1.6.2 正弦定理（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.6.2 正弦定理 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 了解正弦定理的推导过程,掌握正弦定理的内容及公式变形.能利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.正弦定理 (1)语言S叙述:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比______. (2)公式表达:_______________. (3)正弦定理的推广 设R为△ABC外接圆的半径,则_______________=2R. 相等 == == 2.正弦定理的变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(边化角). (2)sin A=,sin B=,sin C=(角化边). (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C(边角互化). (4)===. |微|点|助|解|　 (1)如已知两边a,b和a的对角A,解的情况如下表:   A> A= A< a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 (2)在△ABC中,sin A>sin B⇔a>b. (3)记牢15°,75°的正弦值: sin 15°=,sin 75°=. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦定理仅适用于非直角三角形. (　　) (2)在△ABC中,若c2>a2+b2,则△ABC为钝角三角形. (　　) (3)在△ABC中,若已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角的类型问题,则求解时都只有一个解. (　　) ×　 √　 √ 2.在△ABC中,A=60°,BC=,则△ABC外接圆的半径为(　　) A. B.1 C.2 D.3 解析:设R为△ABC外接圆的半径,则由正弦定理,得2R===2,解得R=1.所以△ABC外接圆的半径为1. √ 3.在△ABC中,A=45°,c=2,则AC边上的高等于______.  解析:AC边上的高为ABsin A=csin A=2sin 45°=. 4.在锐角三角形ABC中,角A,B所对的边分别为a,b,若2asin B=b,则A=_____.  解析:在△ABC中,利用正弦定理得2sin Asin B=sin B,∵sin B≠0,∴sin A=.又A为锐角,∴A=. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　已知两角及任意一边解三角形 [例1]　(1)在△ABC中,若A=,B=,a=2,则b=(　　) A.2 B.3 C.2 D.3 解析:由正弦定理=, 得=,解得b=3. √ (2)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b=_____.  解析:A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°. 由正弦定理=, 得b===4. 4 |思|维|建|模| 已知两角和任意一边,解三角形的步骤 (1)求角:根据三角形内角和定理求出第三个角; (2)求边:根据正弦定理,求另外的两边. 针对训练 1.一个三角形的两个角分别等于120°和45°,若45°角所对的边长是4,那么120°角所对边长是(　　) A.4 B.12 C.4 D.12 解析:若设120°角所对的边长为x,则由正弦定理可得=,于是x===12,故选D. √ 2.在△ABC中,若B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为 (　　) A.5 B.4 C.5 D.4 解析:根据题意得A=180°-135°-15°=30°,则此三角形的最大边是b,由正弦定理=,得b===5. √ 题型(二)　已知两边和其中一边的对角解三角形 [例2]　已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答. (1)a=10,b=20,A=80°; 解:∵b=20,A=80°, ∴bsin A=20sin 80°>20sin 60°=10. 又a=10,∴a<bsin A. ∴此三角形无解. (2)b=5,c=5,C=60°; 解:∵b=5,c=5, ∴b<c.又C=60°<90°,∴此三角形有解. ∵sin B===,∴B=30°. ∴A=180°-(B+C)=90°. ∴a==10. ∴A=90°,B=30°,a=10. (3)a=2,b=6,A=30°. 解:∵a=2,b=6,A=30°<90°, ∴bsin A=6sin 30°=3.∴bsin A<a<b. ∴此三角形有两解. ∵sin B===, ∴B=60°或B=120°. 当B=60°时,C=90°,c===4; 当B=120°时,C=30°,c=a=2. ∴B=60°,C=90°,c=4或B=120°,C=30°, c=2. |思|维|建|模| 已知两边及其中一边的对角,解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值,进而求出这个角; (2)用三角形内角和定理求出第三个角; (3)根据正弦定理求出第三条边. [提醒]　已知三角形的两角和任意一边,解三角形,有唯一解,已知两边和其中一边的对角,解三角形,可能出现一解,两解或无解的情况. 针对训练 3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,A=60°,a=.若这个三角形有两解,则b的取值范围是(　　) A.(,2] B.(,2) C.(1,2) D.(1,2] √ 解析:由正弦定理=可得,b===2sin B.要使△ABC有两解,即B有两解,则应有A<B,且sin B<1,所以=sin A<sin B<1.所以<b<2.故选B. 4.