1.2 第2课时 向量的减法（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

向量的减法 (教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的减法运算. 2.理解平面向量减法的几何意义，掌握向量减法的三角形法则. 3.利用相反向量的概念，理解减法运算是加法运算的逆运算. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.向量的减法 (1)已知两个向量a，b，求x满足a+x=b，这样的运算叫作向量的减法，记为_______，x称为__________. (2)b减去一个向量a，等于加上它的相反向量-a，即b-a=_______. x=b-a b与a之差 b+(-a) 2.等式=的物理意义 位置的改变量=终点位置-起点位置，因此，向量等于_____________ _______________. 终点向量 减起点向量 |微|点|助|解|　 (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义， -=，就可以把减法转化为加法. (2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点. (3)向量减法满足三角形法则.如图，在用三角形法则 作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被 减”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量. (　　) (2)=. (　　) (3)a-b的相反向量是b-a. (　　) (4)|a-b|<|a+b|. (　　) √　 √　 √　 × 2.在△ABC中，=a，=b，则=(　　) A.|a+b| B.a-b C.b-a D.-a-b √ 3.在平行四边形ABCD中，+=(　　) A. B. C. D. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　向量减法法则的应用 [例1]　(1)如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a-b，c-d. 解：如图所示，在平面内任取一点O，作=a，=b，=c，=d，则a-b=，c-d=. (2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b-c. 解：法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，则=a+b-c. 法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，连接OC，则=a+b-c. |思|维|建|模| 利用向量减法进行几何作图的方法 (1)已知向量a，b，如图①所示，作=a，=b，利用向量减法的三角形法则可得a-b，利用此方法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. (2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a-b.如图②所示，作=a，=b，=-b，则=a+(-b)，即=a-b. 针对训练 1.如图，已知正方形ABCD的边长等于1，=a，=b， =c，试作向量a-b+c. 解：如图，连接BD， 则=a-b，作向量=c，连接DE， 则=+=a-b+c. 题型(二)　向量的减法运算 [例2]　化简下列各式： (1)(+)+(-)； 解：法一：原式=+++=(+)+(+)=+=. 法二：原式=+++=+(+)+=++= +0=. (2)； 解：法一：原式==. 法二：原式=-(+)==. (3)()-(). 解：法一：()-()=(+)-(+)==0. 法二：()-()=()-()==0. 法三：在平面内任取一点O， 则()-()=()-()-[()-()]=+++=0. |思|维|建|模| (1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号. (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简. (3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点. [提醒]　利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧. 针对训练 2.(多选)在▱ABCD中，设=a，=b，=c，=d，则下列等式正确的是(　　) A.a+b=c B.a-b=d C.b-a=d D.c-a=b 解析：a+b=+==c，故A正确；a-b==+ ==-d，故B错误；b-a===d，故C正确；c-a= ===b，故D正确. √ √ √ 3.化简：(1)++； 解：++=++++=+=. (2)(++)-(). 解：(++)-()=++++= (+)+()+(+)=++0=0. 题型(三)　用已知向量表示未知向量 [例3]　如图，解答下列各题： (1)用a，d，e表示； 解：由题意知，=a，=b，=c，=d，=e，则(1) =++=d+e+a. (2)用b，c表示； 解：==-=-b-c. (3)用a，b，e表示； 解：=++=a+b+e. (4)用c，d表示. 解：=-=-(+)=-c-d. |思|维|建|模| 1.利用已知向量表示其他向量的思路 解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和相等(或相反)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系.当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接.当两个向量共起点时，可以考虑用减法. 2.常用结论 任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即=+以及=(M，N均是同一平面内的任意点). 针对训练 4.如图，已知=a，=b，=c，=d，= e，=f，试用a，b，c，d，e，f表示 +++. 解：==c-a，==d-a，===d-b，+=+=b-a+f-c，= ==f-d，++=0. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.化简++等于(　　) A. B. C. D. 