4.3.2 第1课时 直线与平面平行（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

4.3.2 空间中直线与平面的位置关系 直线与平面平行 (教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.掌握直线与平面平行的性质定理，并会应用线面平行的性质定理证明线线平行. 2.掌握直线与平面平行的判定定理，并会应用线面平行的判定定理证明线面平行. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.直线与平面平行的判定定理 (1)直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在 平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有________ 公共点 有且只有______公共点 ______公共点 无数个 一个 没有 符号表示 a⊂α _________ ________ 图形表示 续表 a∩α=A a∥α 我们把直线和平面相交或平行的情况统称直线在平面外. (2)直线与平面平行的定义 直线l与平面α平行，是指直线l与平面α____________.也就是说，l与α的交集是____.用符号表示为l∥α⇔l∩α=____. 没有公共点 ∅ ∅ (3)直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与_______________________，那么该直线与此平面平行 符号语言 ⇒a∥α 图形语言 作用 证明直线与平面平行 此平面内的一条直线平行 |微|点|助|解|　 (1)线面平行的判定定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.“线线平行”是“线面平行”的充分条件. (2)线面平行的判定定理中有三个条件：a⊄α，b⊂α，a∥b.这三个条件缺一不可. (3)要证明平面外的一条直线与此平面平行，关键是在此平面内找到一条直线与已知直线平行.通过直线间的平行，可以推证直线与平面平行，这是处理空间位置关系的一种常用方法，即把空间问题转化为平面问题. 2.直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与______平行 符号语言 _____________________________⇒a∥b 图形语言 作用 证明两条直线平行 交线 a∥α，a⊂β，α∩β=b |微|点|助|解|　 (1)线面平行的性质定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.“线线平行”是“线面平行”的必要条件. (2)线面平行的性质定理中有三个条件：a∥α，a⊂β，α∩β=b.这三个条件缺一不可. (3)直线a平行于平面α，并非直线a和平面α内的所有直线都平行，直线a与平面α内的直线既可能平行，也可能异面，但绝不可能相交(不然直线a和平面α至少有一个交点，导致直线a和平面α相交或直线a在平面α内). 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行. (　　) (2)过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行. (　　) (3)如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行. (　　) (4)直线a∥平面α，直线a⊂平面β，平面α∩平面β=直线b，则平面β有2个. (　　) (5)直线a∥平面α，直线a⊂平面β，平面α∩平面β=直线b，则a∥b.(　　) ×　 √　 ×　 ×　 √ 2.(多选)若确定直线a与平面α平行，则必须同时具备的条件是 (　　) A.a⊄α B.b∥α C.a∥b D.b⊂α √ √ √ 3.直线a∥平面α，α内有n条直线相交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有 (　　) A.0条 B.1条 C.0条或1条 D.无数条 解析：过直线a和n条直线的交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b.若所给n条直线中有1条直线是与b重合的，则此直线与直线a平行;若没有与b重合的直线，则与直线a平行的直线有0条. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　直线与平面平行的判定定理及其应用 [例1]　如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP=DQ. 求证：PQ∥平面BCE. 证明：如图所示，作PM∥AB交BE于M， 作QN∥AB交BC于N，连接MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB， ∴AE=BD. 又AP=DQ，∴PE=QB. 又PM∥AB∥QN， ∴===.∴=. ∴PM∥QN且PM=QN，即四边形PMNQ为平行四边形.∴PQ∥MN. 又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE， ∴PQ∥平面BCE. |思|维|建|模| (1)利用直线和平面平行的判定定理来证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形的性质、三角形与梯形中位线性质、平行线截线段成比例定理、平行线的传递性等. (2)应用判定定理证明线面平行的步骤 针对训练 1.如图，M，N分别是底面为矩形的四棱锥P-ABCD的 棱AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD. 证明：如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE， 因为N是PC的中点， 所以NE∥CD，NE=CD. 又因为在矩形ABCD中，M是AB的中点， 所以AM∥CD且AM=CD. 所以NE∥AM，NE=AM. 所以四边形AMNE是平行四边形. 所以MN∥AE. 