第18章 勾股定理（基础+中等类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

第18章 勾股定理思维导图 【类型覆盖】 类型一、勾股数 【解惑】下面各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．2，3，5 B．，3， C．6，8，10 D．3，6，8 【融会贯通】 1．在下列四组数中，属于勾股数的是（   ） A．1，， B．6，8，10 C．7，8，9 D．0.3，0.4，0.5 2．《九章算术》提供了许多勾股数如，等，其中一组勾股数中最大的数称为“弦数”．经研究，若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则与这两个数组成勾股数；若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后用这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，则与这两个数组成勾股数．根据上面的规律，由12生成的勾股数的“弦数”是 ． 3．世界上第一次给出的勾股数公式，是记录在我国古代的数学著作《九章算术》中，书中提到：当，，时，其中，m，n是互质的奇数． （1）任意写出满足条件的一组勾股数： ． （2）某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为，且，该直角三角形的面积为 ． 类型二、判断三边是直角三角形 【解惑】的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在中，的对边分别为a，b，c，且满足，则 ． 3．已知a，b，c是的三边长，且满足关系式，则的形状为 ． 类型三、赵爽弦图 【解惑】如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标我国古代的数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”，它由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的积等于（   ） A．12 B． C．24 D．10 【融会贯通】 1．如图，小明用4个全等且面积为6的直角三角形和1个小正方形刚好拼成一个面积为25的大正方形则每一个直角三角形的周长为（   ） A．6 B．12 C．13 D．25 2．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为 ． 3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中的较短直角边长为，较长直角边长为，，且中间小正方形的面积为5，则大正方形的面积为 ． 类型四、勾股定理与网格问题 【解惑】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为（  ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为．若点，，都在格点（网格线的交点）上，则边上的高长为（    ） A． B． C． D．2 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，则边上的高线长为 ． 3．如图，在的方格中，每个小正方形的边长为1，图（1）中正方形的面积为 ；如图（2），若点在数轴上表示的数是，以为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点，则点所表示的数是 ． 类型五、勾股定理解三角形 【解惑】已知，如图在三角形中，，，，延长到点，使得，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，平分，通过尺规作图，得到直线，分别与，，交于点，，，连结，．若，，，，则的长度为（   ） A． B．6 C． D．7 2．等腰中，为一腰，、、都是锐角，为边上的高，．则边的长为 ． 3．如图，在中，，，，的平分线交于点，则 ． 类型六、勾股定理的应用——梯子滑落问题 【解惑】某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端A到左墙的距离为，梯子顶端D到地面的距离为，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端C到地面的距离为，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽为（   ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地。问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明1丈10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米，若梯子的顶端沿墙下滑米，这时梯子的底端也恰好外移米，则梯子的长度为 米． 3．每年的月日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为米． (1)求云梯顶端与墙角的距离的长； (2)现云梯顶端下方米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 类型七、勾股定理的应用——大树折断问题 【解惑】如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（   ）．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈尺） A．3尺 B．4尺 C．4.55尺 D．5尺 【融会贯通】 1．如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，倒下部分与地面成夹角，倒下后树高还有5米，这棵大树在折断前的高度为（   ） A．10米 B．15米 C．25米 D．30米 2．如图，竹高尺，处被折断竹稍抵达地面，离竹根部有尺，则竹的余高为 尺． 3．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 类型八、勾股定理的应用——水中筷子问题 【解惑】如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则最小为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【融会贯通】 1．将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，老师对其进行改编：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，适与岸齐，问水深几何？”题意为：有一个底面为正方形的池塘，在池塘正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，拉动7尺后它的顶端恰好碰到池边的水面．则水深是 尺． 3．如图，有一个池塘，其底边长为10尺，一根芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，请你计算这个池塘水的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 类型九、勾股定理的应用——旗杆高度问题 【解惑】《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是：“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分还有3尺，拉着绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，如图，问绳索长多少？”