1.2 第1课时 向量的加法及运算律（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.2 向量的加法 向量的加法及运算律 (教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则. 2.理解平面向量加法的几何意义，会用向量的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量的计算. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.向量加法的定义 求________的运算称为向量的加法. 2.向量加法的两种法则 (1)三角形法则：已知平面上两个非零向量a，b，在该平面 上任取一点O，分别作=a，=b，则定义从O到B的向 量_____为a，b的和，记作a+b.即a+b=+=____.当两个 非零向量的方向既不相同也不相反时，将两个向量表示为首尾相接的_________来求和的作图法则叫作向量加法的三角形法则. 向量和 有向线段 (2)平行四边形法则：如图，从同一点O出发作有向线 段=a，=b，以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则对角线就是a与b的和，即=______. a+b |微|点|助|解|　 平行四边形法则与三角形法则的区别与联系 区别 (1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调“共起点”. (2)三角形法则适用于所有的非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和 联系 平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解决具体问题时视情况而定 3.加法的运算律 交换律 a+b=_____ 结合律 (a+b)+c=_______ b+a a+(b+c) 4.零向量的加法性质 (1)任意向量与零向量相加后保持不变，等于这个向量本身，即a+0=______=a. (2)如果两个向量之和为0，即a+b=0，则a与b______相等，_____相反，即b是a的相反向量，记作_______或_______. 0+a 大小 方向 b=-a a=-b |微|点|助|解|　 (1)向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立. (2)因为向量的加法满足交换律和结合律，所以多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合进行.如(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)，a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e). 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量. (　　) (2)对于任意两个向量，都可利用平行四边形法则求出它们的和向量. (　　) (3)两个向量相加可能是数量. (　　) (4)如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a，b之一方向相同. (　　) √　 ×　 ×　 × 2.(多选)下列等式成立的是 (　　) A.+= B.在矩形ABCD中，+= C.+=2 D.+= √ √ √ 3.已知非零向量a，b，c，则向量(a+c)+b，b+(a+c)，b+(c+a)，c+(b+a)，c+(a+b)中，与向量a+b+c相等的个数为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析：由向量加法的交换律与结合律可知，所给的5个向量都与a+b+c相等. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　向量加法法则的应用 [例1]　(1)如图甲所示，求作向量和a+b； 解：首先作向量=a，然后作向量=b，则向量=a+b.如图所示. (2)如图乙所示，试用三角形法则作向量和a+b+c. 解：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量=a，再作向量=b，则得向量=a+b，然后作向量=c，则向量=(a+b)+c =a+b+c. [变式拓展] 　本例(2)不变，请用平行四边形法则作向量和a+b+c. 解：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量=a，=b，=c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则=+=a+b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则=+=a+b+c. |思|维|建|模| 　　用三角形法则求向量和，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”.两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其他位置.两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用. 针对训练 1.已知向量a，b，c，如图，求作a+b+c. 解：在平面内任取一点O，作=a，=b， =c，如图，则由向量加法的三角形法则， 得=a+b，=a+b+c. 题型(二)　向量加法及其运算律 [例2]　化简下列各式： (1)++； 解：法一：++=(+)+=+=0. 法二：++=(+)+=(+)+=+=0. (2)++++. 解：++++=++++=+++= ++=+=0. |思|维|建|模| 向量加法运算的注意点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算. (2)要灵活运用向量加法的运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0. 针对训练 2.如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC， AC，AB的中点，化简下列各式： (1)++； 解：∵==， ∴++=++=. (2)++. 解：∵FE∥BC，且FE=BC=BD， ∴FE綉BD，∴=， ∴++=++=++=. 题型(三)　向量加法的实际应用 [例3]　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 解：作出图形，如图.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水+v船=v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形， 在Rt△ACD中， ||=||=|v水|=10 m/min， ||=|v船|=20 m/min， ∴cos α===. ∴α=60°，从而船与水流方向成120°角. 故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向. [变式拓展] 　若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程. 解：由题意可知||=||， 即v实际=v船=×20=10(m/min)=(km/h)， 则经过3小时，该船的实际航程是3×=(km). |思|维|建|模|　应用向量解决平面几何问题的基本步骤 表示 用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题 运算 应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题 还原 根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题 针对训练 3.