第18章 勾股定理（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

第18章 勾股定理思维导图 【类型覆盖】 类型一、勾股定理中的最值问题 【解惑】如图，在中，．按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线．若，D为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．5 【融会贯通】 1．如图，，，交于点，是中点，过点作交于点．在线段上，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，D、E分别是上的动点，且，F是的中点，则的最小值为 ． 3．（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段； ②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使； ③在线段上任取一点，设； ④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 类型二、两线一圆画直角三角形 【解惑】在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 2．如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，直线AB与y轴交于点C． (1)求直线AB的函数表达式及线段AC的长； (2)点B关于y轴的对称点为点． ①请直接写出点D的坐标为______； ②在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点E的横坐标为______． 类型三、勾股定理中的折叠问题 【解惑】如图，在中，是边的中线，，将沿折叠，使C点落在的位置，若，则的长为　(　　)    A． B．2 C．4 D．3 【融会贯通】 1．如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，将长方形纸片沿折叠，折叠后点落在处，点恰好与点重合，已知的长为 ． 3．折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，它是中国非物质文化遗产之一，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．在现代，折纸艺术得到了进一步的发展和创新，材料已不只限于使用纸张，而且它还与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，形成有趣的“折纸数学”．某校八年级一数学学习兴趣小组准备参加区数学创新能力大赛，他们尝试用一张直角三角形纸片探究折纸中的几何问题． 如图，他们准备了一张直角三角形纸片，记为，，，．点在线段上，将沿着直线翻折，点落在点处，交于点． 【操作一】 如图1，小组成员甲将纸片折叠，使，观察发现的形状是______，此时为______； 【操作二】 如图2，小组成员乙将纸片折叠，使与重叠，观察图形，请帮他求出的面积； 【操作三】 如图3，小组成员丙在图2的基础上，尝试在线段和上添加两个动点、，连接、，你能判断在、的运动过程中是否存在最小值吗？如存在请求出的最小值． 类型四、勾股定理中的旋转问题 【解惑】如图，在中，，，直角的顶点P是中点，、分别交边、于点E、F．给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【融会贯通】 1．在中，，点为中点，绕点旋转，、分别与边、交于，两点．下列结论：①，②始终为等腰直角三角形，③，④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③ 2．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论： ①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是 3．【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________． 【问题拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点为斜边中点，轴上有一点，动直线绕着点旋转，与轴相交于点，且满足，直线的表达式为____________（直接写出表达式即可）． 类型五、勾股定理的应用——地毯长度问题 【解惑】如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示的一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（    ）    A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 2．如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米． 3．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 类型六、勾股定理的应用——蚂蚁爬行问题 【解惑】如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（   ）米 A．5 B． C． D．3 【融会贯通】 1．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中长，宽，高，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点A爬行到点B，它需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 2．如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程是 分米． 3．问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取3） (1)如图1，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图2．请在图2中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是_______cm；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径_______．（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） (2)如图3所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度． 路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如下表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 5 11 4 10 3 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是__________； (3)设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径为与圆柱的高度的数量关系． 类型七、勾股定理的动点求t 【解惑】如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒，（）， (1)的长为________； (2)当点P在的角平分线上，则的长为________； (3)当是直角三角形时，求t的值； (4)在整个运动中，直接写出为轴对称图形时t的值________． 【融会贯通】 1．【问题探究】 （1）如图1，在中，，高．动点由点C沿向点B移动(不与点B重合)．设的长为x，的面积为y．请求出y与x之间的函数关系式； 【问题解决】 （2）如图2，在一块三角形电子屏中，C为感应点，其中 ,动点P为一光点，当光点P在光带(折线)上运动时，会与感应点C发生反应，同时光点P与初始点A、感应点C三点形成三角形感应区，光点P以每秒的速度从A点出发，沿匀速运动，到达点C时停止．设光点 P的运动时间为t秒，三角形感应区的面积为（，即存在，t不取点A、C处的值）． ①请求出S关于t的函数表达式； ②当三角形感应区的面积恰好为三角形电子屏面积的一半时，求光点P的运动时间． 2．已知中，，，，、是边上的两个动点，中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为秒．      (1)当秒时，点到的距离是________； (2)当时，________； (3)若将周长分为两部分，直接写出的值． 3．如图，在中，，，，点和点分别是边上的两动点，点从点开始沿方向运动，速度为每秒，到达点后停止；点从点开始沿的方向运动，速度为每秒，到达点后停止，它们同时出发，设运动时间为秒． (1)当秒时，求的面积； (2)当为何值时，点恰好在边的垂直平分线上； (3)当点在边上运动时，直接写出为等腰三角形时的值． 类型八、勾股定理的新定义 【解惑】定义：如图，点E、F把线段分割成、、三条线段若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点E、F是线段的“勾股分割点” (1)若，，，则点E、F是线段的“勾股分割点”吗？请说明理由； (2)若点E、F是线段的“勾股分割点”，且为直角边，若，，求的长． 【融会贯通】 1．定义：若三角形一条边上的高的长度等于这条边长度的倍，则这个三角形叫做“高倍底”三角形，这条边叫做这个三角形的“基底”． (1)概念理解：下列属于“高倍底”三角形的有______；（填序号） ①等边三角形；        ②等腰直角三角形；        ③三边长分别是的三角形． (2)问题探究：如图，是“高倍底”三角形，是“基底”．若，求的长： (3)应用拓展：是“高倍底”三角形，是“基底”，．将沿着边翻折得到，连接．若，且有一条边长为，求的长． 2．定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则________度； (2)如图，在中，，，，，是角平分线．    ①试判断是“近直角三角形”吗？并说明理由． ②求的长度． 3．【定义】 如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”．如图1，在四边形中，若，则四边形是对补四边形． 【应用】 (1)如图1，在对补四边形中，，则_____； (2)如图2，在对补四边形中，，，，，则_____； (3)如图3，在对补四边形中，平分． ①求证：； ②若，请探究的数量关系并说明理由． 类型九、勾股定理的平方关系 【解惑】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【融会贯通】 1．如图1，已知，以为边分别向外作等边和等边，连接，则有．    (1)如图2，已知，以为边分别向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，猜想与有什么数量关系？并说明理由． (2)如图2，连接，若的值为　 　． (3)运用图．（1），图（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得米，的长为　 　（结果保留根号）． 2．已知中，，D是边上一个动点，连接，以为直角边作等腰，其中．    (1)如图1， ①求证：． ②线段之间存在的数量关系为_________． (2)如图2，若，在动点D运动过程中，当周长取得最小值时，求此时的长． 3．如图，在中，，，于点，点是的中点，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：； (3)求证：． 类型十、无刻度尺作图 【解惑】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求找格点． (1)在图①中，连结、、，使； (2)在图②中，连结、，使； (3)在图③中，连结，使． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法． (1)在图①中找一格点，连结AB，使线段； (2)在图②中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且； (3)在图③中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是______． 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点的三角形叫做格点三角形，只用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留作图痕迹．    (1)点A，B为网格中的格点，作格点，使，； (2)作出（1）中的高，则高的长度为________； (3)在（1）的条件下，点M为线段上的点，，在线段CB上作出点N，使． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所图形的顶点均在格点上，且在图①、图②、图③中所画的图形互相不全等，不要求写画法． (1)在图①中以线段为一腰画一个等腰． (2)在图②中以线段为底画一个等腰． (3)在图③中以线段为一边画一个等腰． 【一览众山小】 1．如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是等边三角形，点是线段上的动点，过点作于，延长交的延长线于点，有以下结论：①；②；③；④过点作于，动点在运动过程中，的值始终不变．其中正确的结论个数有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．松松学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为12m；（）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为15m；③松松身高为1.6m，若松松同学想使风筝沿方向下降4m，则他应该往回收线（   ）米． A．2 B．5 C．5.4 D．3.6 4．如图，在中，，点在边上，连接，将沿着直线翻折，点恰好落在直线上的点处，若，，则的长为 ． 5．如图，在中，，点D为的中点，点E为上的一个动点，连接、，则的最小值为 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，为第一象限内的一点，过点分别作轴于点，轴于点，点在线段上，且点的横、纵坐标相同，过点作于点．设长方形的周长为，的长为，则 ． 7．在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)画出关于y轴的对称图形，并求出的面积； (2)已知点D的坐标为，判断的形状，并说明理由． 8．已知长方形纸片，点P是上一点，将纸片沿折叠，使点B的对应点刚好落在上． (1)请用直尺和圆规作出点P；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求的长． 9．【模型呈现】 （1）如图1，中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点B的坐标为，则点A的坐标是 ； （3）如图3，直线l：分别交x轴、y轴于点A、B． ①将直线l绕点A逆时针旋转得到直线m，求直线m的函数表达式； ②如图4，点C的坐标为，点D为直线l上一动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，请直接写出线段长度的最小值． 10．在等腰直角中，，点（不与点、重合）从点出发沿线段以每秒的速度向终点运动，在运动过程中，过点作交射线于点，以线段为直角边作等腰直角，使得，且点、位于两侧．将与重叠部分图形记为，点运动时间为（秒）． (1)长为__________； (2)当点与点重合时，求的值； (3)当点与的顶点连线平分面积时，求此时的值； (4)当图形为轴对称图形时，直接写出的范围． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 勾股定理思维导图 【类型覆盖】 类型一、勾股定理中的最值问题 【解惑】如图，在中，．按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线．若，D为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】由题意得，为的角平分线，在上截取，可得是等腰直角三角形，继而得到垂直平分，则为点A关于的对称点，连接，交于点E，此时最小，即的值，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，为的角平分线， 在上截取， ， 是等腰直角三角形， ，，即垂直平分， 为点A关于的对称点， 连接，交于点E， ， 此时最小，即的值， ，为边的中点， ，， ， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰直角三角形的判定和性质，垂直平分线的性质及勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，，，交于点，是中点，过点作交于点．