已知△ABC中,b=4,c=2,C=30°,那么此三角形(　　) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 解析:由正弦定理和已知条件得=,∴sin B=>1.∴此三角形无解.故选C. √ 题型(三)　正、余弦定理的综合应用 [例3]　(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,D为BC的中点,且AD=1. (1)若∠ADC=,求tan B; 解:因为D为BC的中点, 所以S△ABC=2S△ADC=2××AD×DCsin∠ADC=2××1×DC×=, 解得DC=2, 所以BD=DC=2,a=4. 因为∠ADC=,所以∠ADB=. 在△ABD中,由余弦定理,得c2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=1+4+2=7,所以c=. 在△ABD中,由正弦定理,得=, 所以sin B==, 所以cos B==. 所以tan B==. (2)若b2+c2=8,求b,c. 解:因为D为BC的中点,所以BC=2BD. 在△ABD与△ABC中,由余弦定理,得cos B==, 整理,得2BD2=b2+c2-2=6, 得BD=,所以a=2. 在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC===-, 所以S△ABC=bcsin∠BAC=bc =bc= =, 解得bc=4. 则由解得b=c=2. |思|维|建|模| 利用正、余弦定理解三角形的注意点 正、余弦定理都是用来解三角形的,但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,应抓住两个定理的特点:正弦定理“边对角”,余弦定理“边夹角”,正确选择定理是解决此类题目的关键. 针对训练 5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin A-sin B+=0,则△ABC的形状一定为(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 √ 解析:在△ABC中,sin A-sin B+=0,则由正弦定理得(sin A-sin B) +=·(sin A-sin B)=0.因为三角形中,A,B,C∈(0,π),所以sin C>0⇒+1≠0.所以sin A=sin B⇒a=b,则△ABC的形状一定为等腰三角形.故选B. 6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-b2=2bc,sin C=3sin B,则A= (　　) A. B. C. D. √ 解析:因为sin C=3sin B,所以由正弦定理得c=3b.又因为a2-b2=2bc, 所以a2=7b2.又由余弦定理,可得cos A===. 因为A∈(0,π),所以A=.故选B. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.在△ABC中,已知a=,b=,B=60°,则角A的度数为(　　) A.30° B.45° C.45°或135° D.60° 解析:由a=,b=得a<b,于是A<B,由正弦定理得sin A== =,∴A=45°,故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知△ABC外接圆的周长为4π,∠BAC=,则BC=(　　) A.4 B.2 C.4 D.2 解析:因为△ABC外接圆的周长为4π,所以△ABC外接圆的半径为2,则根据正弦定理可得==2BC=4,解得BC=2.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边为a,b,c,若a=4,b=4,A=,则角B的大小为(　　) A. B.或 C. D. 解析:由=,则sin B==,而B∈(0,π),故B=或B=,显然,所得角B均满足0<A+B<π.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=8,B=.若△ABC有两解,则b的值可以是(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,则AD=csin B.因为△ABC有两解,所以AD<AC<AB,则csin B<b<c,即8sin <b<8,得4<b<8.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.如图,在△DEF中,M在线段DF上,DE=DM=EM=2, sin F=,则边EF的长为(　　) A.2 B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:在△DEM中,DE=DM=EM=2,所以△DEM为等边三角形. 所以∠EMD=60°,则∠EMF=120°.在△EFM中,由正弦定理得=,所以EF==.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.在△ABC中,若sin C=3sin A,b2=2ac,则cos B= (　　) A. B. C. D. 解析:因为sin C=3sin A,由正弦定理可得c=3a,且b2=2ac,由余弦定理可得cos B===.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若A=60°,a=,则=_____.  解析:由正弦定理可得2R=====2,a=2sin A,b=2sin B,c=2sin C,则==2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC外接圆的面积为4π,请写出一组满足上述条件的边和角:a=____, A=________________.  解析:依题意,△ABC的外接圆半径R=2,由正弦定理得=2R=4,即a=4sin A,又0<A<π,取A=,则a=2. 2 (答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)在△ABC中,已知b=6,c=6,∠C=30°,求a的值. 解:由正弦定理,得=,得sin B==.