1.6.1 余弦定理（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.6.1 余弦定理 (教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 通过向量的运算探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理.能利用余弦定理解决简单的实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.解三角形 三条边和三个内角是三角形最基本的六个元素，通常只要知道了三个元素(其中至少包括一条边)就可以求出其余三个未知元素.这种从已知三角形的某些元素出发求这个三角形__________的过程叫作解三角形. 其他元素 2.余弦定理及变形 公式表达 a2=_____________；b2=_____________；c2=_______________ 语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和______这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 变形 cos A=___________；cos B=____________；cos C=___________ b2+c2-2bccos A a2+c2-2accos B a2+b2-2abcos C 减去 |微|点|助|解|　 (1)余弦定理的特点 ①适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. ②揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量. (2)余弦定理的特例(勾股定理) 在△ABC中，c2=a2+b2⇔C为直角；c2>a2+b2⇔C为钝角；c2<a2+b2⇔C为锐角. 3.△ABC的面积公式 (1)S△ABC=a·ha=b·hb=c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)； (2)S△ABC=absin C=acsin B=bcsin A. 基础落实训练 1.在△ABC中，已知a=9，b=2，C=150°，则c等于(　　) A. B.8 C.10 D.7 解析：由余弦定理得c= ==7. √ 2.在△ABC中，若a=，b=3，c=2，则A=(　　) A.30° B.60° C.45° D.90° 解析：因为a=，b=3，c=2，所以由余弦定理得cos A= ==.又0°<A<180°，则A=60°.故选B. √ 3. 在△ABC中，若a2-c2+b2=ab，则cos C=______.  解析：∵a2-c2+b2=ab，∴c2=a2+b2-ab.又∵c2=a2+b2-2abcos C，∴2cos C=1.∴cos C=. 4.在△ABC中，已知a=9，b=2，C=150°，则△ABC的面积为_______.  解析：由面积公式得S△ABC=absin C=×9×2sin 150°=. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　已知两边及一角解三角形 [例1]　(1)在△ABC中，已知b=3，c=2，A=30°，求a的值； 解：由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2)2-2×3×2× cos 30°=3.所以a=. (2)在△ABC中，已知b=3，c=3，B=30°，解这个三角形. 解：由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°， 即a2-9a+18=0，解得a=3或a=6. 当a=3时，A=B=30°，C=120°； 当a=6时，由余弦定理得cos A==0， 又0°<A<180°，所以A=90°，C=60°. 综上，当a=3时，A=30°，C=120°； 当a=6时，A=90°，C=60°. |思|维|建|模| 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解. (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. 针对训练 1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2，b=，B=60°，则c=(　　) A.1 B. C.3 D.1或3 解析：由余弦定理b2=a2+c2-2accos B，得7=4+c2-2c，即(c-3)(c+1)=0，解得c=3.故选C. √ 2.在△ABC中，a=2，c=+，B=45°，解这个三角形. 解：根据余弦定理得，b2=a2+c2-2accos B=(2)2+(+)2-2×2×(+)×cos 45°=8，∴b=2，又∵cos A= ==，0°<A<180°， ∴A=60°，C=180°-(A+B)=75°. 题型(二)　已知三边(三边关系)解三角形 [例2]　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=1，b=2，c=，则C=(　　) A.120° B.90° C.60° D.45° 解析：由余弦定理可得cos C===-，由于0°<C<180°，故C=120°，故选A. √ |思|维|建|模|　已知三角形的三边求角的基本步骤 求第一个角 先利用余弦定理的推论求一个角的余弦值，再判定此角的取值，求得第一个角(一般先求最小角) 求第二个角 继续用余弦定理求另一个角 求第三个角 最后用三角形内角和定理求出第三个角 针对训练 3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a+b-c) (a+b+c)=ab，则角C=_____.  解析：∵(a+b)2-c2=ab， ∴cos C==-，C=. 4.已知△ABC中，a∶b∶c=2∶∶(+1)，求△ABC中各角的度数. 解：已知a∶b∶c=2∶∶(+1)，可令a=2，b=，c=+1， 由余弦定理的推论，得cos A===， ∵0°<A<180°， ∴A=45°. cos B===， ∵0°<B<180°，∴B=60°. ∴C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°. 题型(三)　余弦定理的综合应用 [例3]　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=2acos B. (1)判断△ABC的形状； 解：∵c=2acos B，∴c=2a·，∴a2+c2-b2=c2，即a2=b2，∴a=b，△ABC为等腰三角形. (2)若c=1，C=，求△ABC的面积. 解：由(1)知a=b，∴cos C===，解得a2=2+，∴S△ABC=absin C=a2sin C=. |思|维|建|模| (1)余弦定理及其推论把“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式. (2)余弦定理及其推论在结构上有所不同，在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择. (3)因为余弦函数y=cos x在(0，π)上是减函数，此时，由cos α=m(-1<m <1)来确定α是唯一的，因此用余弦定理求解三角形的内角时就不必分情况讨论了. 针对训练 5.在△ABC中，bcos A=acos B，则△ABC是 (　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 解析：因为bcos A=acos B，所以b·=a·. 所以b2+c2-a2=a2+c2-b2.所以a2=b2.所以a=b.故此三角形是等腰三角形. √ 6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=，c=2，则△ABC面积的最大值为_____.  