1.3 第1课时 向量的数乘（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.3 向量的数乘 向量的数乘 (教学方式：基本概念课——逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义. 2.理解两个平面向量共线的含义.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　向量的实数倍 逐点清(二)　共线向量及其运算 逐点清(三)　数乘运算律 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　向量的实数倍 01 多维理解 1.向量的数乘 定义 一般地，实数λ与向量a的乘积是一个_____，记作_____，称为a的λ倍，它的长度|λa|=_______.求向量的实数倍的运算称为____________ 向量 λa |λ||a| 向量的数乘 规定 当λ≠0且a≠0时 当λ>0时，λa的方向与a______ 当λ<0时，λa的方向与a______ 当λ=0或a=0时 λa=0a=___或λa=λ0=___ 几何意义 把向量a沿着a的方向或a的反方向______或______ 续表 同向 反向 0 0 放大 缩小 2.向量的线性运算 我们把向量的____________________运算统称为向量的线性运算. 加法、减法、数乘 微点练明 1.下列各式不表示向量的是 (　　) A.0·a　　　　　　 B.a+3b C.|3a| D.e(x，y∈R，且x≠y) √ 2.若|a|=1，|b|=2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是 (　　) A.b=2a B.b=-2a C.a=2b D.a=-2b √ 3.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列关系式正确的是 (　　) A.=3 B.=2 C.= D.=2 解析：由题意可知=-3=-2=2.故只有D正确. √ 4.(多选)已知a，b是两个非零向量，则下列说法正确的是 (　　) A.-2a与a的方向相反，且-2a的模是a的模的2倍 B.3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的 C.-2a与2a是一对相反向量 D.a-b与-(b-a)是一对相反向量 √ √ √ 解析：∵-2<0，∴-2a与a方向相反.又|-2a|=2|a|，∴A正确. ∵3>0，∴3a与a方向相同，且|3a|=3|a|. ∵5>0，∴5a与a方向相同，且|5a|=5|a|. ∴3a与5a方向相同，且3a的模是5a的模的. ∴B正确.按照相反向量的定义可以判断C正确. ∵-(b-a)=-b+a=a-b，∴a-b与-(b-a)为相等的向量.∴D不正确. 逐点清(二)　共线向量及其运算 02 多维理解 1.向量平行或共线 (1)定义：当非零向量a，b方向_____________时，我们既称a，b共线，也称a，b平行，并且用符号“∥”来表示它们共线(或平行)，记作_______. (2)向量平行(或共线)的充要条件 两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的________，即a∥b⇔存在实数λ，使得b=____或a=_____. 相同或相反 a∥b 实数倍 λa λb 2.向量的夹角 条件 设a，b是两个非零向量 产生过程 如图，任选一点O，作=a，=b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)称为向量a，b所成的角(也称夹角)，记作<a，b> 范围 ________ 特殊 情况 θ=0 a，b方向______ θ=π a，b方向______ θ= a与b垂直，记作_______ 规定 零向量0与a的夹角为____，零向量与任一向量_____，也可以规定0与a的夹角为___，零向量与任一向量_____ [0，π] 相同 相反 a⊥b 0 平行 垂直 续表 3.单位向量 (1)我们把_________的向量称为单位向量.它的长度等于单位长度. (2)对于任一非零向量a，都可得到与它方向相同的唯一单位向量e=____. 长度为1 a 微点练明 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a∥b，则存在λ∈R，使得b=λa. (　　) (2)若=3，则与共线. (　　) (3)一个点A和一个非零向量可以唯一确定过点A与向量平行的直线l. (　　) (4)若点P是AB的中点，点O为直线AB外一点，则=(+).(　　) ×　 √　 √　 √ 2.对于非零向量a，b，“a+b=0”是“a∥b”的 (　　) A.充分而不必要条件　 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 3.(多选)在锐角三角形ABC中，下列说法正确的是 (　　) A.与的夹角是钝角 B.与的夹角是锐角 C.与的夹角是钝角 D.与的夹角是锐角 √ √ 4.已知a与b共线，且方向相同，若|a|=8|b|，则a=____b.  解析：∵a与b共线，且方向相同，∴a=λb(λ>0). ∴|a|=|λb|=|λ||b|. 又|a|=8|b|，∴|λ|=8. ∴λ=8. 8 逐点清(三)　数乘运算律 03 多维理解 设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则： (1)对实数加法的分配律：(x+y)a=________. (2)对实数乘法的结合律：x(ya)=______. (3)对向量加法的分配律：x(a+b)=________. xa+ya (xy)a xa+xb 微点练明 1.(多选)下列计算正确的是 (　　) A.(-3)·2a=-6a B.2(a+b)-(2b-a)=3a C.(a+2b)-(2b+a)=0 D.4a-2(a-b)=2a+2b √ √ √ 2.化简：(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)=____.  解析：原式=a-b-a-b+a+b=a+b =0a+0b=0. 0 3.已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x-2y=a，-4x+3y=b，求向量x，y. 解： 由①×3+②×2，得x=3a+2b， 代入①得3×(3a+2b)-2y=a，所以y=4a+3b. 所以x=3a+2b，y=4a+3b. 4.化简下列各式. (1)4(2a+3b)+3(a-b)-b； 解：4(2a+3b)+3(a-b)-b=8a+12b+3a-3b-b=11a+8b. (2)(a+2b)-(3a-2b)-a. 解：(a+2b)-(3a-2b)-a=a+b-2a+b-a=-a+b. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.下列计算正确的个数是 (　　) ①(-3)·2a=-6a；②2(a+b)-(2b-a)=3a； ③(a+2b)-(2b+a)=0. A.0 B.1 C.2 D.3 解析： (-3)·2a=-6a，故①正确；2(a+b)-(2b-a)=3a，故②正确；(a+2b)-(2b+a)=0，故③错误. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.下列说法正确的是 (　　) A.λa与a的方向不是相同就是相反 B.若a，b共线，则b=λa C.