1 板块综合 平面向量及其应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

板块综合　平面向量及其应用 (阶段小结课——习题讲评式教学) [建构知识体系] [融通学科素养] 1.浸润的核心素养 (1)向量的线性运算及平面向量基本定理主要通过几何图形来考查，突出考查逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养. (2)向量数量积若以代数知识形态出现，则主要考查公式运用下的简单计算，聚焦的是数学运算素养；若以几何形态出现，则突出对直观想象以及数学运算素养的考查. 2.渗透的数学思想 (1)数形结合思想：向量具有几何与代数两个特征，在向量运算中三角形法则与平行四边形法则的应用及建系都体现了数形结合的思想. (2)转化与化归思想：在解决向量的夹角问题，向量的平行、垂直关系的研究均可化归为它们对应向量或向量的坐标运算问题，三角形形状的判定可归结为判断向量的数量积与零的大小的关系问题，体现了转化与化归思想. (3)分类讨论思想：平行向量可分同向向量或反向向量；向量a与b的夹角有正数、负数或零三种情形，体现了分类讨论思想. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　平面向量中的最值与范围问题 题型(二)　极化恒等式的应用 题型(三)　平面向量中的新定义问题 2 课时跟踪检测 题型(一)　平面向量中的 最值与范围问题 01 [例1]　(1)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　) A.(-2，6) B.(-6，2) C.(-2，4) D.(-4，6) √ 解析：如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F(-1，).设P(x，y)， 则=(x，y)，=(2，0)，且-1<x<3.所以·=(x，y)·(2，0)= 2x∈(-2，6).故选A. (2)已知平面向量a，b的夹角为60°，且|a+b|=，则|a|+|b|的最大值为___.  解析：|a+b|=，两边平方得a2+2|a||b|cos 60°+b2=3，即a2+|a|·|b| +b2=3，变形为|a|·|b|=(|a|+|b|)2-3，其中|a|·|b|≤，当且仅当|a|=|b|时等号成立，所以(|a|+|b|)2-3≤，解得|a|+|b|∈(0，2]. 2 |思|维|建|模| 求最值(范围)的常用方法 (1)利用三角函数求最值(范围). (2)利用基本不等式求最值(范围). (3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围). (4)数形结合，应用图形的几何性质求最值. 1.已知点D在Rt△ABC的斜边BC上，若AB=2，AC=3，则·的取值范围为(　　) A.[-2，3] B.[0，4] C.[0，9] D.[-4，9] 针对训练 √ 解析：设=λ，其中0≤λ≤1， 则=λ()， 从而=λ+(1-λ)， 故·=[λ+(1-λ)]·()=λ-(1-λ)+(1-2λ) ·=9λ-4(1-λ)=13λ-4∈[-4，9]，故选D. 2.已知向量a，b满足|a|=2|b|，a·b=-1，则|a+b|的最小值为_____.  解析：设向量a，b的夹角为θ， 因为a·b=-1，所以θ∈，则a·b=|a|·|b|·cos θ=2|b|2·cos θ=-1， 所以|b|2=≥，所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=5|b|2-2≥，即|a+b|的最小值为. 题型(二)　极化恒等式的应用 02 1.极化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2] 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 2.平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD，O是对角线交点.则：(1)·=[||2-||2]. 3.三角形模式：如图(2)，在△ABC中，设D为 BC的中点，则·=||2-||2. 三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式， 几乎所有的问题都是用它解决. 记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差. [例2]　设向量a，b满足|a+b|=，|a-b|=，则a·b=(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 [解题观摩]　法一：因为|a+b|=， 所以(a+b)2=a2+2a·b+b2=10　①. 又|a-b|=， 所以(a-b)2=a2-2a·b+b2=6　②. ①-②得4a·b=4，所以a·b=1. √ 法二：由极化恒等式可得a·b =[(a+b)2-(a-b)2]=(|a+b|2-|a-b|2) =1.故选A. |思|维|建|模| 　　在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法求中线及第三边的长度，从而求出数量积，如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围). 针对训练 3.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(+)的最小值是(　　) A.-2 B.- C.- D.-1 √ 解析：设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP，PM， ∴·(+)=2·=2||2-||2=2||2-≥-.