18.2 勾股定理的逆定理 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

18.2 勾股定理的逆定理 一、勾股定理的逆定理的定义 如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 二、勾股定理的逆定理的证明 通过反证法证明，如果一个三角形不是直角三角形，那么它的两边的平方和不会等于第三边的平方。 三、勾股定理的逆定理的应用 学会运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状。 四、常见勾股数 满足勾股定理的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、40、41等。 五、判定步骤 运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤包括： 1.找：确定三角形的最长边。 2.算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和。 3.比：比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等。 4.判：如果相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形。 巩固课内例1:判断直角三角形 1．若的三边长分别是，，，则下列条件中不能判定是直角三角形的个数有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理逆定理的运用，三角形内角和定理；判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可． 【详解】解：①，可得：，是直角三角形； ②由，可得：，是直角三角形； ③由，可得：，不是直角三角形； ④由，可得：，是直角三角形； 所以不能判定是直角三角形的个数有个， 故选：． 2．已知、、为的三边，且，则的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查了非负数的性质、勾股定理逆定理、等腰三角形的定义等知识点，利用非负数的性质得出a、b、c之间的关系是解题的关键． 由非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的形状为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 3．（1）已知4是的算术平方根，的立方根为，求的值； （2）已知a，b，c为的边长，b，c满足，且a为方程的解，求的周长，并判断的形状． 【答案】（1）16；（2）见解析 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义，求出的值，进而求出的值； （2）根据非负性求出的值，绝对值的意义，求出的值，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）是的算术平方根，的立方根为， ， ， ． （2）， ， ， ， 或3， 当时，，则是直角三角形，周长为12， 当时，，则是等腰三角形，周长为10． 【点睛】本题考查算术平方根，立方根，非负性，勾股定理逆定理，等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 巩固课内例2:证明直角三角形 1．已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到进行求解． 【详解】解：①当时，则，正确，故①符合题意； ②当时，，则， ∵，， 不成立，故②不符合题意，④符合题意； ③∵于点D，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意， ∴正确的有①③④， 故选：C． 2．若的三边长分别为，，，要使此三角形成为直角三角形，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可得，计算即可得解，熟练掌握吐过三角形的三边长，，满足，那么这个三角形时直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 3．已知：如图，在中，，，的周长为30． (1)证明：是直角三角形； (2)过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】此题重点考查勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地求出的长，并且推导出是解题的关键． （1）由，，的周长为30，求得，则，所以是直角三角形； （2）①由，得，由于点，得，则，由，得，所以，而，则，所以； ②由，，且，得，则，由，，证明，则，所以． 【详解】（1）证明：，，的周长为30， ， ，， ， 是直角三角形． （2）①证明：， ， 于点， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， ． ②解：，，且， ， ， ，， ， ， ， ， ， 线段的长为． 类型一、判断三角形形状 1．已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，涉及到偶次方、算术平方根、绝对值的非负性，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．根据偶次方、算术平方根、绝对值的非负性得出，求出的值，求出，再根据勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解：， 三角形的形状是直角三角形， 故选：B． 2．已知的三边长分别为a，b，c，且这三边长满足，则的形状是 【答案】直角三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理及算术平方根非负数的性质，根据题意得出a，b，c的值是解题关键． 利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出a，b，c的值，然后利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 3．如图，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度，为格点三角形．请判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理和勾股定理的逆定理进行计算即可解答． 【详解】解：是直角三角形， 理由：由题意得：， ∴， ∴是直角三角形． 类型二、在网格中判断直角三角形 1．如图所示，在的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1，则的形状描述最准确的是（  ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．利用勾股定理分别求出三角形三边的长度，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：边长为1的正方形网格中，点A，B，C均在格点上， ， ， 且， 为等腰直角三角形， 故选：C． 2．如图是的网格，每个小正方形的边长为1，A、B、C、D是小正方形的顶点，则的值为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了格点作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理与网格．