因此=的充要条件是a与b同向即可，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线，则 (　　) A.k=0 B.k=1 C.k=2 D.k= √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线，则存在实数λ，使m=λn， ∴-e1+ke2=λ(e2-2e1)=-2λe1+λe2. ∴解得k=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全 等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图， 用四个三角形和一个小平行四边形拼成一个大平行四边 形，如图，其中E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若=x+y，则2x+y等于(　　) A. B. C.1 D.2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意可得=+=+=+(+)=+ +，因为四边形EFGH是平行四边形，所以=-.所以=+.所以=+.因为=x+y，所以x=，y=.则2x+y=2×+=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知=a+5b，=-2a+8b，=3(a-b)，则(　　) A.A，B，C三点共线 B.A，C，D三点共线 C.A，B，D三点共线 D.B，C，D三点共线 解析：对于A，因为=a+5b，=-2a+8b，且≠，所以与不共线.所以A，B，C三点不共线，错误； √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 对于B，因为=+=a+5b-2a+8b=-a+13b，且≠，所以与不共线.所以A，C，D三点不共线，错误；对于C，因为= +=-2a+8b+3a-3b=a+5b=，所以A，B，D三点共线.正确；对于D，因为=-2a+8b，=3(a-b)，且≠，所以与不共线.所以B，C，D三点不共线，错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，3=+λ，则λ=(　　) A.2 B.1 C.-2 D.-1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图所示，因为=2， 所以D为线段AB的三等分点中靠近B的点. 所以=+=+=+()=+=.所以3=-2.所以λ=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.在△ABC中，D为AC的中点，E为AB上一点，BD，CE交于一点F，且=2，若=λ，则实数λ的值为______.  解析：因为=2，所以F为三角形的重心.所以E为AB的中点.所以=.所以λ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知在△ABC中，点M满足++=0，若存在实数m使得+=m成立，则m=____.  解析：∵++=0，∴+=-.又由+=m，得(+)-2=m，即-3=m=-m，∴m=3. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知平面向量e1，e2不共线，且=2e1+ke2，=3e1+2ke2，=e1+e2，若A，B，D三点共线，则k=____.  解析：依题意得，==e1+e2-(3e1+2ke2)=-2e1+(1-2k)e2， 由A，B，D三点共线可知，存在实数λ，使得=λ，即2e1+ke2=λ[-2e1+(1-2k)e2]，由于e1，e2是两个不共线的向量，则解得k=1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)已知向量m，n不是共线向量，a=3m+2n，b=6m-4n，c=m+xn. (1)判断a，b是否共线； 解：若a与b共线，由题知a为非零向量，则存在实数λ，使得b=λa，即6m-4n=λ(3m+2n)， ∴得到λ=2且λ=-2. ∴λ不存在，即a与b不共线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若a∥c，求x的值. 解：∵a∥c，∴存在实数r，使得c=ra， 即m+xn=3rm+2rn. 即解得x=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若=a，=b，试用a，b表示 ，. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形. 则===a， ===b-a， ==-=-=a-b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a+b与c共线，b+c与a共线，那么a+b+c等于(　　) A.a B.b C.c D.0 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：∵a+b与c共线， ∴存在实数λ1，使得a+b=λ1c. ① 又∵b+c与a共线， ∴存在实数λ2，使得b+c=λ2a. ② 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由①得，b=λ1c-a. ∴b+c=λ1c-a+c=(λ1+1)c-a=λ2a. ∴即 ∴a+b+c=-c+c=0.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(多选)下列命题是真命题的是 (　　) A.若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量 B.若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量 C.若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 D.若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：A项为真命题，A，B，C，D在一条直线上，则向量的方向相同或相反，因此与是共线向量；B项为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则的方向不确定，不能判断与是否共线；C项为假命题，因为两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上；D项为真命题，因为两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以A，B，C三点共线.故选AD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD=BC，当点E在线段AD上移动时，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则t=λ-μ的最大值是___.  3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设=k，0≤k≤1，则=k(+2)=k[+2()] =2k-k. ∵=λ+μ，∴∴t=λ-μ=3k. 又0≤k≤1，∴当k=1时，t取得最大值3. 故t=λ-μ的最大值为3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)如图，在△ABC中，==. 设=a，=b. (1)用a，b表示； 解：如图，==b-a，= =+=(b-a)+a=b+a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若P为△ABC内部一点，且=a+b，求证：M，P，N三点共线. 解：证明：连接AN，由+=++=+ =a+b-(b-a)=a+b，又=a+b， 所以=+，故M，P，N三点共线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T.你能发现AR，RT，TC之间的关系吗?请用向量的方法证明. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：AR=RT=TC.证明如下： 因为四边形ABCD为平行四边形，所以=+，设=λ，因为E是AD的中点，所以=2，故=λ=λ(+)=λ(2+) =2λ+λ.又因为B，R，E三点共线， 所以3λ=1，解得λ=，故=.同理可证=，可知R，T为AC的三等分点，故AR=RT=TC. $$