1.5.1 第2课时 平面向量数量积及其运算性质的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

平面向量数量积及其运算性质的应用 (教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学) 第2课时 课时目标 进一步掌握平面向量数量积的运算.能运用数量积的运算性质和运算律解决模、垂直、夹角问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　数量积的运算 题型(二)　向量的模与夹角 题型(三)　向量的垂直 4 课时跟踪检测 题型(一)　数量积的运算 01 [例1]　(1)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·=(　　) A. B.3 C.2 D.5 解析：由题意知，=+=+=+=-+，所以·=·=||2-||2=4-1=3，故选B. √ (2)如图，在平行四边形ABCD中，已知= =，||=2，||=2，则·=(　　) A.-9 B.-6 C.6 D.9 √ 解析：由题意可得，=+=+=+=+= +=+，∴=+·+=4，　① =+·+=12，② ①-②得=-8，即=-9， ∴·=(+)·()==-9. |思|维|建|模| 求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]； (2)分别求|a|和|b|； (3)求数量积，即a·b=|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去. 针对训练 1.如图，在△ABC中，AD⊥AB，=，||=2，则·=(　　) A.2 B.4 C.3 D. √ 解析：根据向量的线性运算，结合平面向量数量积的定义可得·=(+)·=·+·，由AD⊥AB，可知·=0，又因为= ，||=2，所以·=· =||·||·cos∠ADB=×2×||×=4.故选B. 2.设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|=1，|b|=3，则(2a+b)·b=____.  解析：(2a+b)·b=2a·b+b2=2|a|·|b|·cos<a，b> +|b|2=2×1×3×+32=11. 11 题型(二)　向量的模与夹角 02 [例2]　已知|a|=，|b|=1，a与b的夹角为45°. (1)求|a+2b|的值； 解：因为a·b=|a||b|cos 45°=×1×=1， 所以|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=2+4+4=10， 则|a+2b|=. (2)若向量2a-λb与λa-3b的夹角是锐角，求实数λ的取值范围. 解：由向量2a-λb与λa-3b的夹角是锐角， 可得(2a-λb)·(λa-3b)>0，且2a-λb与λa-3b不共线，即2λa2+3λb2-(6+λ2)a·b=7λ-(6+λ2)>0，解得1<λ<6.由2a-λb与λa-3b共线，可得2×(-3)=-λ·λ，解得λ=±.故实数λ的取值范围为(1，)∪(，6). [变式拓展] 　本例(2)条件“锐角”变为“钝角”，求实数λ的取值范围. 解：由题意得(2a-λb)·(λa-3b)<0，则2λa2-λ2a·b-6a·b+3λb2=4λ-λ2-6+3λ<0，即λ2-7λ+6>0，解得λ<1或λ>6.当2a-λb与λa-3b共线时，2×(-3)=-λ2，则2×(-3)≠-λ2时，2a-λb与λa-3b不共线，所以λ≠±.所以实数λ的取值范围为(-∞，-)∪(-，1)∪(6，+∞). |思|维|建|模| (1)求解向量的模时要灵活应用a2=|a|2，即|a|=，勿忘记开方. (2)求向量夹角的基本步骤及注意事项 ①步骤： ②注意事项：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元计算cos θ的值. 针对训练 3.若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a=-3e1+2e2与b=2e1+e2的夹角为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° √ 解析：因为e1，e2是夹角为60°的两个单位向量， 所以a·b=(-3e1+2e2)·(2e1+e2)=-6+e1·e2+2=-6+1×1×+2=-，|a|===，|b|===.设a=-3e1+2e2与b=2e1+e2的夹角为θ，可得cos θ===-，又θ∈[0，π]，所以θ=120°. 4.已知平面向量a，b满足|a|=3，|b|=1，并且当λ=-4时，|a+λb|取得最小值，则sin<a，b>=(　　) A. B. C. D. √ 解析：由题意，得a·b=3cos<a，b>，|a+λb|2=|a|2+2λa·b+λ2|b|2=λ2+6λcos<a，b>+18. 当λ=-3cos<a，b>时，|a+λb|2取得最小值，即|a+λb|取得最小值，故-3cos<a，b>=-4，则有cos<a，b>=.又<a，b>∈， 所以sin<a，b>==. 题型(三)　向量的垂直 03 [例3]　已知a，b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角. 解：设a与b的夹角为θ， ∵非零向量a，b满足a+3b与7a-5b互相垂直，a-4b与7a-2b互相垂直， ∴(a+3b)·(7a-5b)=0，(a-4b)·(7a-2b)=0，∴7|a|2-15|b|2+16a·b=0，7|a|2+8|b|2-30a·b=0. ∴|b|2=2a·b，|a|2=2a·b，∴|b||a|=2a·b， ∴cos θ==.又θ∈[0，π]， ∴θ=，即a与b的夹角为. |思|维|建|模| 　　解决有关垂直问题时，利用a⊥b⇔a·b=0(a，b为非零向量). 针对训练 5.已知向量a，b，|a|=5，|b|=4，a与b的夹角为120°，若(ka-2b)⊥ (a+b)，则k= (　　) A.- B.- C. D. √ 解析：因为|a|=5，|b|=4，a与b的夹角为120°，所以a·b=|a||b|cos 120°=5×4×=-10.由(ka-2b)⊥(a+b)，得(ka-2b)·(a+b)=ka2-2b2+(k-2)a·b=25k-2×16-10(k-2)=15k-12=0，解得k=. 6.已知△ABC中，∠A=120°，且AB=3，AC=4，若=λ+，且⊥，求实数λ的值. 解：因为=λ+，且⊥，所以·=(λ+)·()=λ·-λ+·=0，即(λ-1)||·||·cos A-λ+=0.因为AB=3，AC=4，∠A=120°，所以-6(λ-1)-9λ +16=0，解得λ=. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.已知a和b为非零向量，且|2a+b|=|2a-b|，a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：因为|2a+b|=|2a-b|，则|2a+b|2=|2a-b|2， 即4a2+4a·b+b2=4a2-4a·b+b2，所以a·b=0， 又因为a和b为非零向量，则a与b的夹角为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.在△ABC中，(+)·=0，则△ABC一定是(　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 解析：由已知得，(+)·()=0，=0，∴||=||. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥ b，则|b|= (　　) A. B. C. D.1 解析：因为(b-2a)⊥b，所以(b-2a)·b=0，即b2=2a·b，又因为|a|=1，|a+2b|=2，所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4，从而|b|=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知菱形ABCD的边长为2，·=2，则||=(　　) A. B.2 C.1 D.2 解析：根据题意可得=+=， ∵·=2，即·(+)=+·=2，∴·=-2， ||2==-2·+=12，即||=2，故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.