设绳索长x尺，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．小明和小刚想探究旗杆的高度，他们将旗杆顶端系上绳索，绳索顺着旗杆下垂后，堆在地面的部分有米，牵着绳索从旗杆底部向后退行，在离旗杆米处绳索用尽（绳索一端紧贴地面无剩余），若设旗杆高度为米，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到的位置时，下端距静止位置的水平距离等于，距地面，则秋千的长为 ． 3．学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． (1)设长为米，绳子为_____米，为_____米（用的代数式表示）； (2)请你求出旗杆的高度． 类型十、勾股定理的证明 【解惑】三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示，其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空的部分是一个小正方形，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用所给的图形证明勾股定理； (2)若，，求小正方形的面积． 【融会贯通】 1．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，其中一个有趣的证法如下：把两个全等的直角三角形（如图1放置，，点在边上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理， (1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距16千米，为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为_____千米． (3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，请在图2中作出点的位置并求出的距离．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 2．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 3．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 【一览众山小】 1．我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（   ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 2．的三边长为3，4，，若是直角三角形，则的值可以是（   ） A．2 B． C． D．6 3．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，以、为边的正方形的面积分别为、，若，，则的长为 ．    5．用一根长的铁丝围成一个斜边长为的直角三角形，则这个直角三角形较短的直角边长为 ． 6．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成，现将这四个直角三角形拼成如图2所示的大正方形，大正方形的面积为49，设直角三角形的短直角边的长为，长直角边的长为，则与的关系可以表示为 ． 7．王宣同学想运用所学知识测量一棵大树的高度，如图，他在地面上点的正上方放置一个测距仪，测距仪位于点处时，测得测距仪到树干的水平距离米，测距仪到大树顶端的距离米，已知于点，米，请你求出这棵大树的高度． 8．如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到地面的距离，点到的距离，已知．求点到地面的距离的长为多少米? 9．如图，长方形的长为，宽为， (1)将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形（标出关键点和数据）；所拼的正方形的边长是 ． (2)请在下面数轴上找出表示（1）中所拼正方形边长的点．（用尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） 10．阅读下列材料，回答问题． 社区公园里新安装了一架秋千，小白对秋千的高度产生了兴趣，星期天他和朋友一起带着卷尺到公园测量秋千的高度，他设计如下的测量方案： 步骤一：测得秋千静止时的底端与地面的距离； 步骤二：如图，小白握住秋千的底端往外后退，直到秋千的绳索被拉直，测得此时秋千底端离地面的高度，再测得小白站立处与秋千静止时的水平距离． (1)若设秋千的高度，则_____（用含的代数式表示）； (2)根据上述测量方案和数据，求秋千的高度． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 勾股定理思维导图 【类型覆盖】 类型一、勾股数 【解惑】下面各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．2，3，5 B．，3， C．6，8，10 D．3，6，8 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的定义是解题关键．根据勾股数是满足勾股定理的一组正整数，其中为最长边，逐项判断即可． 【详解】解：A、，，因为，所以这组数不是勾股数，此选项不符合题意； B、， 不是正整数，则这组数不是勾股数，此选项不符合题意； C、，，即，且、、10都是正整数，则这组数是勾股数，此选项符合题意； D、，，因为，即，则这组数是勾股数，此选项符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．在下列四组数中，属于勾股数的是（   ） A．1，， B．6，8，10 C．7，8，9 D．0.3，0.4，0.5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．1，，不都是整数，故不是勾股数，不符合题意； B．，故是勾股数，符合题意； C．，故不是勾股数，不符合题意； D．0.3，0.4，0.5不是整数，故不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2．《九章算术》提供了许多勾股数如，等，其中一组勾股数中最大的数称为“弦数”．经研究，若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则与这两个数组成勾股数；若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后用这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，则与这两个数组成勾股数．根据上面的规律，由12生成的勾股数的“弦数”是 ． 【答案】37 【分析】此题主要考查了勾股数以及数字变化规律，正确得出的值是解题关键．直接根据题意分别得出由12生成的勾股数的“弦数”，进而得出答案． 【详解】解：把由12生成的勾股数的“弦数”记为， ，，， 故． 故答案为：37． 3．世界上第一次给出的勾股数公式，是记录在我国古代的数学著作《九章算术》中，书中提到：当，，时，其中，m，n是互质的奇数． （1）任意写出满足条件的一组勾股数： ． （2）某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为，且，该直角三角形的面积为 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】此题考查勾股数， （1）根题意写出一组勾股数即可； （2）分三种情况：①时，②时，③，分别进行解答即可． 