1.1 向 量（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

第1章 平面向量及其应用 1.1 向　量 (教学方式：基本概念课——逐点理清式教学) 课时目标 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景. 2.理解向量、相等向量、零向量、相反向量的概念及向量的表示. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　向量的基本要素及几何表示 逐点清(二)　向量的相等 逐点清(三)　向量的几何表示 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　向量的基本要素 及几何表示 01 多维理解 1.有向线段的概念 定义 具有______的线段，称为有向线段 表示方法 以A为起点，B为终点的有向线段，记作_____ 长度 位移的大小就是A到B的__________，记作______，也就是有向线段的长度，记作______ 方向 直线距离 |AB| || 2.向量的基本概念 定义 既有_____又有______的量，称为向量 表示方法 几何表示 用表示有向线段起点、终点的字母表示，例如，… 字母 表示 通常在印刷时，用粗体字母a，b，F，…表示向量，书写时，可写成带箭头的字母，… 模 向量a的大小，也就是向量a的长度，称为a的___，记作___ 大小 方向 模 |a| 微点练明 1.有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速.其中可以看成是向量的有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 2.已知向量a如图所示，下列说法不正确的是 (　　) A.也可以用表示 B.方向是由M指向N C.起点是M D.终点是M 解析：终点是N而不是M. √ 3.下列说法正确的是 (　　) A.身高是一个向量 B.温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C.有向线段由方向和长度两个要素确定 D.有向线段和有向线段的长度相等 √ 解析：由向量即有大小(模长)又有方向的量，显然身高不是向量，故A错；温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错；有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错；有向线段和有向线段的长度相等，故D对. 4.已知||=1，||=2，若∠ABC=90°，则||=(　　) A.3 B.5 C. D.1 解析：由勾股定理可知，|BC|==，即||=. √ 逐点清(二)　向量的相等 02 多维理解 相等向量 把_____________________的向量称为相等向量 相反向量 把_____________________的向量a，b称为相反向量，记作_______.如果b=-a，则同样也有a=-b 零向量 如果向量a的大小|a|=0，就称a是零向量，记作___.规定：所有的零向量_____ 方向相同、长度相等 长度相等、方向相反 b=-a 0 相等 |微|点|助|解|　 　　若两个非零向量相等或相反，则表示这两个向量的有向线段所在的直线重合或平行. 微点练明 1.(多选)下列说法错误的是 (　　) A.若a=0，则|a|=0 B.零向量没有方向 C.零向量的方向是任意的 D.|a|=|b|⇔a=b √ √ 2.图中与向量a相等的向量是 (　　) A.b，c，e，f B.c，f C.f D.c √ 解析：由相等向量的定义可知，两个向量的长度要相等，方向要相同，结合图形可知c满足条件，故选D. 3.如图，在平行四边形ABCD中，若=，则图中相等的向量是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 √ 解析：与互为相反向量，A错误；与互为相反向量，B错误；与满足相等向量的定义，C正确；与方向不同不满足相等向量的定义，D错误.故选C. 4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形. (1)写出与向量相等的向量； 解：∵四边形ABCD和ABDE都是平行四边形， ∴AB綉ED，AB綉DC，从而==，∴=. 故与向量相等的向量是. (2)写出与向量相反的向量； 解：由(1)知与相反的向量为. (3)若||=3，求向量的模. 解：由上知||=||+||=2||=6. 逐点清(三)　向量的几何表示 03 [典例]　已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地.画图表示向量，并指出向量的模和方向. 解：由题意知，向量如图所示， 由已知可得，△ABC为正三角形， 所以AC=2 000 km. 又∠ACD=45°，CD=1 000 km， 所以△ADC为等腰直角三角形. 所以AD=1 000 km，∠CAD=45°. 故向量的模为1 000 km，方向为东南方向. |思|维|建|模| 1.向量的两种表示方法 (1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点. (2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示；为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如等. 2.两种向量表示方法的作用 (1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础. (2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算. [针对训练] 　在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： (1)，使||=4，点A在点O北偏东45°； 解：由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸 上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等. 又||=4，小方格边长为1，所以点A距点O的 横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位 置可以确定，画出向量如图所示. (2)，使||=4，点B在点A正东； 解：由于点B在点A正东方向处，且||=4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示. (3)，使||=6，点C在点B北偏东30°. 解：由于点C在点B北偏东30°处，且||=6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.(多选)若四边形ABCD是矩形，则下列命题正确的是 (　　) A.与相等 B.与相等 C.与模相等，方向相反 D.与模相等 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(多选)两列火车从同一站台出发，沿相反方向行驶了相同的路程，设两列火车的位移分别为a和b，则下列说法正确的是 (　　) A.a与b方向相同 B.a与b为模相等的向量 C.a与b为相等向量 D.a与b为相反向量 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：两列火车从同一站台出发，沿相反方向行驶，即a与b的方向相反，故A、C错误；两列火车行驶了相同的路程，即a与b的模相等，故B正确；又a与b的方向相反，所以a与b为相反向量，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.