在线段上，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点P关于的对称点F，过点M作交于点E，连接，，根据勾股定理得到，，根据平行线的性质得出，再利用勾股定理得出，求出，证明，得到，由此，当F，M，E三点共线时，的值最小，即线段的长，证是等边三角形，，利用勾股定理求出． 【详解】解：作点P关于的对称点F，过点M作交于点E，连接，，作，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， 设，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，当F，M，E三点共线时，的值最小，即线段的长， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 2．如图，在中，，D、E分别是上的动点，且，F是的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，正切等知识，延长到，使，过点作，使，连接由勾股定理求出，由是的中点得，证明，求出，根据三角形三边关系可得结论． 【详解】解：延长到，使，过点作，使，连接如图， ∵ ∴ ∴， ∴， 又是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴ 又 ∴， ∴ ∴ 又 ∴， ∴ 又, ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 3．（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段； ②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使； ③在线段上任取一点，设； ④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 【答案】（1），；．（2）17 【分析】本题考查了求代数式的最值，勾股定理． （1）①由于和都是直角三角形，故，可由勾股定理求得； ②求出的值便是的值最小即可； （2）设点，则，由（1）中得方法知的最小值为：． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； ⑤由题意可得， ∴， 为最小值， 即的最小值为． （2）解： 设点，则， 如图，线段，，，设；过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．由题意可得， ∴， 由（1）中得方法知的最小值为， 即的最小为17． 类型二、两线一圆画直角三角形 【解惑】在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理．根据题意，画出图即可，见详解． 【详解】解：如图所示，点的坐标不可能是， A.点时，，此项不符合题意； B.点时，，此项不符合题意； C.点时，如图，不是直角三角，符合题意； D.点时，由勾股定理求得,故，即,此项不符合题意； 故选：C．    【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个． 【详解】∵点A，B的纵坐标相等， ∴AB∥x轴， ∵点C到AB距离为5，AB=10， ∴点C在平行于AB的两条直线上， ∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上）， ∴满足条件的C点共，6个． 故选C． 【点睛】用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点． 2．如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】(2，0)或（5，0） 【分析】先求出A，再求出，解得，则点B（2，3），分类讨论直角顶点，当点C为直角顶点时，当点B为直角顶点时，根据△ABC为等腰直角三角形即可求出点C坐标． 【详解】与轴交于点， ∴y=0，x=-1， ∴A(-1，0)， 直线与直线交于点， ， 解得， ∴B（2，3）， 当点C为直角顶点时， ∴BC⊥AC， ∴BC∥y轴， B、C横坐标相同，C（2，0）， 当点B为直角顶点时， ∴BC⊥AB， ，k=1， ∴∠BAC=45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=， AC==6， AO=1， CO=AC-AO=5， C（5，0）， C点坐标为（2，0）或（5，0）． 故答案为：（2，0）或（5，0）． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，掌握直角三角形的顶点分两种情况讨论解决问题是关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，直线AB与y轴交于点C． (1)求直线AB的函数表达式及线段AC的长； (2)点B关于y轴的对称点为点． ①请直接写出点D的坐标为______； ②在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点E的横坐标为______． 【答案】(1)直线AB的函数表达式为， (2)①，②或或或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可得出直线表达式，进而求出直线与坐标轴交点，利用勾股定理求出长即可； （2）①根据点的对称性直接求解；②作出图形，分三种情况分类求解即可． 【详解】（1）解：设直线AB的函数表达式为， 点A坐标为，点B坐标为， ，解得，即直线AB的函数表达式为， 直线AB与y轴交于点， ； （2）解：①点B 关于y轴的对称点为点， 故答案为： ； ②如图所示，分三种情况，利用勾股定理讨论： 过作的垂线，交于， 直线的表达式为，可设， ， 在中，，则，即， 整理得，解得，即； 过作的垂线，交于， 直线的表达式为，可设， ， 在中，，则，即， 整理得，解得，即； 以为直径作圆，交直线于点，则， 直线的表达式为，设， ， 在中，，则，即， 整理得，解得或，即或 ， 综上所述，E的横坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查一次函数综合问题，难度较大，涉及到待定系数法求表达式、勾股定理求线段长、点关于坐标轴对称、直角三角形存在的条件等知识点，熟练掌握相关知识并准确作出图形是解决问题的关键． 类型三、勾股定理中的折叠问题 【解惑】如图，在中，是边的中线，，将沿折叠，使C点落在的位置，若，则的长为　(　　)    A． B．2 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理解三角形等知识，准确添加辅助线，掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键． 根据已知条件和图形折叠的性质可得：，过点D作于E，再由含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：解：∵是边的中线， ∴， ， ∴， ∴， 过点D作于E， ∴， ∴， ， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与折叠，直角三角形的性质，由折叠可得，，即可得到，再分别在和利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点A落在边上的点F处， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，将长方形纸片沿折叠，折叠后点落在处，点恰好与点重合，已知的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，根据性质得出相应量的值是解题的关键．根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在中， ∵将长方形纸片沿折叠， ∴，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 3．折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，它是中国非物质文化遗产之一，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．在现代，折纸艺术得到了进一步的发展和创新，材料已不只限于使用纸张，而且它还与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，形成有趣的“折纸数学”．某校八年级一数学学习兴趣小组准备参加区数学创新能力大赛，他们尝试用一张直角三角形纸片探究折纸中的几何问题． 