【详解】解：（1）当时，，，； ∵ ∴勾股数满足题意； 故答案为：（答案不唯一） （2）∵， ∴， ∵直角三角形的一边长为， 分三种情况讨论： ①当时，， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，（不合题意，舍去）； ③当， 解得， ∵，m，n是互质的奇数． ∴， 把代入得到， 综上所述，一边长为，且，该直角三角形的三条边长分别为， ∴面积为， 故答案为： 类型二、判断三边是直角三角形 【解惑】的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，利用勾股定理和三角形内角和对选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A中、∵， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； B中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； C中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； D中、∵， 设 ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意，选项错误； 、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意，选项错误； 、，可以作为直角三角形三边长，符合题意，选项正确； 、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意，选项错误． 故选：． 2．在中，的对边分别为a，b，c，且满足，则 ． 【答案】/90度 【分析】先运用非负数性质求得a，b，c的值，再运用勾股定理的逆定理求得．此题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知a，b，c是的三边长，且满足关系式，则的形状为 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查了非负数的性质、勾股定理逆定理和等腰三角形的定义，直接利用非负数的性质，得出a，b，c之间的关系是解题关键． 由非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的形状为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 类型三、赵爽弦图 【解惑】如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标我国古代的数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”，它由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的积等于（   ） A．12 B． C．24 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，设两直角边分别为x，y，且，由勾股定理可得，结合小正方形的面积可得，再结合完全平方公式可得答案． 【详解】解：设两直角边分别为x，y，且， 根据题意得：，， ∴， ∴，   ∴， 即两直角边的积等于24， 故选C． 【融会贯通】 1．如图，小明用4个全等且面积为6的直角三角形和1个小正方形刚好拼成一个面积为25的大正方形则每一个直角三角形的周长为（   ） A．6 B．12 C．13 D．25 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设直角三角形直角边的长分别，斜边长为，根据题意，结合图形求出与的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值． 【详解】解：设直角三角形直角边的长分别（），斜边长为， 根据题意得：，，即， 则，， ， ， ， 每个直角三角形的周长为， 故选：B． 2．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形和三角形面积公式，完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键. 设直角三角形的两直角边为，斜边为，根据题意得出，，计算即可得到答案. 【详解】解：设直角三角形的两直角边为，斜边为， 根据题意得：，， ， 图2中大正方形的面积为 故答案为：. 3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中的较短直角边长为，较长直角边长为，，且中间小正方形的面积为5，则大正方形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， 得， ∴大正方形的面积， 故答案为：9． 类型四、勾股定理与网格问题 【解惑】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出面积，利用面积法求出边上的高即可． 【详解】解：在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，如图，为边上的高， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， 解得：， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为．若点，，都在格点（网格线的交点）上，则边上的高长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了网格与勾股定理，分母有理化；先运用勾股定理，算出，再根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图： ∵每个小正方形的边长均为， ∴， 即， 设边上的高长为 ∵ ∴， 故选：B． 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，则边上的高线长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理、三角形的面积公式，先根据网格特点和勾股定理求得，进而利用三角形的等面积求解即可． 【详解】解：根据网格特点，，， 由得：， 故答案为：． 3．如图，在的方格中，每个小正方形的边长为1，图（1）中正方形的面积为 ；如图（2），若点在数轴上表示的数是，以为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点，则点所表示的数是 ． 【答案】 10 / 【分析】由勾股定理求得正方形的边长，由正方形的面积公式即可求得正方形的面积；由画图知：，则，即得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形边长为：＝， ∴正方形的面积是； ∵正方形边长为， ∴， ∴， 即E表示的数为， 故答案为：10；． 类型五、勾股定理解三角形 【解惑】已知，如图在三角形中，，，，延长到点，使得，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形、三角形外角和、含角直角三角形的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理的知识；过点B作，交延长线于点E，根据三角形外角和等腰直角三角形的性质，得，再根据含角直角三角形、勾股定理的性质列方程计算得，再通过勾股定理计算即可得到答案． 