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地东偏北30°的方向处，且A，C两地相距300 km，求飞机从B地到C地飞行的方向及B，C间的距离. 解：如图所示，=+，∠BAC=90°，|| =||=300 km，所以||=300 km.又因为∠ABC =45°，且A地在B地的东偏南60°的方向处，可知 C地在B地的东偏南15°的方向处.故飞机从B地向C 地飞行的方向是东偏南15°，B，C两地间的距离为300 km. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.(多选)下列等式不正确的是(　　) A.a+(b+c)=(a+c)+b B.+=0 C.=++ D.|a+b|<|a|+|b| 16 √ √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：A正确；B错误，+=0；C正确；D错误，当a，b方向相同时，|a+b|=|a|+|b|.故选BD. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知正八边形ABCDEFGH如图所示，其中O为正八边形的中心，则++=(　　) A. B. C. D. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：由平面向量的加法法则及正八边形的性质，可得+ +=+=+=. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.某人先向东走3 km，位移记为a，接着再向北走3 km，位移记为b，则a+b表示 (　　) A.向东南走3 km B.向东北走3 km C.向东南走3 km D.向东北走3 km 解析：由题意和向量的加法，得a+b表示先向东走3 km，再向北走3 km，即向东北走3 km.故选B. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC 与BD相交于点O，则+++等于(　　) A. B. C. D. 解析：+++=(+)+(+)=+=. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.若在△ABC中，=a，=b，且|a|=|b|=1，|a+b|=，则△ABC的形状是(　　) A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 解析：由于=|a|=1，||=|b|=1，||=|a+b|=，所以△ABC为等腰直角三角形.故选D. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.化简(+)+(+)+=______.  解析：原式=(+)+(+)+=++=+=. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么+=______，+=______.  16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为DE∥BC，AB∥CF，所以四边形DFCB为平行四边形.由向量加法的运算法则可知+=+=+=+=. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.在菱形ABCD中，∠DAB=60°，||=1，则|+|=______.  解析：如图，|+|=||，在Rt△AOB中，AB=1，∠OAB=30°，AC=2AO=2AB·cos 30°=. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB， BC，CD，DA的中点，化简下列各式： (1)++； 解：++=++=++=+=. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)+++. 解：+++=+++=++=+=0. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(8分)如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点， 且BP=QC.求证：+=+. 证明：∵=+=+，∴+=+++.∵与大小相等，方向相反，∴+=0，故+=++0=+. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(10分)如图，已知E，F分别是▱ABCD的边DC， AB的中点，求证：四边形AECF是平行四边形. 证明：在▱ABCD中，=，又由E，F分别是DC，AB中点，得=. 所以=+=+=.又A，E，C，F四点不共线，故四边形AECF是平行四边形. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 12.(多选)下列说法错误的是(　　) A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a或b的方向相同 B.若向量a与b的方向相同或相反，且|a|>|b|>0，则向量a+b的方向与向量a的方向相同 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 C.若++=0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D.若a，b均为非零向量，则|a+b|=|a|+|b| 解析：A错误，若a+b=0，则a+b的方向是任意的；B正确，若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同，若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同；C错误，当A，B，C三点共线时，也满足++=0；D错误，|a+b|≤|a|+|b|. 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.在矩形ABCD中，||=4，||=2，则向量++的长度为_______.  解析：因为+=， 所以++的长度为的模的2倍. 又||==2， 所以向量++的长度为4. 16 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.设O为△ABC的外心，且满足+=，则∠ACB=______.  解析：如图，∵+=，∴根据向量加法的平行四边形法则，得四边形OACB为平行四边形，且BC=OA.∵O为△ABC的外心，∴OA=OB=OC，△OBC为等边三角形，∴四边形OACB为菱形，且∠OBC=60°，∴∠ACB=120°. 16 120° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：如图，作▱OACB，使∠AOC=30°，∠BOC=60°， 则在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°. 设向量分别表示两根绳子的拉力，则表示 物体的重力，且||=300 N，∴||=||cos 30°=150(N)，||=||cos 60°=150(N)，∴与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(14分)如图，已知G是△ABC所在平面内一点.求证： G是△ABC的重心的充要条件是++=0. 16 证明：(充分性)如图1，以GB，GC为邻边作▱GBEC，连接GE， 交BC于点M，则M是BC的中点，也是GE的中点.因为+=，且++=0，所以=.于是可得点G在线段AM上，且AG=2GM.又AM是△ABC边BC上的中线，所以G是△ABC的重心. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (必要性)如图2，延长AG交BC于点D，则由G是△ABC的重心，得D是BC的中点，且AG=2GD.延长GD到E'，使DE'=GD，连接E'B，E'C，则四边形GBE'C是平行四边形，所以+='=-，故++ =0.综上，G是△ABC的重心的充要条件是++=0. 16 $$