如图，他们准备了一张直角三角形纸片，记为，，，．点在线段上，将沿着直线翻折，点落在点处，交于点． 【操作一】 如图1，小组成员甲将纸片折叠，使，观察发现的形状是______，此时为______； 【操作二】 如图2，小组成员乙将纸片折叠，使与重叠，观察图形，请帮他求出的面积； 【操作三】 如图3，小组成员丙在图2的基础上，尝试在线段和上添加两个动点、，连接、，你能判断在、的运动过程中是否存在最小值吗？如存在请求出的最小值． 【答案】[操作一]等腰直角三角形，[操作二][操作二]的最小值为 【分析】[操作一]设，则，根据得，，求得的值，进一步得出结果； [操作二]由折叠得，，从而得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，进一步得出结果； [操作三]作点关于的对称点，作于，交于，则最小值为，可求得，及的值，根据，求出的值即可得解． 【详解】[操作一] 解：由折叠得，， ， ， 设，则， 由得，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：等腰直角三角形，； [操作二] ，，， 由勾股定理得， 由折叠得，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ， ， ； [操作三] 存在最小值，理由如下， 如图，作点关于的对称点，作于，交于， ， ， 由“两点之间线段最短”知，此时是最小值， ， ， ， ， 如上图，连接，由得，， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，最短距离等知识，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 类型四、勾股定理中的旋转问题 【解惑】如图，在中，，，直角的顶点P是中点，、分别交边、于点E、F．给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键；由等腰三角形的性质得，则有；再证明，则可判定①②③；由，，比较两者大小即可判定④． 【详解】解：∵，，P是中点， ∴，， ∴； ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴，，， ∴，是等腰直角三角形； ∴； 故①②正确； ∵ ； 故③正确； 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴ ， ∴； 故④错误． 故选：C． 【融会贯通】 1．在中，，点为中点，绕点旋转，、分别与边、交于，两点．下列结论：①，②始终为等腰直角三角形，③，④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理连接根据等腰直角三角形的性质，就可以得出，根据全等三角形的性质得出，进而得出，就有，再由勾股定理就可以求出结论． 【详解】解：如图所示，连接， ，点为中点，， ，，， ， ， ． 在和中， ， ， ，，． ， ， ． ， ． ，， ， ，故①正确； ，， 始终为等腰直角三角形，故②正确； ， ， 又， ，故③正确； ，， ， 又， ，故④正确； 正确的有①②③④． 故选：A． ． 2．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论： ①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，连接根据等腰直角三角形的性质就可以得出，就可以得出，进而得出，就有，由勾股定理就即可求出结论． 【详解】解：连接， ，点为中点，， ．，． ， ， ． 在和中， ， ， ，，． ， ， ． ， ． ， ， ． ，， 始终为等腰直角三角形． ， ． ， ． 正确的有①②③④． 故答案为：①②③④ 3．【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________． 【问题拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点为斜边中点，轴上有一点，动直线绕着点旋转，与轴相交于点，且满足，直线的表达式为____________（直接写出表达式即可）． 【答案】（1）且，理由见解析；（2）①，理由见解析；②（3）或 【分析】本题主要考查的是一次函数综合运用、全等三角形的判定与性质、一次函数的图象和性质、勾股定理的运用等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）用证明即可求解； （2）①先证明得到即可解答；②先说明，再在中，即可求解； （3）先求得，再证明，则；设点，则，解得：（舍去）或4，即点；然后运用勾股定理求得直线的表达式为，当直线l和上述垂直时，也符合题意，求得点F的坐标，最后运用待定系数法求出直线直线l的表达式即可求解． 【详解】解：（1）且，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：且． （2）①，理由如下： 如图：连接， ∵，点为斜边中点， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵， ∴； 在中，，即． 故答案为：． （3）∵在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，， ∴ ∵点为斜边中点， ∴点， ∵， ∴，则， 设点，则，解得：（舍去）或4， ∴点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为：， 如图：当直线和上述垂直时， ∵在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，， ∴，， ∵点为斜边中点， ∴点，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：该直线l符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为，则有： 则，解得：， ∴直线的解析式为． 综上，直线的表达式为或． 故答案为：或． 类型五、勾股定理的应用——地毯长度问题 【解惑】如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度． 【详解】解：在中，（米， 故可得地毯长度（米， 故选：． 【融会贯通】 1．如图所示的一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（    ）    A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【答案】D 【分析】根据勾股定理计算米，根据题意，台阶的高的和为，宽的和为，求和计算即可． 【详解】∵高是3米，斜边长是5米， ∴米， 根据题意，台阶的高的和为，宽的和为， 米， 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 2．如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米． 【答案】17 【分析】本题考查了勾股定理的应用，地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可． 【详解】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为米， 则红地毯至少要米长， 故答案为：17． 3．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 类型六、勾股定理的应用——蚂蚁爬行问题 【解惑】如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（   ）米 A．5 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中长，宽，高，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点A爬行到点B，它需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：①如图， ； ②如图， ， 又∵， 所以，需要爬行的最短路程为， 故选：C 2．如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程是 分米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，把圆柱侧面展开，由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，利用勾股定理计算即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：把圆柱侧面展开，如图，则分米，分米， 由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径， 由勾股定理得，分米， ∴需要走的最短路程是分米， 故答案为：． 