【详解】如图，过点B作，交延长线于点E， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴ 设 ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在中，平分，通过尺规作图，得到直线，分别与，，交于点，，，连结，．若，，，，则的长度为（   ） A． B．6 C． D．7 【答案】A 【分析】首先求出，然后得到垂直平分，求出，然后求出，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】∵，平分， ∴ 由作图可得，垂直平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和和勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 2．等腰中，为一腰，、、都是锐角，为边上的高，．则边的长为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理．分为腰，为底两种情况，当为腰时，；当为底时，，利用勾股定理先求出，再求出，最后再利用勾股定理即可求出边的长． 【详解】解：分两种情况： 当为腰时，； 当为底时，则， ， ， ， ， 综上可知，边的长为5或． 故答案为：5或． 3．如图，在中，，，，的平分线交于点，则 ． 【答案】 【分析】过点作于点，由角平分线的性质得，进而由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，然后由三角形的面积求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，是的角平分线， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的面积，掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 类型六、勾股定理的应用——梯子滑落问题 【解惑】某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端A到左墙的距离为，梯子顶端D到地面的距离为，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端C到地面的距离为，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地。问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明1丈10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题． 当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 【详解】解：如图，木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ， ∴， 故选：C． 2．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米，若梯子的顶端沿墙下滑米，这时梯子的底端也恰好外移米，则梯子的长度为 米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，则，巧用梯子的长不变，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：米， ∴米， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即：， 解得：， ∴米， ∴米． 故答案为：． 3．每年的月日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为米． (1)求云梯顶端与墙角的距离的长； (2)现云梯顶端下方米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【答案】(1)的长为 (2)为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理即可得到求解； （2）在中，根据勾股定理求出，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴由勾股定理得， 即， 解得：， 答：云梯顶端与墙角的距离的长为； （2）解：∵，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∵， ∴． 答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 类型七、勾股定理的应用——大树折断问题 【解惑】如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（   ）．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈尺） A．3尺 B．4尺 C．4.55尺 D．5尺 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：1丈尺 设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 答：折断处离地面的高度是4.55尺， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，倒下部分与地面成夹角，倒下后树高还有5米，这棵大树在折断前的高度为（   ） A．10米 B．15米 C．25米 D．30米 【答案】B 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形中，所对的边是斜边的一半即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故这棵大树在折断前的高度为米， 故选B． 2．如图，竹高尺，处被折断竹稍抵达地面，离竹根部有尺，则竹的余高为 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设尺，则尺， ∵， ∴， 解得， ∴尺， 故答案为：． 3．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 类型八、勾股定理的应用——水中筷子问题 【解惑】如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则最小为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，根据题意，利用勾股定理求出吸管在杯内的最大长度，即可得出结果． 【详解】解：如图，由题意，得：， 由勾股定理，得：， ∴最小； 故选B． 【融会贯通】 1．将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，分类讨论思想的应用．利用勾股定理求出杯子内筷子的最大长度，再根据杯子内筷子的长度范围得出杯子外面长度的取值范围即可得出答案， 【详解】解：当筷子如图1放置时， 在中，由勾股定理，得， 此时，筷子在杯子外面的长度最短， 最短值为：； 当筷子如图2放置时， 此时，筷子在杯子外面的长度最长， 最长值为：． 综上，． 故选：D． 2．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，老师对其进行改编：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，适与岸齐，问水深几何？”