若|b|=2|a|，则b=±2a D.若b=±2a，则|b|=2|a| 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：当λ=0时，λa=0，由于零向量的方向是任意的，故A错误；当a=0，b≠0时，此时a，b共线，但不能得到b=λa，故B错误；|b|=2|a|，a，b的方向不确定，故不能得到b=±2a，故C错误； 若b=±2a，则|b|=2|a|，故D正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=，则向量与的夹角为(　　) A. B. C. D. 解析：∵AB=AC，∠BAC=，∴∠ABC=∠ACB=，则向量与的夹角为π-∠ABC=. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.如图，向量a-b= (　　) A.-2e1-4e2 B.-4e1-2e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图，令b=，a=，所以a-b===e1-3e2. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知A，B，O是平面内不共线的三个定点，且=a，=b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则等于(　　) A.a-b B.2(b-a) C.2(a-b) D.b-a 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图，a=(+)，b=(+)， 相减得b-a=(). 所以=2(b-a).故选B. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是 (　　) A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同 C.|-λa|≥|a| D.|-λa|>|λ||a| 解析：只有λ<0时，a与λa的方向相反，所以A不正确；因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，所以B正确；因为|-λa|=|λ||a|，只有当|λ|≥1时，才有|-λa|≥|a|，所以C不正确；因为|-λa|=|λ||a|，所以D不正确. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.若a=b+c，化简3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)的结果为 (　　) A.-a B.-4b C.c D.a-b 解析：∵a=b+c，∴3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)=3a+6b-6b-2c-2a-2b=a-2b-2c=a-2(b+c)=a-2a=-a. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.在平行四边形ABCD中，=2，则=(　　) A.+ B.+ C. D. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(多选)下列关于向量的命题，正确的是 (　　) A.零向量平行于任意向量 B.对于非零向量a，b，若a∥b，则a=±b C.对于非零向量a，b，若a=±b，则a∥b D.对于非零向量a，b，若a∥b，则a与b所在直线一定重合 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：根据零向量的定义可知，零向量与任意向量平行，故A正确；对于非零向量a，b，若a∥b，则a和b是平行向量，平行向量的方向相同或相反，但|a|不一定等于|b|，所以a不一定等于±b，故B错误；对于非零向量a，b，若a=±b，则a与b是相等向量或相反向量，一定有a∥b，故C正确；对于非零向量a，b，若a∥b，则a和b是平行向量，也就是共线向量，但a与b所在直线不一定重合，故D错误. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(多选)已知点O是△ABC的重心，则下列说法正确的是 (　　) A.++=0 B.=(+) C.=(+) D.+=(+) 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图，记D为BC的中点，则O为AD上靠近点D的三等分点.因为+=2=-2，所以++=0，A正确；又+ =2=，所以(+)=，B正确，C错误；又+ =2+=2=6，所以+=(+)，故D错误. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(多选)在△ABC中，==，记=a，=b，则下列结论正确的是(　　) A.=(-a-b)　　　 B.=-b C.=(b-a) D.=a+b 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图，因为===a，=b，所以=+=-b-a，==-b.所以==(-a-b)，=+=b-(a+b)=(b-a). 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(多选)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且=a，=b，给出下列结论，其中正确的是(　　) A.=-b B.=a-b C.=a+b D.=a 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图所示，=-=-b，则A正确； =+=a+b，则B错误；=+=a+b，则C正确；==-=-a，则D错误. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.若|a|=3，b与a方向相反，且|b|=5，则a=_____.(用b表示)  解析：由|a|=3，|b|=5，得|a|=|b|. 又b与a方向相反，所以a=-b. 16 -b 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.已知点C在线段AB上，且||=||，若=λ，则λ=_____.  解析：不妨设||=4a，则||=||=3a.因为点C在线段AB上，所以=-. 16 - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)若向量a=3i-4 j，b=5i+4 j，求-3+(2b-a). 解：a-b=(3i-4 j)-(5i+4 j)=-4i- j； a+b=(3i-4 j)+(5i+4 j)=i- j； 2b-a=2(5i+4 j)-(3i-4 j)=7i+12 j； 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 -3+(2b-a) =-3+(7i+12 j) =-16i+ j. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(15分)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3=0，求△ABM与△ABC面积的比值. 解：如图，设D为BC边的中点，则=(+).因为3=0，所以3=+=2， 所以=，所以S△ABM=S△ABD=S△ABC. 即S△ABM∶S△ABC=1∶3. 16 $$