3．问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取3） (1)如图1，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图2．请在图2中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是_______cm；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径_______．（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） (2)如图3所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度． 路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如下表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 5 11 4 10 3 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是__________； (3)设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径为与圆柱的高度的数量关系． 【答案】(1)，Ⅱ (2)， (3) 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （）利用圆柱形木块的高为，底面半径为，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （）构造方程即可得到结论． 【详解】（1）解：图中画出蚂蚁爬行的最短路径为： 展开后，半圆长为， 根据勾股定理，此时最短路程为 ∵， 由此可知，蚂蚁爬行的最短路径为路线Ⅱ； 故答案为：，Ⅱ； （2）解：， ∵． ∴表格中表示的大小关系是， 故答案为：，； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 类型七、勾股定理的动点求t 【解惑】如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒，（）， (1)的长为________； (2)当点P在的角平分线上，则的长为________； (3)当是直角三角形时，求t的值； (4)在整个运动中，直接写出为轴对称图形时t的值________． 【答案】(1)4 (2) (3)2或 (4)或或4 【分析】（1）由勾股定理可求得的值； （2）根据角平分线的性质解答即可； （3）分两种情况，由直角三角形的性质可得出答案； （4）分作为底和腰两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得， 故答案为：4； （2）解：连接，过点P作于点M，如图， ∵， ∴， ∵点P在的角平分线上，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； （3）解：当时，点P与点C重合， ∴， ∴， 当时， 在中，， 在中，， ∴， 即， ∴， 综上所述，t的值为2或； （4）解：若是轴对称图形，则是等腰三角形， 当作为底边时，如图， 则， 设，则， 在中，， 即， 解得， 此时， 当作为腰时，如图， ①，此时； ②时， ∴，此时， 综上所述，t的值为或或4． 故答案为：或或4． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【融会贯通】 1．【问题探究】 （1）如图1，在中，，高．动点由点C沿向点B移动(不与点B重合)．设的长为x，的面积为y．请求出y与x之间的函数关系式； 【问题解决】 （2）如图2，在一块三角形电子屏中，C为感应点，其中 ,动点P为一光点，当光点P在光带(折线)上运动时，会与感应点C发生反应，同时光点P与初始点A、感应点C三点形成三角形感应区，光点P以每秒的速度从A点出发，沿匀速运动，到达点C时停止．设光点 P的运动时间为t秒，三角形感应区的面积为（，即存在，t不取点A、C处的值）． ①请求出S关于t的函数表达式； ②当三角形感应区的面积恰好为三角形电子屏面积的一半时，求光点P的运动时间． 【答案】（1）；（2）① ；②或 【分析】本题主要考查勾股定理，动点与函数的关系，根据函数值求自变量的值，掌握勾股定理，动点与函数关系式的计算，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据的长为x，则，由三角形的面积计算公式计算即可； （2）①由勾股定理得到，根据点的运动，分类讨论：当P在边上时，此时，则；当P在边上时，此时，则；由此即可求解； ②根据题意算出，则，分别代入①中的关系式即可求解． 【详解】解：（1）∵的长为x，则， ∴； （2）①∵， ∴， 如图1，当P在边上时，此时， ∴； 如图2，当P在边上时，此时， ∴； 综上所述：S关于t的函数表达式为； ②， ∴三角形感应区的面积， 当时，； 当时，； ∴三角形感应区的面积恰好为三角形电子屏面积的一半时，光点P的运动时间为或． 2．已知中，，，，、是边上的两个动点，中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为秒．      (1)当秒时，点到的距离是________； (2)当时，________； (3)若将周长分为两部分，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了勾股定理，三角形与动点问题，实际问题与一元一次方程，解题中运用分类思想，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． （1）根据勾股定理求得的长度，进而求得，连接，过点作于点，再由三角形的面积公式建立等式求解，即可解题； （2）由题知，，由勾股定理求出，根据建立等式求解，即可解题； （3）根据将周长分为两部分，分两种情况①在上运动，②在上运动，讨论求解，即可解题； 【详解】（1）解：，，， ， 由题知，当秒时，， 连接，过点作于点， 即， 解得， 点到的距离是， 故答案为： （2）解：由题知，，， ， 当时， 可得 整理得， 解得， 故答案为： （3）解：将周长分为两部分， ，， ①在上运动， 由题知，，，，，， ， 解得； ②在上运动， ， ， 解得 综上所述，的值为或； 3．如图，在中，，，，点和点分别是边上的两动点，点从点开始沿方向运动，速度为每秒，到达点后停止；点从点开始沿的方向运动，速度为每秒，到达点后停止，它们同时出发，设运动时间为秒． (1)当秒时，求的面积； (2)当为何值时，点恰好在边的垂直平分线上； (3)当点在边上运动时，直接写出为等腰三角形时的值． 【答案】(1) (2)当时，点P恰好在边的垂直平分线上； (3)t的值是11或12或． 【分析】本题是三角形的综合题，考查了勾股定理，等腰三角形的性质，方程思想及分类讨论思想等知识． （1）由三角形的面积公式即可解答； （2）可得，，在中，得到，可求出； （3）用t表示出，利用等腰三角形的性质可分，和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【详解】（1）解：当时，，， ∵， ∴， ∵， ∴的面积； （2）解：如图1，连接， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：， 即当时，点P恰好在边的垂直平分线上； （3）解：∵，，， ∴， ①当时，如图2， ∴； ②时，如图3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图4，过点C作于D，则， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴； 综上所述：当点Q在边上运动时，为等腰三角形时t的值是11或12或． 类型八、勾股定理的新定义 【解惑】定义：如图，点E、F把线段分割成、、三条线段若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点E、F是线段的“勾股分割点” (1)若，，，则点E、F是线段的“勾股分割点”吗？请说明理由； (2)若点E、F是线段的“勾股分割点”，且为直角边，若，，求的长． 