当且仅当M与P重合时取等号. 4.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则·=_____.  解析：因为M是BC的中点，由极化恒等式得·=|AM|2-|BC|2 =9-×100=-16. -16 题型(三)　平面向量中的新定义问题 03 [例3]　直角坐标系和斜坐标系都是法国数学家笛卡尔发明的.设Ox，Oy是平面内相交成θ(0<θ<π)角的两条数轴，e1，e2分别是与x，y轴正方向同向的单位向量.若=xe1+ye2，则把有序数对(x，y)θ叫作向量在斜坐标系xOy下的坐标.设a=(2，-1)θ，b=(3，2)θ. (1)若θ=，则|a|=_____；  解析：因为a=(2，-1)θ，所以a=2e1-e2. 若θ=，则e1·e2=1×1×cos=-， 所以|a|== ==. (2)若a·b=，则θ=______.  解析：因为a=(2，-1)θ，b=(3，2)θ， 所以a=2e1-e2，b=3e1+2e2. 若a·b=，则a·b=(2e1-e2)·(3e1+2e2) =6+e1·e2-2=， 所以6+cos θ-2=，即cos θ=. 因为θ∈(0，π)，所以θ=. |思|维|建|模| 　　向量的新定义问题就是给出一种新的概念、性质或新的运算法则，利用新概念、性质或新的运算法则来解决问题的题型，是知识迁移的一种形式.解决此类问题的关键是读懂并理解新概念及运算法则的实质，然后结合向量知识来解决. 针对训练 5.对任意两个非零的平面向量α和β ，定义α ☉ β =，若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈，且a☉b和b☉a都在集合中，则a☉b=_____.  解析：因为a☉b==∈，故☉a=∈. 又|a|≥|b|>0，则≥1，0<≤1，可设m∈Z，t∈Z，令a☉b=，b☉a=，且m≥t>0.又夹角θ∈，所以cos2θ=∈，对m，t进行赋值即可得出所以a☉b==. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1.已知△ABC中，AB=4，AC=3，cos A=.若D为边BC上的动点，则·的取值范围是(　　) A.[4，12] B.[8，16] C.[4，16] D.[2，4] 解析：由题意得=λ+(1-λ)，0≤λ≤1，·=·[λ+(1-λ)]=λ+(1-λ)||||cos A=16λ+4-4λ=12λ+4∈[4，16]. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.已知向量a，b满足|a|=1，a与b的夹角为，若对一切实数x，|xa+2b|≥|a+b|恒成立，则|b|的取值范围是(　　) A. B. C.[1，+∞) D.(1，+∞) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 解析：因为|a|=1，a与b的夹角为， 所以a·b=|b|cos=|b|. 把|xa+2b|≥|a+b|两边平方， 整理可得x2+2|b|x+3|b|2-|b|-1≥0， 所以Δ=4|b|2-4(3|b|2-|b|-1)≤0， 即(|b|-1)(2|b|+1)≥0，解得|b|≥1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.设e1，e2是平面内两个不共线的向量，=(a-1)e1+e2，=2be1-e2，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则+的最小值是(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：因为A，B，C三点共线，所以向量共线， 所以存在λ∈R，使得=λ， 即(a-1)e1+e2=λ(2be1-e2)， 即(a-1)e1+e2=2λbe1-λe2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 因为e1，e2不共线，所以 消去λ，得a+2b=1， 因为a>0，b>0， 所以+=(a+2b)=4++≥4+2=4+2×2=8， 当且仅当a=，b=时，等号成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.对任意非零向量a，b，定义新运算：a×b=.已知非零向量m，n满足|m|>3|n|，且向量m，n的夹角θ∈，若4(m×n)和4(n×m)都是整数，则m×n的值可能是(　　) A.2 B.3 C.4 D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：由题意可得n×m==(k∈Z).因为|m|>3|n|>0，所以0< <.因为θ∈，所以<sin θ<1.所以0<sin θ<，即0<<，解得0<k<.因为k∈Z，所以k=1.所以n×m==.则=4sin θ，则=<，得<sin θ<1，故m×n==4sin2θ∈，符合该条件的是3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.已知a=(2sin 13°，2sin 77°)，|a-b|=1，a与a-b的夹角为，则a·b=(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：因为a=(2sin 13°，2sin 77°)， 所以|a|===2.又因为|a-b|=1，向量a与a-b的夹角为，所以cos == ==，所以a·b=3，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6.如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(+)·的最小值是(　　) A.2 B.0 C.-1 D.