取格点，得到，利用勾股定理及其逆定理求得是等腰直角三角形，据此即可求解． 【详解】解：取格点，连接，，如图， 由网格的性质，知， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 3．图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画． (1)在图中画一个锐角三角形，且面积为； (2)在图中画一个等腰直角三角形； (3)在图中画一个面积为的钝角三角形． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【分析】本题考查了网格与勾股定理，三角形的分类，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用三角形面积和网格特征即可画出图形； （）根据网格与勾股定理及逆定理即可求解； （）根据网格特征及钝角三角形的定义即可画出图形． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴即为所求； （2）解：如图， 由网格可知：，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴即为所求； （3）解：如图， ∴， ∴即为所求． 类型三、勾股定理的逆定理证边 1．已知的三边长分别为a、b、c，下列三角形中是直角三角形的是（    ） A．三角形的三边满足关系 B．三角形的三边长分别为2，3，4 C．三角形的一边等于另一边的一半 D．三角形的三边长为6，8，10 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形三边关系等知识，根据三角形三边关系可以判断A，根据勾股定理的逆定理可以判断B和D，由第三边不确定，无法判断此三角形形状，从而判定C． 【详解】解：A、三角形的三边不可能满足关系，故此选项不合题意； B、三角形的三边长分别为2，3，4，由可知此三角形不是直角三角形，故此选项不合题意； C、三角形的一边等于另一边的一半，第三边不确定，无法判断此三角形形状，故此选项不合题意； D、三角形的三边长为6，8，10，由可知此三角形是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．如图，如果将△ABC的顶点A先向下平移3个单位．再向左平移1个单位到达点，连接，则与线段AC的关系是 ．    【答案】互相垂直平分 【分析】根据点的平移方式找出，利用勾股定理可得 ，，再根据勾股定理的逆定理推出即可． 【详解】解：如图，将点A先向下平移3格，再向左平移1格到达点，连接，与线段交于点O．    由勾股定理可知 ，， ∴线段与线段互相平分， ∵ ，， ∴ ， ∴， ∴， ∴线段与线段互相垂直平分． 故答案为：互相垂直平分． 【点睛】本题考查点的平移，勾股定理与勾股定理的逆定理，解题的关键是利用格点和勾股定理求出相关线段的长度． 3．如图，已知等腰和等腰，，点在内部，连接，，，其中，，． (1)求证：； (2)求的大小； (3)求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）运用证明解题即可； （2）利用勾股定理求出长，然后利用勾股定理的逆定理得到，解题即可； （3）过点作于点，先利用勾股定理求出，然后在中利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：∵和是等腰直角三角形， ， ， ， ． （2）解：在中，， ， 在中，， ， ， ． （3）解：过点作于点， ， ， ， ， 由勾股定理可得，即， 解得：或（舍去）， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握勾股定理是解题的关键． 类型四、勾股定理的逆定理证角 1．如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则和的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，证明是解题的关键． 2．如图，在“”的正方形网格中，的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】先标注格点，连接，，证明，，，再进一步解答即可． 【详解】解：标注格点，连接，， 由网格特点可得：， ∴， 由勾股定理可得： ，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行线的性质，勾股定理及其逆定理的应用，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．已知：如图，在中．，，的周长为． (1)证明：是直角三角形； (2)过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据题意求出，再利用勾股定理的逆定理即可证明； （2）①由（1）可知，结合，推出，由可得，得到，根据角平分线的定义可得，即可证明；②由，，且，推出，得到，根据，，得到，推出，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：，，的周长为， ， ，， ， 是直角三角形； （2）①证明：， ， 于点， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ； ②，，且， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 类型一、勾股定理的逆定理求长度 1．如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可，由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，在中．点是边上的一点．连接并延长到点，使得．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，过点作于，过点作于，由可得，，进而由勾股定理的逆定理得到为直角三角形，再根据三角形的面积可得，然后证明，得到，最后利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，过点作于，则， ∵， ∴，， 即， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在长方形中，，，点E为上一点，将沿折叠，使点B落在长方形内点F处，连接，且，求的度数和的长． 【答案】； 【分析】本题主要考查了折叠问题、勾股定理及其逆定理，熟练勾股定理及其逆定理是解题的关键．根据折叠得出，根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，即可得到；设，则，求出，根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】解：根据折叠可知：， ∵，， ， 即， 根据勾股定理的逆定理，得是直角三角形， ∴； 设，则， ∵根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴D、F、E三点在同一条直线上， ∴， ，， 在中，根据勾股定理，得 ，即， 解得． 故的长为2． 类型二、勾股定理的逆定理求角度 1．如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到E，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后利用等边对等角及三角形的内角和定理可得，最后利用邻补角互补即可得出答案． 