又因为AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， 所以MN∥平面PAD. 题型(二)　直线与平面平行的性质定理及其应用 [例2]　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB， CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形. 证明：因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ= MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN. 同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP. 所以截面MNPQ是平行四边形. [变式拓展] 1.若本例条件不变，求证：=. 证明：由例2知PQ∥AB，∴=. 又QM∥DC，∴=.∴=. 2.若本例中添加条件：AB⊥CD，AB=10，CD=8，且BP∶PD=1∶1，求四边形MNPQ的面积. 解：由例2知，四边形MNPQ是平行四边形， ∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM.∴四边形MNPQ是矩形.又BP∶PD=1∶1，∴PQ=5，QM=4. ∴四边形MNPQ的面积为5×4=20. |思|维|建|模| 　　线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行.利用线面平行的性质定理解题的具体步骤： (1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面; (2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面; (3)确定交线; (4)由性质定理得出线线平行的结论. 针对训练 2.如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB=4，CD=6，则MN等于 (　　) A.4.5 B.5 C.5.4 D.5.5 √ 解析：因为AB∥平面α，AB⊂平面ABDC，平面ABDC∩平面α=MN，所以AB∥MN.又M是AC的中点，所以MN是梯形ABDC的中位线.故MN=(AB+CD)=5.故选B. 3.如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E分别为棱PB， BC的中点，点G为CD，PE的交点，若点F在线段 AC上，且满足AD∥平面PEF，则的值为(　　) A.1 B.2 C. D. √ 解析：由于AD∥平面PEF，AD⊂平面ACD，平面ACD∩平面PEF=FG， 根据线面平行的性质定理可知AD∥FG. 因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，点G为CD，PE的交点， 所以G是三角形PBC的重心. 所以==.故选C. 题型(三)　直线与平面平行的综合问题 [例3]　如图，已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD， CD=2AB，M为线段PC上一点. (1)设平面PAB∩平面PDC=l，证明：AB∥l; 解：证明：因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD， 所以AB∥平面PCD.又因为平面PAB∩平面PDC=l，且AB⊂平面PAB，所以AB∥l. (2)在棱PC上是否存在点M，使得PA∥平面MBD?若存在，请确定点M的位置;若不存在，请说明理由. 解：存在点M，使得PA∥平面MBD，此时=.理由如下：连接AC交BD于点O，连接OM(图略). 因为AB∥CD， 所以△AOB∽△COD. 又因为CD=2AB，所以==. 又因为=，PC∩AC=C， 所以PA∥MO. 又因为PA⊄平面MBD，MO⊂平面MBD， 所以PA∥平面MBD. |思|维|建|模| 1.线面平行中的探索性问题经常是在一条直线上确定是否存在某点，使过该点的直线(或平面)与某个平面(或直线)是平行关系，求解此类问题要注意逆向推理，也要注意线面平行的性质定理和判定定理的交替使用. 2.(1)已知线面平行，一般直接考虑应用性质，利用构造法找或“作”出经过直线的平面与已知平面相交的交线. (2)要证线线平行，可把它们转化为线面平行. 针对训练 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形， N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点. (1)求证：QN∥平面PAD; 解：证明：∵底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点， ∴QN∥BC，BC∥AD. ∴QN∥AD. ∵QN⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴QN∥平面PAD. (2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明. 解：直线l与平面PBD平行，证明如下： ∵M，N分别为PD，PB的中点， ∴MN∥BD. ∵BD⊂平面ABCD，MN⊄平面ABCD. ∴MN∥平面ABCD. ∵平面CMN与底面ABCD的交线为l， ∴由线面平行的性质得MN∥l. ∵MN∥BD，∴BD∥l. ∵C∈l，C∉平面PBD，且BD⊂平面PBD，l⊄平面PBD， ∴l∥平面PBD. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.在空间中，直线l∥平面α，则“直线l1∥l”是“l1∥α”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：在空间中，由直线l∥平面α，直线l1∥l，可得直线l1∥α或l1⊂α，所以充分性不成立;反之由直线l∥平面α，l1∥α，则l1∥l或l与l1相交或l与l1异面，所以必要性不成立.故“直线l1∥l”是“l1∥α”的既不充分又不必要条件.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面 (　　) A.有且只有一个 B.有无数多个 C.