-2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：由平行四边形法则得+=2，故(+)·= 2·，又||=2-||，且反向，设||=t(0≤t≤2)， 则(+)·=2·=-2t(2-t)=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].∵0≤t≤2，∴当t=1时，(+)·取得最小值-2，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.已知A，B(1，4)，且=(sin α，cos β)，α，β∈，则α+β=________.  解析：由题意知==(sin α，cos β)，∴sin α=-，cos β=.又∵α，β∈，∴α=-，β=或-.∴α+β=或-. 或- 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.定义a*b是向量a和b的“向量积”，其长度为|a*b|=|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a和b的夹角.若a=(2，0)，b=(1，)，则|a*(a+b)|=______.  解析：因为a=(2，0)，b=(1，)， 所以a+b=(3，).所以|a|=2，|a+b|=2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 所以cos<a，a+b>==. 因为<a，a+b>∈[0，π]，所以sin<a，a+b>=. 所以|a*(a+b)|=2×2×=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·+·=_____.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：连接EG，FH，交于点O(图略)，则·=·==1-=·=·==1-=，因此·+·=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.(13分)已知向量a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，c=(-1，0). (1)求向量b+c的模的最大值； 解：因为向量b=(cos β，sin β)，c=(-1，0)，所以b+c=(cos β-1，sin β)，则|b+c|===. 因为-1≤cos β≤1，所以0≤2-2cos β≤4.所以0≤|b+c|≤2. 所以向量b+c的模的最大值为2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)设α=，且a⊥(b+c)，求cos β的值. 解：因为α=，所以a=. 因为a⊥(b+c)，所以a·(b+c)=0. 所以(cos β-1)+sin β=0. 化简得sin β=1-cos β，代入sin2β+cos2β=1，得(1-cos β)2+cos2β=1，得cos2β-cos β=0，解得cos β=0或cos β=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11.(15分)如图，已知矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=1， E为AB的中点，P为边DC上的动点(不包括端点). (1)求·的最小值； 解：设DP=a，a∈(0，2)，如图建立平面直角坐标系. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 ∵A(0，0)，P(a，1)，B(2，0)， ∴=(-a，-1)， =(2-a，-1). ∴·=(-a)×(2-a)+(-1)×(-1)=a2-2a+1=(a-1)2. 当a=1时，·有最小值，最小值为0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)设线段AP与DE的交点为G，求·的最小值. 解：由图可得△AEG∽△PDG， 则==， ∴=.又=(a，1)， ∴=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 ∴·=+===a+1-=(a+1)+-2≥2-2，当且仅当a+1=，即a=-1时取等号. ∴·的最小值为2-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.(17分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a=(-1，2)，且点A(8，0)，B(n，t)，C(ksin θ，t). (1)若⊥a，且||=||，求向量； 解：∵=(n-8，t)，⊥a， ∴8-n+2t=0　①. 又||=||，∴(n-8)2+t2=5×64　②. 联立①②，解得或∴=(24，8)或(-8，-8). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)若向量与向量a共线，常数k>0，当f(θ)=tsin θ取最大值4时，求·. 解：∵=(ksin θ-8，t)，向量与向量a共线， ∴t=-2ksin θ+16.∴tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ =-2k+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 ①当k>4时，0<<1.∴当sin θ=时，tsin θ取最大值为.由=4，得k=8.此时θ==(4，8).∴·=(8，0)·(4，8)=32. ②当0<k≤4时，≥1. ∴当sin θ=1时，tsin θ取最大值为-2k+16.由-2k+16=4，得k=6(舍去). 综上所述，·=32. $$