【答案】(1)点E、F是线段的勾股分割点，理由见解析 (2)的长为或 【分析】考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理等知识，本题综合性强，正确理解题意是解题的关键： （1）根据勾股定理求出，可知以、、为边的三角形是一个直角三角形，进而可得出点E、F是线段的勾股分割点； （2）设，则，分两种情况：①当为最长线段时，依题意得，②当为最长线段时，依题意，得，分别求解即可． 【详解】（1）点E、F是线段的勾股分割点， 理由如下：∵，，， ∴， ∴以、、为边的三角形是一个直角三角形， ∴点E、F是线段的勾股分割点 （2）设，则， ①当为最长线段时，依题意得，即，解得 ②当为最长线段时，依题意，得，即，解得， 综上所述的长为或 【融会贯通】 1．定义：若三角形一条边上的高的长度等于这条边长度的倍，则这个三角形叫做“高倍底”三角形，这条边叫做这个三角形的“基底”． (1)概念理解：下列属于“高倍底”三角形的有______；（填序号） ①等边三角形；        ②等腰直角三角形；        ③三边长分别是的三角形． (2)问题探究：如图，是“高倍底”三角形，是“基底”．若，求的长： (3)应用拓展：是“高倍底”三角形，是“基底”，．将沿着边翻折得到，连接．若，且有一条边长为，求的长． 【答案】(1)③ (2) (3)或 【分析】（1）根据“高倍底”三角形的定义，根据等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用等知识分别验证各选项是否符合即可； （2）如图所示，过点作延长线于点，则，可证是等腰直角三角形，解得，，由是“高倍底”三角形，是“基底”，得到，在中，由勾股定理可得，由此即可求解； （3）根据题意作图，分类讨论：第一种情况，当时；第二种情况，当时；运用勾股定理，等面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，等边三角形，过点作于点， ∴，， ∴， 在中，， ∴，不符合“高倍底”三角形的定义，故等边三角形不是“高倍底”三角形； 如图所示，等腰直角三角形，，过点作于点，则， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，不符合“高倍底”三角形的定义，故等腰直角三角形不是“高倍底”三角形； 三边长分别是的三角形， ∵， ∴该三角形是直角三角形， 如图所示，， ∴是边的高，且， ∴三边长分别是的三角形符合“高倍底”三角形的定义，是“高倍底”三角形； 故选：③； （2）解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，，即， 解得，， ∵是“高倍底”三角形，是“基底”， ∴， ∴， ∴， 在中，； （3）解：如图所示， ∵将沿着边翻折得到，连接，延长交于点，过点作延长线于点， ∴垂直平分， ∴， ∵是“高倍底”三角形，是“基底”，， ∴， ∴， 第一种情况，当时， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，当时，则， ∴， 在中，， 同理，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，折叠-垂直平分线的性质，等面积法求三角形的高等知识的综合，理解“高倍底”三角形，掌握等边三角形，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，数形结合分析思想是解题的关键． 2．定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则________度； (2)如图，在中，，，，，是角平分线．    ①试判断是“近直角三角形”吗？并说明理由． ②求的长度． 【答案】(1)15 (2)①是，理由见解析，② 【分析】（1）由是“近直角三角形”，得到，由，即可求解； （2）①由角平分线定义得，再由三角形内角和定理得出，即可得出结论； ②过点D作于E，先证明，得到，，从而可求得，，然后在中，由勾股定理，求解即可． 【详解】（1）解：∵，，是“近直角三角形” ∴ 即 ∴ 故答案为：15． （2）解：①是“近直角三角形”，理由如下： ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“近直角三角形”． ②过点D作于E，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴ ∵是角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 解得：． 【点睛】本题词考查新定义，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解新定义，掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． 3．【定义】 如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”．如图1，在四边形中，若，则四边形是对补四边形． 【应用】 (1)如图1，在对补四边形中，，则_____； (2)如图2，在对补四边形中，，，，，则_____； (3)如图3，在对补四边形中，平分． ①求证：； ②若，请探究的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②，见解析 【分析】（1）根据“对补四边形”的定义可得，再求解即可； （2）如图，连接，利用勾股定理，证明，再利用勾股定理可得答案； （3）①过点作于，作于．证明，再证明，即可得到答案；②求解，证明，可得．结合，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：在对补四边形中，， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵四边形为对补四边形， ∴， ∵， ∴； （3）解：①过点作于，作于． 平分， ， ， ， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， ． ②，理由见解析： 平分， ， ， ， ． ， ， ， 在中，， ∴，， ． ． 【点睛】本题考查的是新定义，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 类型九、勾股定理的平方关系 【解惑】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【答案】(1)，，， (2) (3)“垂美”四边形对边的平方和相等 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解； （3）由（1）（2）得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，； （2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，， ，， ； （3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等． 【融会贯通】 1．如图1，已知，以为边分别向外作等边和等边，连接，则有．    (1)如图2，已知，以为边分别向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，猜想与有什么数量关系？并说明理由． (2)如图2，连接，若的值为　 　． (3)运用图．（1），图（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得米，的长为　 　（结果保留根号）． 【答案】(1)，理由见解析 (2)82 (3)米 【分析】（1）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，可得出，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求出，进而得出，结合等腰直角三角形的性质及勾股定理求解即可； （3）在的外侧作，使，连接，就可以得出，就有，由勾股定理就可以求出的值，进而得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都为等腰直角三角形， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接交于点O，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和是等腰直角三角形，， ∴， ∴； （3）解：在的外侧作，使，连接，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，米， 由勾股定理，得， ∵米， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，本题要利用正方形的特殊性，巧妙地借助两个三角形全等，寻找三角形面积之间的等量关系是解决问题的关键． 