5.3 用频率估计概率（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

5.3　 用频率估计概率 (教学方式：基本概念课——逐点理清式教学) 课时目标 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性、随机模拟的含义,会用频率估计概率. 2.理解概率的意义,会用概率的知识解释现实生活中的概率问题. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　频率的稳定性 逐点清(二)　利用频率估计概率 逐点清(三)　频率与概率的实际应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　频率的稳定性 01 1.频率 设Ω是某个试验的样本空间, A是Ω的事件.在相同的条件下将该试验独立地重复n次,则称 Fn(A)=_______________________是n次独立重复试验中事件A发生的频率. 多维理解 2.频率与概率的关系 在相同的条件下,将一试验独立重复n次,若用Fn(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率,则当n增加时,Fn(A)将向一个固定的数值p靠近,这个数值p就可看作事件A发生的概率P(A),即Fn(A)是P(A)的估计. 微点练明 1.某工厂生产的产品的合格率是99.99%,这说明 (　　) A.该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件 B.该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件 C.该厂生产的10 000件产品中没有不合格的产品 D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99% √ 解析：该厂生产的10 000件产品中不合格的产品不一定有1件,可能是多件或者没有,故A错误;该厂生产的10 000件产品中合格的产品不一定是9 999件,故B错误;该厂生产的10 000件产品中可能有不合格产品,故C错误;该厂生产的产品合格的可能性是99.99%,故D正确.故选D. 2.某人将一枚硬币连掷10次,正面朝上的情况出现了8次,若用A表示“正面朝上”这一事件,则A的 (　　) A.概率为 B.频率为 C.频率为8 D.概率接近于8 √ 解析：做n次随机试验,事件A发生了m次,则事件A发生的频率为.如果多次进行试验,事件A发生的频率总在某个常数附近摆动,那么这个常数才是事件A的概率.故=为事件A的频率. 3.下列关于概率和频率的叙述中正确的有　　　　.(填序号)  ①随机事件的频率就是概率; ②随机事件的概率是一个确定的数值,而频率不是一个固定的数值; ③频率是客观存在的,与试验次数无关; ④概率是随机的,在试验前不能确定; ⑤概率可以看作频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小,而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率. ②⑤ 解析：随机事件的频率是概率的近似值,频率不是概率,故①错误;随机事件的频率不是一个固定的数值,而概率是一个确定的数值,故②正确;频率是随机的,它与试验条件、次数等有关,而概率是确定的值,与试验次数无关,故③④错误;由频率与概率的关系可知⑤正确. 逐点清(二)　利用频率估计概率 02 多维理解 1.用频率估计概率 如果随机事件A在n次试验中发生了m次,则当试验的次数n很大时,可以将事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值. 2.用频率估计概率的步骤 (1)确定随机事件A的频数nA; (2)由Fn(A)=计算频率Fn(A)(n为试验的总次数); (3)由频率Fn(A)估计概率P(A). 微点练明 1.一批瓶装纯净水,每瓶标注的净含量是550 mL,现从中随机抽取10瓶,测得各瓶的净含量为(单位：mL)： 若用频率分布估计总体分布,则该批纯净水每瓶净含量在547.5~552.5 mL之间的概率估计为 (　　) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.7 542 548 549 551 549 550 551 555 550 557 √ 解析：从数据可知,在随机抽取的10瓶水中,净含量在547.5~552.5 mL之间的瓶数为7,频率为=0.7,由频率分布估计总体分布,可知该批纯净水中,净含量在547.5~552.5 mL之间的概率为0.7.故选D. 2.某超市计划按月订购一种冷饮,根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间[20 ℃,25 ℃)内,需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划,统计了前三年6月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表： 最高气温 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40] 天数 3 6 25 38 18 将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率,若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1,则x= (　　) A.100 B.300 C.400 D.600 解析：由表格数据知,最高气温低于25 ℃的频率为=0.1,所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1. √ 3.某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计,统计结果如下表所示： 分组 [0, 900) [900, 1 100) [1 100, 1 300) [1 300, 1 500) [1 500, 1 700) [1 700, 1 900) [1 900, +∞) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率               (1)将各组的频率填入表中; 解：频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042. (2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率. 解：样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48+121+208+223=600. 所以样本中使用寿命不足1 500小时的频率是=0.6, 即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6. 逐点清(三)　频率与概率 的实际应用 03 1.(多选)甲、乙两人做游戏,下列游戏公平的是 (　　) A.抛一枚骰子,向上的点数为奇数则甲胜,向上的点数为偶数则乙胜 B.同时抛两枚相同的骰子,向上的点数之和大于7则甲胜,否则乙胜 C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色则甲胜,是黑色则乙胜 D.甲、乙两人从1~10中各写一个整数,若是同奇或同偶则甲胜,否则乙胜 √ √ √ 解析：对于A、C、D,甲胜、乙胜的概率都是,游戏是公平的;对于B,点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等,但点数等于7时乙胜,所以甲胜的概率小,游戏不公平. 2.