题意为：有一个底面为正方形的池塘，在池塘正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，拉动7尺后它的顶端恰好碰到池边的水面．则水深是 尺． 【答案】 【分析】本题考查主要考查了勾股定理得应用，根据勾股定理正确列出方程是解题的关键． 如图，设水深是尺，得到尺，尺，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设水深是尺， 由题意可知，尺，尺， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴水深是尺， 故答案为：． 3．如图，有一个池塘，其底边长为10尺，一根芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，请你计算这个池塘水的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 【答案】池塘水深12尺，芦苇高13尺 【分析】根据题意得，由图可知是直角三角形，，设池塘水深尺，则芦苇高尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设池塘水深尺，则芦苇高尺， 根据题意得，是直角三角形， ， ， 解方程，得， ∴芦苇高为：(尺)， 答：池塘水深12尺，芦苇高13尺． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意利用勾股定理列出方程是解题关键． 类型九、勾股定理的应用——旗杆高度问题 【解惑】《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是：“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分还有3尺，拉着绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，如图，问绳索长多少？”设绳索长x尺，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理得应用，设绳索长x尺，由题意并结合勾股定理即可列出方程，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设绳索长x尺， 由题意并结合勾股定理可得：， 故选：A． 【融会贯通】 1．小明和小刚想探究旗杆的高度，他们将旗杆顶端系上绳索，绳索顺着旗杆下垂后，堆在地面的部分有米，牵着绳索从旗杆底部向后退行，在离旗杆米处绳索用尽（绳索一端紧贴地面无剩余），若设旗杆高度为米，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，勾股定理的应用，设旗杆高度为米，则绳索长为米，由勾股定理可列方程，即可求解，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设旗杆高度为米，则绳索长为米， 依题意得，， 故选：． 2．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到的位置时，下端距静止位置的水平距离等于，距地面，则秋千的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的应用，涉及到解一元一次方程，解题关键是理解题意，正确得到其中的三边关系并准确计算，本题根据在中，，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：∵秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到的位置时，距地面， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：4 ． 3．学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． (1)设长为米，绳子为_____米，为_____米（用的代数式表示）； (2)请你求出旗杆的高度． 【答案】(1)； (2)米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用． （1）根据题意可得，，将代入即可得解； （2）结合（1）再根据，，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出旗杆的高度． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 设长为x米，则绳子长为米，的长度为米， 故答案为：；； （2）解：在中，米， 米，米， 由勾股定理可得，， 解得：． 答：旗杆的高度为米． 类型十、勾股定理的证明 【解惑】三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示，其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空的部分是一个小正方形，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用所给的图形证明勾股定理； (2)若，，求小正方形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用、利用平方根解方程，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）方法一：利用正方形的面积公式计算大正方形的面积；方法二：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形与中间空的小正方形的面积之和，根据两种方法计算的面积相等即可得证； （2）先利用勾股定理求出，从而可得的值，再利用正方形的面积公式计算即可得． 【详解】（1）证明：方法一：大正方形的面积为， 方法二：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形与中间空的小正方形的面积之和， 则大正方形的面积为， 所以． （2）解：由（1）已证：， ∵，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴小正方形的面积为． 【融会贯通】 1．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，其中一个有趣的证法如下：把两个全等的直角三角形（如图1放置，，点在边上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理， (1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距16千米，为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为_____千米． (3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，请在图2中作出点的位置并求出的距离．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，勾股定理与最短路径的计算方法， （1）根据全等三角形的性质可得，则，分别用含的式子，结合图形表示出梯形、四边形、的面积，根据，代入计算即可求解； （2）如图所示，连接，作于点，可得，的长，在中，运用勾股定理可得，由此即可求解； （3）连接作的垂直平分线交于点，设，则，运用勾股定理可得，，再根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴，则， ∴，，， ∵， ∴，整理得，； （2）解：如图所示，连接，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：； （3）解：如图所示，设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 两边同时平方得，， 解得，， ∴． 