2．已知中，，D是边上一个动点，连接，以为直角边作等腰，其中．    (1)如图1， ①求证：． ②线段之间存在的数量关系为_________． (2)如图2，若，在动点D运动过程中，当周长取得最小值时，求此时的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①先判断出，得出，即可得出结论； ②先判断出，进而判断出，再用勾股定理得出，即可得出结论； （2）先判断出，进而得出的周长为，进而判断出当时，最短，即可得出结论． 【详解】（1）①证明：， ， 在和中， ， ， ； ②； 证明：在中，， ， 由（1）知，， ， ， 在中，根据勾股定理得，， 由（1）知，， ∵，， ∴， ． （2）解：在中，， ， 的周长为， 要使的周长最小，则最短， 当时，最短， 在中，，根据勾股定理得，， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出时，最短是解本题的关键． 3．如图，在中，，，于点，点是的中点，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）在中，由勾股定理得：，根据等面积法即可求解； （2）根据题意得出，进而根据，，得出 （3）延长至点，使，连结，证明，，得出，根据，即可得出． 【详解】（1）在中，，，， 由勾股定理得：， ，， ， 即， 解得：； （2）证明：点是的中点， ， ， ， ，， ； （3）证明：延长至点，使，连结， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握勾股定理是解题的关键． 类型十、无刻度尺作图 【解惑】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求找格点． (1)在图①中，连结、、，使； (2)在图②中，连结、，使； (3)在图③中，连结，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据网格在图①中，作，的垂直平分线交于点，即可使； （2）根据网格在图②中，找到格点，连结、，根据平行线的性质和四边形内角和定理可得； （3）根据网格在图③中，连结，根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：如图①，点即为所求； 点在，的垂直平分线上， ； （2）如图②，点或点即为所求； 由网格可知：， 由网格可知：，， ； ； （3）如图③，点即为所求； 由网格可知：， ， 由网格可知：，，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，四边形内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰直角三角形的判定与性质． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法． (1)在图①中找一格点，连结AB，使线段； (2)在图②中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且； (3)在图③中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)10或． 【分析】（1）利用网格结合勾股定理画图即可； （2）结合等腰三角形的判定，画以为顶角且底边为2，高为2的等腰三角形或者画底边为，高为的等腰三角形即可； （3）结合勾股定理画出等腰，使即可；利用三角形面积公式或者割补法算出三角形面积． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）解：如图所示， 即为所求． （3）解：如图所示，即为求． 三角形面积：或． 故答案为：10或 【点睛】本题主要考查了作图——应用与设计作图、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定、勾股定理是解答本题的关键． 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点的三角形叫做格点三角形，只用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留作图痕迹．    (1)点A，B为网格中的格点，作格点，使，； (2)作出（1）中的高，则高的长度为________； (3)在（1）的条件下，点M为线段上的点，，在线段CB上作出点N，使． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， (3)见解析. 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，割补法求面积，二次根式的运算，对称图形的性质等知识，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）根据勾股定理构造，即可； （2）利用网格构造垂直线段即可作出三角形的高；在利用三角形面积公式求高； （3）由网格的特点得出点M，再作出点关于的对称点，由对称可知，而对顶角相等可得，由此即可得出作图正确． 【详解】（1）解：如图，为所求，    由勾股定理得，， （2）如图，为所求， ∵，即：， 解得： （3）如图， ，故点如图所示， 取点关于的对称点，连接交于，即点N为所求，此时. 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所图形的顶点均在格点上，且在图①、图②、图③中所画的图形互相不全等，不要求写画法． (1)在图①中以线段为一腰画一个等腰． (2)在图②中以线段为底画一个等腰． (3)在图③中以线段为一边画一个等腰． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形，等腰直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用网格与勾股定理得出，则，得出线段为一腰画一个等腰，即可作答． （2），则，得出以线段为底画一个等腰，即可作答． （3）结合网格特征，得出，得出等腰，即可作答． 【详解】（1）解：等腰，如图所示： （2）解：等腰如图所示： （3）解：等腰如图所示： 【一览众山小】 1．如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由角平分线的定义和性质得，则选项B不符合题意；再证明，得，则选项C不符合题意；然后在中，由勾股定理求出，则，选项D不符合题意；进而证明不是等腰直角三角形，得，则选项A符合题意；即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴，故选项B不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴，故选项C不符合题意； 在中，由勾股定理得：， ∴，故选项D不符合题意； ∵， ∴不是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴不是等腰直角三角形， ∴， ∴，故选项A符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的判定是解题的关键． 2．如图，是等边三角形，点是线段上的动点，过点作于，延长交的延长线于点，有以下结论：①；②；③；④过点作于，动点在运动过程中，的值始终不变．其中正确的结论个数有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、角直角三角形的性质、三角形内角和定理的应用及三角形外角的性质，勾股定理，熟知以上知识点是正确解答此题的关键． 由是等边三角形，可得，进而得，可判断①正确；由三角形外角的性质及等腰三角形的判定可判断②正确；假设，则可得出点D是中点，与点是线段上的动点矛盾，可判断③不正确；用勾股定理得出，，即可得出，可判断④正确；从而可得答案． 【详解】解：①是等边三角形， ， ， ， ， ， 故①正确； ②， ， ， 故②正确； ③若，则， ， 此时，点D是中点， 点是线段上的动点， 故③不正确； ④过点作于，如图， ， ， ， 中，， 即， ，同理可得，， 即动点在运动过程中，的值始终不变． 故④正确； 综上所述，正确的说法有3个， 故答案为：B． 3．松松学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为12m；（）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为15m；③松松身高为1.6m，若松松同学想使风筝沿方向下降4m，则他应该往回收线（   ）米． A．