(多选)下列说法错误的是 (　　) A.若|a|>|b|，则a>b B.若a≠b，则|a|≠|b| C.零向量的长度为0 D.若=，则= 解析：向量不能比较大小.故A错误； 两个向量不相等， 但它们的模可以相等， 故B错误；零向量的长度为0， 故C正确；=，则它们的相反向量也相等，故D正确. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.某人先向正东方向走了4 km，然后他向左转90°并向新的方向走了3 km，此时他距离出发点 (　　) A. km B.2 km C.3 km D.5 km 解析：作出示意图如图，此时他距离 出发点=5 km. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.如图，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是 (　　) A.= B.= C.= D.= √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：根据相等向量的定义，分析可得，A、B不成立；C中，与 方向相反，故=不成立；D中，与方向相同，且长度都等于 线段EF长度的一半，故=成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.若||=||且=，则四边形ABCD的形状为(　　) A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形 解析：∵在四边形ABCD中，=，∴BA与CD不重合，BA∥CD，且||=||，∴四边形ABCD为平行四边形，又||=||，∴四边形ABCD为菱形. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(多选)如图，每个小正方形的边长都是1，在其中标 出了6个向量，则在这6个向量中 (　　) A.向量的模相等 B.= C.向量相等 D.||+||=5 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：==，||==2，A错误；||==，B正确；向量不相等，C错误；||+||=2+3=5，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB=30°，||=2，则||等于(　　) A.1 B. C. D.2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图，连接AC， 由||=||， 得∠ABC=∠OCB=30°， 又∠ACB=90°， 则||=||=×2=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(多选)下列结论中，正确的是 (　　) A.|a|=|b|是a=b的必要而不充分条件 B.|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件 C.a与b的方向相同，且|a|=|b|是a=b的充要条件 D.a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分而不必要条件 解析：若a=b，则a与b的方向相同，长度相等，所以A、C、D正确，B错误. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(多选)在菱形ABCD中，∠DAB=120°，则以下说法正确的是 (　　) A.与相等的向量只有一个(不含) B.与的模相等的向量有8个(不含) C.的模恰好为的模的倍 D.= √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：与相等的向量只有，A正确；由已知条 件可得||=||=||=||=||=||=||=||= ||=||，B错误；如图，过点B作DA的垂线交DA的延长线于E，因为∠DAB=120°，四边形ABCD为菱形，所以∠BDE=∠ABE=30°，在Rt△BED中，||=，在Rt△AEB中，||=||=||，所以|| ==||，C正确；与方向相同，大小相等，故=，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则= ______.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为______.  解析：根据题意，在正△ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，因此有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(12分)窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH，且E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (1)求与相等的向量； 解：因为四边形EFGH为正方形，所以EF=FG=GH=HE，且EF∥HG.又E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，所以BF=FG=GC =HD=AE. 所以与相等的向量有. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求的相反向量. 解：的相反向量有. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(13分)如图，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)， 在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： (1)与相等的向量共有几个； 解：由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量， 则与相等的向量共有5个(不包含本身)，即，如图1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)与方向相同且模为3的向量共有几个. 解：与方向相同且模为3的向量共有2个，即，如图2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知线段AB被n(n≥2)等分，等分点分别为M1，M2，M3，…，Mn-1.从这(n+1)个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当n=4时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量? 解：当n=4时，等分点有M1，M2，M3，共3个，则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点，构成互不相等的非零向量.当模长为||时，有2个，为，当模长为||时，有2个，为，当模长为||时，有2个，为，当模长为||时，有2个，为，总共有8个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求互不相等的非零向量的总数，用n表示. 解：由(1)知，当模长为||时，有2个，当模长为||时，有2个，当模长为||时，有2个，依次类推，当模长为||时，有2个，总共有2n个. $$