早在公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”.《周髀算经》中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为3(勾)和4(股)时，斜边(弦)则为5”，勾股定理也称为商高定理.现有△ABC的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾AC的长为3，点A在弦BC上的射影为点D，则()·=(　　) A. B. C.- D.- √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意可得，AD==，AD⊥BC， 所以cos∠CAD===，()·=·= cos∠CAD=3××=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知|a|=2，|b|=3，且a⊥b，则(a+b)·(2a-b)=____.  -1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为，且a+b+c=0，则|c|=_____.  解析：因为a+b+c=0，所以c=-a-b，所以c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2 =22+2×2×3cos+32=4-6+9=7，所以|c|=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|a-b|=，则a与b的夹角为_____.  解析：∵|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+4=5-2a·b=7， ∴a·b=-1.又θ∈[0，π]， ∴cos θ==-，∴θ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(10分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=4，A 是线段EF的中点，EF=2.若与的夹角为60°， 求·. 解：·=(+)·(+)=·+· +·+·.∵∠BAC=90°，∴·=0. 又A是线段EF的中点，∴=-，∴·=··=·-1=4×1×cos 60°-1=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(12分)已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a，b的夹角为60°. (1)若(2a+3b)⊥(a-kb)，求实数k的值； 解：因为(2a+3b)⊥(a-kb)， 所以(2a+3b)·(a-kb)=2a2+(3-2k)a·b-3kb2=2|a|2+(3-2k)a·b-3k|b|2 =0，即2+(3-2k)×1×2×cos 60°-3k×4=0，解得k=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求a+b与a-b的夹角的余弦值. 解：因为|a+b|==== ，|a-b|=== =，所以cos<a+b，a-b>====-， 故a+b与a-b的夹角的余弦值为-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=1， ∠BAD=，若·=2·，则·=(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：∵·=2·，∴··=·，即·=·.∵AB∥CD，CD=1，∠BAD=，∴||=||||cos ，∴||=2，∴·=·(+)=||2+·=22+2×1×cos =5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(多选)在△ABC中，下列结论错误的是 (　　) A.= B.·<||·|| C.若(+)·()=0，则△ABC是等腰三角形 D.若·>0，则△ABC是锐角三角形 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由向量减法法则可得=，故A错误；·=||·||·cos<><||·||，故B正确；设BC的中点为D，(+)·()=2·=0，则⊥，因为BD=CD，所以由三线合一得AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，故C正确；由·>0，可以得到∠BAC是锐角，不能得到△ABC是锐角三角形，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(多选)设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是 (　　) A.若|a+b|=|a-b|，则a⊥b B.若|a|=|b|，则(a+b)⊥(a-b) C.若a·c=b·c，则a-b不与c垂直 D.(b·c)a-(a·c)b不与c垂直 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由|a+b|=|a-b|，平方可得a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b⇒a·b =0⇒a⊥b，故A正确；若|a|=|b|，则(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0，所以(a+b)⊥(a-b)，故B正确；若a·c=b·c，则(a-b)·c=a·c-b·c=0⇒(a-b)⊥c，故C错误；[(b·c)a-(a·c)b]·c=(b·c)a·c-(a·c)b·c=(b·c)(a·c)-(a·c)(b·c)=0，所以[(b·c)a-(a·c)b] ⊥c，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(多选)若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且|a|=1，|b|=1，|c|=3，则|a+b+c|= (　　) A. B.2 C. D.5 解析： a+b+c|==， 因为平面向量a，b，c两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，即a，b，c两两的夹角为0°或120°. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当夹角为0°时，a·b=|a||b|cos 0°=1，a·c=|a||c|cos 0°=3，b·c= |b||c|cos 0°=3，|a+b+c|==5.当夹角为120°时，a·b=|a||b|cos 120°=-，a·c=|a||c|cos 120°=1×3×= -，b·c=|b||c|cos 120°=1×3×=-，|a+b+c|= =2. 所以|a+b+c|=2或5，故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)已知平面向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：向量a-b垂直于向量c； 解：证明：因为|a|=|b|=|c|=1，且a，b，c之间的夹角均为120°，所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a|·|c|·cos 120°-|b|·|c|·cos 120°=0. 所以向量a-b垂直于向量c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若|ka+b+c|>1(k∈R)，求k的取值范围. 解：|ka+b+c|>1⇔|ka+b+c|2>1⇔(ka+b+c)2>1， 所以k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1. 因为a·b=a·c=b·c=cos 120°=-， 所以k2-2k>0，解得k<0或k>2. 故k的取值范围为(-∞，0)∪(2，+∞). $$