2 B．5 C．5.4 D．3.6 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，利用勾股定理求得、是解答的关键． 设风筝下降到点M处，连接，利用勾股定理分别求得、，即可求解． 【详解】解：如图，设风筝下降到点M处，连接，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故选：A． 4．如图，在中，，点在边上，连接，将沿着直线翻折，点恰好落在直线上的点处，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质、勾股定理．根据勾股定理可以求出，根据折叠的性质可知，根据全等三角形的性质可知，从而可求，设，则，，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：在中，， ， 根据折叠的性质可知， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ． 故答案为： ． 5．如图，在中，，点D为的中点，点E为上的一个动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】12 【分析】作点B关于的对称点F，连接交于E，连接、，则，此时，最小，先求出，，利用直角三角形的性质得到，从而求得，，再证明为等边三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：作点B关于的对称点F，连接交于E，连接、，则，此时，最小， ∵ ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵点B与点F关于的对称， ∴，， ∴ ∵ ∴为等边三角形， ∵点D为的中点， ∴，， ∴ ∴的最小值为12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查利用轴对称求最短距离问题，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握“将军饮马”问题是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，为第一象限内的一点，过点分别作轴于点，轴于点，点在线段上，且点的横、纵坐标相同，过点作于点．设长方形的周长为，的长为，则 ． 【答案】 【分析】此题重点考查坐标与图形性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，推导出及是解题的关键．由题意可知，，则，，设，则，由长方形的周长为，的长为，得，，则，再证明，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：轴于点，点在线段上，且点的横、纵坐标相同， ，， ，， 设，则， 长方形的周长为，的长为， ，， ， ， 于点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)画出关于y轴的对称图形，并求出的面积； (2)已知点D的坐标为，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)图见解析，4 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查坐标与轴对称，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定： （1）根据轴对称的性质，画出，分割法求出的面积即可； （2）勾股定理及其逆定理，进行判断即可． 【详解】（1）如图所示：即为所求， ； （2）是等腰直角三角形． ∵，， ∴，，， ∴，． ∴是等腰直角三角形． 8．已知长方形纸片，点P是上一点，将纸片沿折叠，使点B的对应点刚好落在上． (1)请用直尺和圆规作出点P；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）以点为圆心，为半径作圆作弧，交于点，连接，作的平分线交于点P即可； （2）证明，推出，设，则，求得，得到，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，点P即为所作； （2）解：由作图知，，，， ∴， ∴， 设，则， ∵长方形纸片， ∴，，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得，即， 解得， ∴的长为． 9．【模型呈现】 （1）如图1，中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点B的坐标为，则点A的坐标是 ； （3）如图3，直线l：分别交x轴、y轴于点A、B． ①将直线l绕点A逆时针旋转得到直线m，求直线m的函数表达式； ②如图4，点C的坐标为，点D为直线l上一动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1）见解析（2）（3）①② 【分析】（1）同角的余角相等，求出，利用证明即可； （2）根据（1）中结论得到，求出点坐标即可； （3）①过点作于点，过点作轴，交轴于点，作，设，易得，求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；②过点作轴，过点作轴，设，易得，求出点坐标，利用勾股定理结合完全平方式的非负性，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵点B的坐标为， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴； 故答案为：； （3）①过点作于点，过点作轴，交轴于点，作， 设，则：， ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同法（1）可得：， ∴， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为：，则：，解得：， ∴； ②过点作轴，过点作轴，设，则：， 同法可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为：． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式等知识点，熟练掌握一线三直角全等模型，是解题的关键． 10．在等腰直角中，，点（不与点、重合）从点出发沿线段以每秒的速度向终点运动，在运动过程中，过点作交射线于点，以线段为直角边作等腰直角，使得，且点、位于两侧．将与重叠部分图形记为，点运动时间为（秒）． (1)长为__________； (2)当点与点重合时，求的值； (3)当点与的顶点连线平分面积时，求此时的值； (4)当图形为轴对称图形时，直接写出的范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形中线的性质，轴对称图形的性质； （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意可得，进而求得的值； （3）当落在上时，连线平分面积，进而求得，即可求解； （4）分量种情况讨论，当在的延长线上时，当点落在上时，分别求得临界值，进而根据题意，求得的范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵等腰直角中，， ∴ 故答案为：． （2）如图，作于，则， 当点与重合时， ∴ ∴时，点与点重合． （3）解：如图所示， ∵是斜边上的中线， ∴平分面积， ∴当落在上时，连线平分面积， ∵， ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴平分， 又 ∴ ∵ ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ （4）解：当在的延长线上时，设与交于点，交于点， 则为， 同理可得， 则 ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴为轴对称图形， 由（1）可得重合时，， ∴时，为轴对称图形， 如图所示，当点落在上时，过点作， ∵， ∴ 又∵是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点继续运动，则在内部，始终为等腰直角三角形， ∵，则点运动到点的时间为， ∴， 综上所述，当图形为轴对称图形时，或． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$