有且只有一个或不存在 D.不存在 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：取直线a上任一点A，则点A和直线b确定一个平面记为β，在β内过A点作直线c∥b，由a∩c=A，则直线a，c确定唯一的平面记为α，∵c∥b，c⊂α，b⊄α，∴b∥α，故满足题意的平面有且仅有一个.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.能保证直线a与平面α平行的条件是 (　　) A.b⊂α，a∥b B.b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c C.b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC=BD D.a⊄α，b⊂α，a∥b √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α故A错误;若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α，故B错误;若b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC=BD，则a∥α或a⊂α或a与α相交，故C错误;D项是线面平行的判定定理不可缺少的三个条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.(多选)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点， 矩形对角线交点为O，M为PB的中点，则下列 结论正确的是 (　　) A.OM∥PD B.OM∥平面PCD C.OM∥平面PBA D.OM∥平面PBC √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点，所以O为BD的中点.在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，故OM∥PD.又PD⊂平面PDC，OM⊄平面PDC，所以OM∥平面PCD.因为点M在PB上，所以OM与平面PBA，平面PBC均相交. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法不正确的为 (　　) A.若m∥α，n⊂α，则m∥n B.若m∥α，n∥α，则m∥n C.若α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β D.若m∥n，m⊂α，则n∥α或n⊂α √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：若m∥α，n⊂α，可得m与n可能平行或异面，所以A不正确; 若m∥α，n∥α，可得m与n可能平行、相交或异面，所以B不正确; 若α∥β，m∥α，当m⊄β时，可得m∥β，或者m⊂β，所以C正确; 若m∥n，m⊂α，根据线面平行的判定定理，可得n∥α或n⊂α，所以D正确.故选AB. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'的六个面所在的平面中， (1)与AB平行的平面是____________________________; 解析：因为AB∥A'B'，AB⊄平面A'B'C'D'，A'B'⊂平面A'B'C'D'， 所以AB∥平面A'B'C'D'.同理证得AB∥平面DCC'D'. 平面A'B'C'D'，平面DCC'D' 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)与AA'平行的平面是__________________________;  解析：因为AA'∥BB'，AA'⊄平面BCC'B'，BB'⊂平面BCC'B'，所以AA'∥平面BCC'B'.同理证得AA'∥平面DCC'D'. (3)与AD平行的平面是____________________________.  解析：因为AD∥A'D'，AD⊄平面A'B'C'D'，A'D'⊂平面A'B'C'D'，所以AD∥平面A'B'C'D'.同理证得AD∥平面BCC'B'. 平面BCC'B'，平面DCC'D' 平面A'B'C'D'，平面BCC'B' 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是_______，直线MD与平面BCC1B1的位置关系是________.  相交 平行 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为M是A1D1的中点，所以直线DM与直线AA1相交.所以DM与平面A1ACC1有一个公共点.所以DM与平面A1ACC1相交. 取B1C1中点M1(图略)，则MM1綉C1D1，C1D1綉CD， ∴四边形DMM1C为平行四边形. ∴DM∥CM1.∵DM⊄平面BCC1B1，CM1⊂平面BCC1B1，∴DM∥平面BCC1B1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.如图，已知正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1， AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为__________.  解析：由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面 EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线 为BF，所以截面周长为EF+FB+BC1+C1E=4+6. 4+6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)如图，正方形ABCD与矩形ABEF所在平面相交于AB，M，N分别为AE，BC的中点.求证：MN∥平面CDFE. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 证明：连接FB，FC.因为M是AE的中点，且四边形ABEF为矩形，所以M也是FB的中点. 又N是BC的中点， 所以MN∥FC. 因为FC⊂平面CDFE，MN⊄平面CDFE， 所以MN∥平面CDFE. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)如图，正四棱锥P-ABCD的侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点，且PM∶MA=5∶8. 在线段BD上是否存在一点N，使直线MN∥平面PBC?如果存在，求出BN∶ND的值;如果不存在，请说明理由. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：存在，BN∶ND=5∶8.理由如下： 假设存在，连接AN并延长，交BC于E，连接PE. 因为MN∥平面PBC，MN⊂平面APE， 平面APE∩平面PBC=PE， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以MN∥PE， 则==. 因为正方形ABCD中，AD∥BC， 所以==，假设成立. 则此时BN∶ND=5∶8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.(多选)如图，空间四边形ABCD中，E，F，G分别是 AB，BC，CD的中点，下列结论正确的是(　　) A.AD∥EG B.AC∥平面EFG C.BD∥平面EFG D.AD，FG是一对相交直线 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：对于A，点G∈平面ADC，点G∉直线AD，点E∉平面ADC，由异面直线的定义可知AD，EG是异面直线，A错误;对于B，AC∥EF，由直线与平面平行的判定定理可得AC∥平面EFG，B正确;对于C，BD∥FG，由直线与平面平行的判定定理可得BD∥平面EFG，C正确;对于D，点G∈平面ADC，点G∉直线AD，点F∉平面ADC，由异面直线的定义可知AD，FG是异面直线，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱BC的中点，用平行于体对角线BD1且过点A，M的平面去截正方体ABCD-A1B1C1D1，得到的截面的形状是 (　　) A.平行四边形 B.梯形 C.五边形 D.以上都不对 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图，设截面为α，设BD∩AM=O，P为DD1的靠近于D1的三等分点，N为CC1的靠近于C的三等分点，由BD1∥α可得平面BDD1与α的交线平行于BD1.因为α∩平面BDD1=OP，所以OP∥BD1.又平面α与两平行平面AA1D1D，BB1C1C的交线应互相平行，所以α∩平面BB1C1C=MN.由MN∥AP且MN≠AP可得截面AMNP为梯形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：________________时，SC∥平面EBD.  E是SA的中点 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图，连接AC，与BD交于点O，则O为线段AC，BD的中点，连接OE.因为SC∥平面EBD，SC⊂平面SAC，平面SAC∩平面EBD=OE，所以SC∥OE.又O为AC的中点，所以E为SA的中点，故当E为SA的中点时，SC∥平面EBD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD是等腰梯形，M是线段AB的中点，∠DAB= 60°，AB=2CD=2，DD1=2，C1M=. (1)求证：C1M∥平面A1ADD1; 解：证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=2CD，所以AB∥DC.又M是AB的中点，所以CD∥MA且CD=MA. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 如图所示，连接AD1. 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，由CD∥C1D1， CD=C1D1，可得C1D1∥MA，C1D1=MA， 所以四边形AMC1D1为平行四边形. 所以C1M∥D1A. 又C1M⊄平面A1ADD1，D1A⊂平面A1ADD1，所以C1M∥平面A1ADD1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求异面直线CM与DD1夹角的余弦值. 解：因为CM∥DA， 所以异面直线CM与DD1的夹角，即为直线DA与DD1的夹角. 由C1M=，可得AD1=.由∠DAB=60°， 可得AD=1.在△ADD1中，由余弦定理可得， cos∠ADD1==-. 所以异面直线CM与DD1夹角的余弦值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)如图，CD与AB都平行于平面EFGH，点 E，F，G，H分别在AC，BC，BD，AD上，且CD =a，AB=b，CD与AB夹角的大小为. (1)求证：四边形EFGH是平行四边形; 解：证明：∵CD∥平面EFGH，CD⊂平面ACD，平面EFGH∩平面ACD=EH， ∴CD∥EH.同理，CD∥FG.∴EH∥FG. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∵AB∥平面EFGH，AB⊂平面ABC， 平面EFGH∩平面ABC=EF，∴AB∥EF. 同理，AB∥GH.∴EF∥GH. ∴四边形EFGH是平行四边形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)点F在BC的什么位置时，四边形EFGH的面积最大?最大值是多少? 解：由(1)可知在△ABC中，EF∥AB. 记==λ(0<λ<1)，则EF=λb. 在△BCD中，FG∥CD，则==1-λ. ∴FG=(1-λ)a. ∵EF∥AB，FG∥CD， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴∠EFG为CD与AB的夹角(或其补角). ∴∠EFG=或∠EFG=. ∴S四边形EFGH=EF·FG·sin∠EFG=·λ(1-λ)≤·=， 当且仅当λ=1-λ，即λ=时等号成立. 故当F为BC的中点时，四边形EFGH的面积最大，最大值是. $$