某商场为提高服务质量,用简单随机抽样的方法从该商场调查了60名男顾客和80名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,结果如表所示. (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率; 项目 满意 不满意 男顾客 50 10 女顾客 50 30 解：估计男顾客对该商场服务满意的概率为=;女顾客对该商场服务满意的概率为=. (2)估计顾客对该商场满意的概率; 解：估计顾客对该商场满意的概率为=. (3)若该商场一天有2 100名顾客,大约有多少人对该商场的服务满意? 解：2 100×=1 500(人),所以约有1 500人对该商场的服务满意. (4)通过以上数据能否说明顾客对该商场的服务是否满意与性别有关?并说明理由. 解：由(1)知男顾客对该商场服务满意的比例约为≈0.833, 女顾客对该商场服务满意的比例约为=0.625, 因为这两个比例相差较大,所以可以认为顾客对该商场的服务是否满意与性别有关. 3.有A,B两种乒乓球,A种乒乓球的次品率是1%,B种乒乓球的次品率是5%. (1)甲同学买的是A种乒乓球,乙同学买的是B种乒乓球,但甲买到的是次品,乙买到的是正品,从概率的角度如何解释? 解：因为A种乒乓球的次品率是1%,所以任选一个A种乒乓球是正品的概率是99%.同理,任选一个B种乒乓球是正品的概率是95%.因为99%>95%,所以“买一个A种乒乓球,买到的是正品”的可能性比“买一个B种乒乓球,买到的是正品”的可能性大, 但并不表示“买一个A种乒乓球,买到的是正品”一定发生,乙买一个B种乒乓球,买到的是正品,而甲买一个A种乒乓球,买到的却是次品,即可能性较小的事件发生了,而可能性较大的事件却没有发生,这正是随机事件的不确定性的体现. (2)如果你想买到正品,应选择购买哪种乒乓球? 解：因为任意选取一个A种乒乓球是正品的可能性为99%,所以如果做大量重复买一个A种乒乓球的试验,“买到的是正品”的频率会稳定在0.99附近.同理,做大量重复买一个B种乒乓球的试验,“买到的是正品”的频率会稳定在0.95附近.因此若希望买到的是正品,则应选择购买A种乒乓球. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.在天气预报中,有“降水概率预报”.例如,预报“明天降水概率为85%”,这是指 (　　) A.明天该地区有85%的地区降水,其他15%地区不降水 B.明天该地区约有85%的时间降水,其他时间不降水 C.气象台的专家中,有85%的人认为会降水,另外15%的专家认为不降水 D.明天该地区降水的可能性为85% 解析：概率的本质含义是事件发生的可能性大小,所以D正确. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.根据统计,某篮球运动员在1 000次投篮中,命中的次数为560次,则该运动员 (　　) A.投篮命中的频率为0.56 B.投篮10次至少有5次命中 C.投篮命中的概率为0.56 D.投篮100次有56次命中 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：由题意可知投篮命中的频率为=0.56,得到的频率可能比概率大,也可能小于概率,也可能等于概率,故A正确,C错误;投篮10次或100次相当于做10次或100次试验,每一次的结果都是随机的,其结果可能一次没中,或者多次投中等,频率、概率只反映事件发生的可能性的大小,不能说明事件是否一定发生,故B、D错误.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.一个人打靶,打了10发子弹,有6发子弹中靶,因此这个人中靶的概率为0.6 B.某地发行福利彩票,其回报率为47%,有个人花了100元钱买彩票,一定会有47元回报 C.5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,则乙与甲中奖的可能性相同 D.大量试验后,可以用频率近似估计概率 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：某人打靶,射击10次,击中6次,那么此人中靶的频率为0.6,故A错误;买彩票是一个随机事件,中奖或者不中奖都有可能,但事先无法预料,故B错误;根据古典概型的概率公式可知C正确;大量试验后,可以用频率近似估计概率,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.在这个热“晴”似火的7月,多地持续高温,某市气象局发布高温橙色预警信号(高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上),在今后的3天中,每一天最高气温37摄氏度以上的概率是.某人用计算机生成了20组随机数,结果如下： 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 若用0,1,2,3,4表示高温橙色预警,用5,6,7,8,9表示非高温橙色预警,则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是 (　　) A. B. C. D. 解析：今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有12个,分别为116,812,730,452,125,217,109,361,284,147,318,027,则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表： 根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是 (　　) A. B. C. D. 满意状况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意得,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200+2 100=3 300.所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为=.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.(多选)支气管炎患者会咳嗽失眠,给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%,中年患者治愈率为30%,青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者,500名中年患者,400名青年患者,则 (　　) A.若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本,老年患者应抽取12人 B.该医院青年患者所占的频率为 C.该医院的平均治愈率为28.7% D.该医院的平均治愈率为31.3% √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由分层抽样可得,老年患者应抽取30×=12人,故A正确;青年患者所占的频率为=,故B正确;医院的平均治愈率为≈28.7%,故C正确,D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生,从中抽选4个,并选出2个男生2个女生”的概率时,可让计算机产生1~9的随机整数,并且1~4代表男生,用5~9代表女生.因为是选出4个,所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”,则它代表的含义是　　　　　　　　　　　　　.  解析：用1~4代表男生,用5~9代表女生,4678表示1个男生3个女生. 选出的4人中,只有1个男生 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.某种福利彩票的中奖概率为0.1%,若某人买这种彩票999次,均未中奖,则此人第1 000次买这种彩票中奖的概率为　　　.  