2．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)120 (3)9 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程． （1）依据图1中的大正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 则； （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为80， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ， ， 解得：， ∴， ∴该飞镖状图案的面积是； （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 3．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 【答案】探索求证：见解析；问题解决：千米；延伸扩展： 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 【一览众山小】 1．我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（   ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式、勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 2．的三边长为3，4，，若是直角三角形，则的值可以是（   ） A．2 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4，既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设第三边为x， （1）若4是直角边，则第三边x是斜边， 由勾股定理，得：， 所以； （2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得， 所以； 所以第三边的长为5或， 故选：B． 3．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，，故A不正确； B、，，故B正确； C、，，故C不正确； D、，，故D不正确． 故选：B． 4．如图，在中，，以、为边的正方形的面积分别为、，若，，则的长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．根据勾股定理求出，则可得出答案． 【详解】解： ∵以、为边的正方形的面积分别为、， ，， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为：4． 5．用一根长的铁丝围成一个斜边长为的直角三角形，则这个直角三角形较短的直角边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，勾股定理．设一条直角边长为，则另一条直角边长为，根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x的值即可得出答案． 【详解】解：设一条直角边长为，则另一条直角边长为， 根据勾股定理得：， 解得：，， 两直角边长分别为和， 这个直角三角形较短的直角边长为， 故答案为：． 6．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成，现将这四个直角三角形拼成如图2所示的大正方形，大正方形的面积为49，设直角三角形的短直角边的长为，长直角边的长为，则与的关系可以表示为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了勾股定理，正方形和三角形面积公式，完全平方公式，准确识图找准等量关系是解题关键． 根据图形分析可得大正方形的边长即为直角三角形的两条直角边长度之和，据此解答即可． 【详解】解：由题意可得大正方形的边长即为直角三角形的两条直角边长度之和， ∴，即（负值舍去）， 故答案为：（答案不唯一） 7．王宣同学想运用所学知识测量一棵大树的高度，如图，他在地面上点的正上方放置一个测距仪，测距仪位于点处时，测得测距仪到树干的水平距离米，测距仪到大树顶端的距离米，已知于点，米，请你求出这棵大树的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由勾股定理得，从而即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴大树的高度(米) 8．如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到地面的距离，点到的距离，已知．求点到地面的距离的长为多少米? 【答案】点到地面的距离的长为2.2米 【分析】 本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键．根据题意，在中，由勾股定理得到，由即可求解． 【详解】解：由题知：， 在中，由勾股定理得：， ， （米）， 答：点到地面的距离的长为米． 9．如图，长方形的长为，宽为， (1)将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形（标出关键点和数据）；所拼的正方形的边长是 ． (2)请在下面数轴上找出表示（1）中所拼正方形边长的点．（用尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） 【答案】(1)作图见详解， (2)作图见详解 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）根据拼接前后图形的面积不变，结合勾股定理的计算得到正方形的边长，由此即可分割长方形拼接成正方形； （2）根据勾股定理的计算，数轴上表示无理数的方法作图即可． 【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为， ∵长方形拼成的正方形的面积不变， ∴正方形的面积为，则正方形的边长为， 如图所示， （2）解：正方形的边长为，由勾股定理得，如图所示， ∴点即为所求点的位置． 10．阅读下列材料，回答问题． 社区公园里新安装了一架秋千，小白对秋千的高度产生了兴趣，星期天他和朋友一起带着卷尺到公园测量秋千的高度，他设计如下的测量方案： 步骤一：测得秋千静止时的底端与地面的距离； 步骤二：如图，小白握住秋千的底端往外后退，直到秋千的绳索被拉直，测得此时秋千底端离地面的高度，再测得小白站立处与秋千静止时的水平距离． (1)若设秋千的高度，则_____（用含的代数式表示）； (2)根据上述测量方案和数据，求秋千的高度． 【答案】(1) (2)秋千的高度为 【分析】本题考查勾股定理的实际应用： （1）根据即可求解； （2）过点作，利用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：过点作，垂足为， 则，， ， ， 在中，， ， 即， 解得：， 答：秋千的高度为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$