因为b>c,所以∠B>∠C=30°,所以∠B=60°或120°.当∠B=60°时,∠A=90°,a===12.当∠B=120°时,∠A=30°,a===6,所以a的值为6或12. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c=2,C=. (1)若△ABC的面积等于,求a,b; 解:由余弦定理,得a2+b2-ab=4　①,又△ABC的面积等于, 所以absin C=,得ab=4　②, 联立①②得方程组解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若sin B=2sin A,求△ABC的面积. 解:由正弦定理及sin B=2sin A,得b=2a　③, 联立①③得方程组解得 所以△ABC的面积S=absin C=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C=(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:法一:由正弦定理得sin Asin C=sin2B,因为B=,所以sin Asin C =sin2B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac, 所以a2+c2=ac,即sin2A+sin2C=sin Asin C,所以(sin A+sin C)2=sin2A+ sin2C+2sin Asin C=sin Asin C=.又sin A>0,sin C>0,所以sin A+sin C=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac.又b2=ac,所以3ac=b2,所以(a+c)2=b2+3ac=,a+c=b.由正弦定理得sin A+ sin C=sin B=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(多选)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5,则下列结论正确的是 (　　) A.a∶b∶c=3∶4∶5 B.△ABC为直角三角形 C.若b=4,则△ABC外接圆半径为5 D.若P为△ABC内一点,满足+2+=0,则△APB与△BPC的面积相等 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=3∶4∶5,A正确;由A知a∶b∶c=3∶4∶5,故a2+b2=c2,故△ABC为直角三角形,B正确;由B知,sin B=,又b=4,由正弦定理得2R===5,故△ABC外接圆半径为R=,C错误;取AC的中点E,则+=2,因为+2+=0,所以=-,即P点在AC的中线上,故△APB与△BPC的面积相等,D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.如图,某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度,先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°,又利用无人机在离地面高300 m的M处(即MD=300 m),观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°,则山高BC=_____m.  450 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:依题意∠AMD=45°,则AM=MD=300, ∠CMA=45°+15°=60°,∠CAB=60°,故∠MAC=180°-60°-45° =75°,∠ACM=180°-75°-60°=45°,在△MAC中,由正弦定理得=,即=,解得AC=300,则BC=ACsin 60°=450. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2. (1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积; 解:由2sin C=3sin A及正弦定理可得2c=3a,结合b=a+1,c=a+2,解得a=4,b=5,c=6.在△ABC中,由余弦定理得cos C===, 所以sin C==, S△ABC=absin C=×4×5×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. 解:设存在正整数a满足条件,由已知c>b>a,所以∠C为钝角, 所以cos C=<0⇒a2+b2<c2⇒a2+(a+1)2<(a+2)2⇒(a+1)(a-3)<0, 因为a为正整数,所以a=1,2. 当a=1时,b=2,c=3,不能构成三角形,舍去. 当a=2时,b=3,c=4,满足条件. 综上,当a=2时,△ABC为钝角三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)在△ABC中,设角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且c=2b-2acos C. (1)求角A; 解:因为c=2b-2acos C, 由余弦定理得c=2b-2a·, 整理得bc=b2+c2-a2,即a2=b2+c2-bc. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 所以2cos A=1,即cos A=. 因为0<A<π,所以A=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若△ABC的面积S=,c=,求sin Bsin C的值. 解:由(1)得A=,因为△ABC的面积S=, 所以bcsin A=bcsin =.所以bc=6. 因为c=,所以b=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=12+3-6=9, 所以a=3.所以2R==2. 所以由正弦定理得bc=(2R)2sin Csin B=12sin C·sin B=6. 所以sin Bsin C=. $$