解析：原式=(+)+(+)=+0=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.如图，在四边形ABCD中，设=a，=b，=c， 则=(　　) A.a-b+c 　　　　B.b-(a+c) C.a+b+c 　　　　D.b-a+c 解析：=++=+=a-b+c. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.(多选)下列结果为零向量的是 (　　) A.-(+) B.++ C.+ D.++ 解析：-(+)==2++=(+) +(+)=0+=+=+=0；++=+=0. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知O是平面上一点，=a，=b，=c，OD=d，且四边形ABCD为平行四边形，则(　　) A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：易知==，而在平行四边形ABCD中有=， ∴=， 即b-a=c-d，故a-b+c-d=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.在四边形ABCD中，若=-，且||=|+|，则四边形ABCD为(　　) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 解析：由=-，得=，所以四边形ABCD是平行四边形.由||=|+|，得||=||，所以平行四边形ABCD的对角线相等，因此该四边形为矩形. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.+=______.  解析：+=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则++=_____.  解析：由题图知++=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.设a，b为单位向量，且|a+b|=1，则|a-b|=______.  解析：如图，设=a，=b，利用平行四边形法则得=a+b. ∵|a|=|b|=|a+b|=1，∴△OAC为正三角形.∴=|a-b|=2××|a|=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)如图，已知向量a，b，c，求作向量a-b-c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：先作a-b，再作a-b-c即可. 如图所示，以A为起点分别作向量和， 使=a，=b.连接CB，得向量=a-b， 再以C为起点作向量，使=c，连接DB， 得向量.则向量即为所求作的向量a-b-c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)设O是△ABC内一点，且=a，=b，=c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以线段OC，OD为邻边作平行四边形，第四个顶点为H.试用a，b，c表示. 解：由题意可知四边形OADB为平行四边形， ∴=+=a+b， ∴==c-(a+b)=c-a-b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又四边形ODHC为平行四边形， ∴=+=c+a+b， ∴==a+b+c-b=a+c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.平面上有三点A，B，C，设m=+，n=，若m，n的长度恰好相等，则有(　　) A.A，B，C三点必在同一直线上 B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 C.△ABC必为直角三角形且∠B=90° D.△ABC必为等腰直角三角形 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图，作平行四边形ABCD，则+===. 因为|m|=|n|，所以||=||.所以平行四边形ABCD为矩形.所以△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示， 则向量a-b与b的夹角为 (　　) A.45° B.90° C.120° D.135° √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图，令=a，=b，则=a-b.设最小的小正方形边长为1，则||=||=，||=2，所以||2+|BA|2=||2，所以△OAB是等腰直角三角形.所以∠OBA=45°，则向量a-b与b的夹角为∠OBA的补角，为135°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.在△ABC中，||=||=||=2，则||=______.  解析：如图，延长CB到点D，使CB=BD，连接AD.在△ABD中，AB=BD=2，∠ABD=120°，=+=+=. 易求得AD=2，即||=2. 所以||=2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且||=||=1，+=+=0，cos∠DAB=，求|+|与|+|. 解：因为+=+=0，所以=-=-，即四边形ABCD为平行四边形. 又因为||=||=1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以四边形ABCD为菱形，如图所示，cos∠DAB=，0<∠DAB<π，所以∠DAB=. 所以|+|=|+|=||=2||=， |+|=||=||=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)如图，在▱ABCD中，=a，=b，用向量a，b表示，并回答下面几个问题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (1)当a，b满足什么条件时，AC⊥BD? 解：∵=a，=b，∴=a+b，=a-b. 当|a|=|b|时，▱ABCD为菱形，∵菱形的对角线互相垂直，∴AC⊥BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)当▱ABCD满足什么条件时，|a+b|=|a-b|? 解：当▱ABCD为长方形时，∵长方形的对角线相等，∴|a+b|=|a-b|. 16 $$