解析：概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率,“某彩票的中奖概率为0.1%”意味着购买彩票中奖的可能性为0.1%. 0.1% 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅.质检人员对该厂所生产的 2 500套座椅进行抽检,共抽检了100套,发现有2套次品,则该厂所生产的 2 500套座椅中大约有　　套次品.  解析：设该厂所生产的2 500套座椅中大约有n套次品,由概率的统计定义知,=,解得n=50,所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有50套次品. 50 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.甲、乙两支篮球队进行一局比赛,甲获胜的概率为0.6,若采用三局两胜制举行一次比赛,现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率.先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数,用0,1,2,3,4,5表示甲获胜,6,7,8,9表示乙获胜,这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制,所以每3个随机数作为一组.例如,产生30组随机数： 034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762 428 114 572 042 533 237 322 707 360 751 据此估计乙获胜的概率约为　　　　.(保留3位有效数字)  0.367 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：产生30组随机数,就相当于做了30次试验.如果6,7,8,9中恰有2个或3个数出现,就表示乙获胜,它们分别是738,636,964,736,698,637,616, 959,774,762,707,共11个.所以采用三局两胜制,乙获胜的概率约为≈0.367. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.在对于一些敏感性问题调查时,被调查者往往不愿意给正确答复,因此需要特别的调查方法.调查人员设计了一个随机化装置,在其中装有形状、大小、质地完全相同的50个黑球和50个白球,每个被调查者随机从该装置中抽取一个球,若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗?若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中作过弊.若100人中有52人回答了“是”,48人回答了“否”.则问题二“考试是否作过弊”回答“是”的百分比为(以100人的频率估计概率)　　　.  54% 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意可知,每名调查者从袋子中抽到1个白球或黑球的概率均为0.5, 所以100人中回答第一个问题的人数为100×0.5=50,则另外50人回答了第二个问题. 在摸到黑球的前提下,回答“是”的概率为,即摸到黑球且回答“是”的人数为50×=25,则摸到白球且回答“是”的人数为52-25=27, 所以问题二“考试是否作过弊”回答“是”的百分比为(以100人的频率估计概率)是54%. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.有m个大小相同的球共有3种颜色,已知红色球为4个,任取一个出现黑色球的频率为0.35,出现白色球的频率为0.45,则m的值为　　　.  解析：因为任取一个出现黑色球的频率为0.35,出现白色球的频率为0.45,所以任取一个出现红色球的频率为1-0.35-0.45=0.2,故m==20. 20 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)种子公司在春耕前为了支持农业建设,采购了一批稻谷种子,进行种子发芽试验,在统计的2 000粒种子中有1 962粒发芽,他们要求种子的发芽率在95%以上,你认为这批种子合格吗? 解：合格,理由如下,“种子发芽”这个事件发生的频率为=0.981,约为0.98.由于试验的种子总数很大,因此我们可以用它近似地估计其发生的概率,所以“种子发芽”这个事件发生的概率约为0.98=98%>95%.故这批种子合格. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(15分)如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下： 所用时间(单位：分) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率; 解：由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人), 所以用频率估计概率可知,P==0.44. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率; 解：选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为 所用时间(单位：分) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 选择L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. 解：设A1,A2分别表示事件“甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站”,B1,B2分别表示事件“乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站”. 由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为P(A1)>P(A2),所以甲应选择L1. 同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9. 因为P(B1)<P(B2),所以乙应选择L2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表： 最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40] 天数 2 16 36 25 7 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率; 解：这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25 ℃.由表格数据知,最高气温低于25 ℃的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率. 解：当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25 ℃,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20 ℃,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.所以Y的所有可能值为900,300,-100,Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃.由表格数据知,最高气温不低于20 ℃的频率为=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8. $$