解析：由C=及c=2可得4=a2+b2-2abcos， 即a2+b2-ab=4， 由不等式a2+b2≥2ab可得2ab-ab≤4， 即ab≤4，当且仅当a=b=2时取等号. 所以S=absin C=ab≤×4=，故△ABC面积的最大值为. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:在△ABC中,由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2AC·BCcos C,可得13=9+AC2+3AC,解得AC=1或AC=-4(舍去).故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=,b=4,c=3,则B+C等于(　　) A. B. C. D. 解析:在△ABC中,由余弦定理得cos A===,而0<A<π,则A=,所以B+C=π-A=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.在△ABC中,a=2b=,C=60°,则S△ABC=(　　) A.2 B. C. D. 解析:因为a=2b=,所以a=,b=.又因为C=60°,所以S△ABC=absin C =×××=.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若>0,则△ABC(　　) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形 解析:由>0得-cos C>0,所以cos C<0,从而C为钝角,因此△ABC一定是钝角三角形. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=,且b<c,则(　　) A.b=2 B.b=2 C.B=60° D.B=30° 解析:由a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+12-6b⇒b2-6b+8=0⇒(b-2)(b-4)=0,由b<c,得b=2.又a=2,cos A=,所以B=A=30°,故选AD. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c=______,△ABC的面积为______.  解析:在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,易知c= =,△ABC的面积为×2×3×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.在△ABC中,a=8,c=7,cos A=,则b=____,∠C=____.  解析:由余弦定理可得64=b2+49-2×b×7×=b2-2b+49,故b2-2b-15=0,故b=-3(舍去)或b=5,故cos∠C==,而∠C为三角形内角,故∠C=. 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+acos C=b+c,则△ABC的形状为_____________.  解析:在△ABC中,acos B+acos C=b+c,∴a·+a·=b+c,∴=b+c, ∴a2-b2-c2+2bc=2bc,∴a2=b2+c2,则A=,所以△ABC为直角三角形. 直角三角形 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=,a2+c2=3ac,求b. 解:∵B=,a2+c2=3ac,∴cos B===,得b2=2ac.又S△ABC=acsin B=ac=,∴ac=4.由b>0,∴b==2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc. (1)求A的大小; 解:∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc, ∴a2=b2+c2-bc. 而a2=b2+c2-2bccos A,∴2cos A=1. ∴cos A=. ∵A∈(0,π),∴A=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若b+c=2a=2,试判断△ABC的形状. 解:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,且a=, ∴()2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc.　① 又∵b+c=2,与①联立,解得bc=3. ∴解得b=c=. ∴△ABC为等边三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若(a-b-c)(a-b+c)+ab=0且 sin A=,则B=(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由(a-b-c)(a-b+c)+ab=0,可得a2+b2-c2=ab,所以cos C==.又C∈(0,π),所以C=.因为sin A=,A∈(0,π),所以A=或A=.当A=时,B=;当A=时,A+C>π,不合题意.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=,a=4,则bc的最大值为(　　) A. B.16 C. D.32 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,因为A=,a=4,所以16=b2+c2-bc,因为b2+c2≥2bc,所以16+bc≥2bc,即bc≤16,当且仅当b=c=4时等号成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(多选)已知△ABC是钝角三角形,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=4,则最大的边c的取值可能是 (　　) A.5 B.6 C. D.7 解析:因为△ABC是钝角三角形,且C最大,所以cos C<0,故a2+b2-c2<0,进而c2>25⇒c>5.所以B、C均符合要求,而D不符合两边之和大于第三边,故选BC. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)在△ABC中,点D在边BC上,AB=,CD=3,B=45°,∠ADB=60°,求AC的长. 解:由题意,作AE⊥BD交BD于E,如图,因为AB=,CD=3,B=45°,∠ADB=60°, 所以AE=AB=,则AD===2,在△ACD中, 由余弦定理可得,AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=22+32-2×2× 3×cos 120°=19.所以AC=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)已知四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求C和BD; 解:由题设及余弦定理得, BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=13-12cos C,　① BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A=5-4cos A=5+4cos C.　② 由①②得cos C=.因为0°<C<180°,所以C=60°,从而BD=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求四边形ABCD的面积. 解:因为角A与角C互补,所以sin A=sin C. 故四边形ABCD的面积S=AB·DAsin A+BC·CDsin C= sin 60°=2. $$