【详解】解：如图，延长到E，连接， 由题意可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，等边对等角，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 2．如图，点D、E分别为的边、上的点，连接、，过点E作，连接，若，，，，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，勾股定理逆定理，平行线的性质，利用勾股定理证明出是直角三角形是解题关键．由三角形外角的性质，得出，再结合平行线的性质，得到，利用勾股定理逆定理，得出，即可求出的度数． 【详解】解：是的外角， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，连接，先根据勾股定理求出的值，再由勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 类型三、勾股定理的逆定理求周长 1．如图，在中，，，，将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用勾股定理的逆定理判断出，利用翻折不变性可得，推出，即可解决问题． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 由翻折的性质可知：，， ∴， ∴的周长， 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图所示，为的中线，，，，的周长是 ．    【答案】64 【分析】根据中线的性质得出，由勾股定理逆定理得出，再由勾股定理得出的长，从而可得结论． 【详解】解：在中，，，， 且，， ， 故是直角三角形，且， ∵是中线， ， ∴， ∴在中，，， ∴的周长为． 故答案为64． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及逆定理，熟练掌握勾股定理以及逆定理是解答本题的关键． 3．如图，在中，是内一点，连接，且．已知．    (1)求的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)30 (2)24 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）根据勾股定理得出，再求出结果即可； （2）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， 的周长为． （2）解：由（1）知， ， ， 是直角三角形，， ． 类型四、勾股定理的逆定理求面积 1．车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为，则三角形零件的面积是（    ） A． B．0.9 C．0.75 D．0.54 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理逆定理可得此三角形为直角三角形，两直角边分别为，即可求解面积． 【详解】解：∵测得三角形零件的三边长分别为， ∴， ∴该三角形零件为直角三角形， ∴面积为：， 故选：D． 2．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．则这片绿地的面积是 ． 【答案】114 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理求出为直角三角形，分割法求出绿地的面积即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴绿地的面积； 故答案为：114． 3．如图，一块草坪的形状为四边形，其中，，，，，求这块草坪的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中正确的根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键．连接AC，由已知条件根据勾股定理可得，结合，，由勾股定理逆定理可得，这样由四边形是由两个直角三角形构成的即可求出其面积了． 【详解】解：连接， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即是直角三角形， ∴草坪的面积 即这块草坪的面积为36平方米． 类型一、勾股定理中的折叠 1．如图，在中，，，，点D为上一点，将沿所在直线折叠后，点B的对应点E恰好落在的延长线上，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．由勾股定理的逆定理可知，由折叠的性质可知，，，设，则，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故选：D 2．如图，在中，，，，把折叠，使落在边所在的直线上，且点B的对应点为点，折痕为，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出，是解题关键．利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 设， ∵翻折， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴阴影部分面积为． 故答案为：36． 3．如图，在长方形中，，，为上的点，将沿折叠，使点落在长方形纳的点处．连接，已知． (1)求证：为直角三角形； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)2． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由折叠得，结合故，即可作答． （2）由折叠，可知．得证三点共线．再，则，结合勾股定理列式，再代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）证明：由折叠，可知． ∵且， ∴． 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形． （2）解：由折叠，可知． ∵， ∴， ∴三点共线． 设，则， ∵， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即． 解得． 即线段的长为2． 类型二、勾股定理的方向角问题 1．如图，，，，点A在点O的北偏西方向，则点B在点O（    ） A．北偏东的方向上 B．北偏东的方向上 C．南偏东的方向上 D．南偏东的方向上 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出，然后再求出的余角即可解答． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形， ， 由题意得：， 点在点的北偏东方向上， 故选：A． 2．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 【答案】南偏东 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， ∵， ∴， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东． 故答案为：南偏东． 3．如图，为一街区的店铺分布图，为一条笔直的公路，，分别为便利店和面馆，为公路边的公交站牌，站牌在便利店的正东方向，面馆在便利店的正南方向，已知，之间距离为250米，且在面馆的正北方向，公交站牌到便利店的距离长为120米，到面馆的距离长为150米． (1)若小华和小丽分别从公交站牌走到处和面馆处，那么两人的总路程为多少米？ (2)求面馆到公路的距离． 【答案】(1)两人的总路程为米． (2)面馆到公路的距离米． 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练利用勾股定理进行分析是解题的关键． （1）由勾股定理得出，进一步得出即可； （2）由得出是直角三角形，可知面馆到公路的距离即为的长度． 【详解】（1）解：在中，(米)， ∴(米)， 在中，(米)， ∴小华和小丽两人的总路程为(米)； 答：两人的总路程为米． （2）∵(米)，(米)，(米)， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴面馆到公路的距离即为(米)， 答：面馆到公路的距离米． 1．以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．6，8，10 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理逆定理判定直角三角形的计算是解题的关键． 运用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法计算即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴能构成直角三角形，故A选项不符合题意； B、∵， ∴不能构成直角三角形，故B选项符合题意； C、∵， ∴能构成直角三角形，故C选项不符合题意； D、∵， ∴能构成直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：B ． 2．的三边为a，b，c，不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：A．∵ ∴设，，， ∴ ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； B．∵， ∴可设，，， ∴， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； D．∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 3．在中，的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（   ） A．如果，那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形且 D．如果，那么是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，根据勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，则：，故是直角三角形，结论正确，不符合题意； B、，则：，故是直角三角形，结论正确，不符合题意； C、如果，那么是直角三角形且，原结论错误，符合题意； D、如果，则：，故，故，那么是直角三角形，结论正确，不符合题意； 故选C． 4．若一个三角形的三边满足，则这个三角形是 ． 【答案】直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．可知这个三角形是直角三角形． 【详解】解：∵c2﹣a2＝b2， ∴a2+b2＝c2， ∴此三角形是以c为斜边的直角三角形． 故答案是：直角三角形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，理解掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 5．已知的三边长分别为6，10，8，则的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积公式，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据三边长度可利用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形．再求面积即可． 【详解】解：∵的三边长分别为6，10，8， 且， ∴是直角三角形，两直角边长是6，8， ∴的面积为：， 故答案为：24． 6．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是 ． 【答案】234 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．连接，先利用勾股定理可得的值，再根据勾股定理的逆定理可得，然后根据四边形的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积等于 ； 故答案为：234． 7．如图，点在中，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理及其逆定理，利用所给条件准确运算是解决本题的关键． 【详解】解：在中，，， , 在中，， ， 即, , 的面积为, 的面积为, 阴影部分面积为， 故阴影部分面积为24． 8．如图，在中，，，． (1)试判断与是否垂直？并通过计算进行说明； (2)若的面积为3，求的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的性质和判定，解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质和判定； （1）根据勾股定理的判定，证明是直角三角形，即可得证； （2）根据三角形的面积求出，再根据勾股定理的性质即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下， ， ， 是直角三角形，且， ； （2）解：， ， ， ． 9．如图，三角形纸片的三边长分别为，，，现将边沿折叠，使它落在边上，点与点重合，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、折叠问题，熟练掌握性质定理是解题的关键． 先根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，，再根据折叠得出，然后设，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：在中，， ， 是直角三角形，， 是翻折而成， ， 设， ， 在中，，即， 解得． 故的长为3． 10．【阅读材料】“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下的变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，利用配方法可以将多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值． 例如：． ． 请仿照上例解决以下问题： (1)因式分解：； (2)多项式有最_______（填大或小）值，这个值为________． (3)已知、、是三边的长，且满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)大，10 (3)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，勾股定理得逆定理，正确理解题意是解题关键； （1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先根据完全平方公式配方，再利用完全平方公式的非负性解答即可求解； （3）将等式配方后，利用非负数的性质求出a，b，c的值，然后利用勾股定理逆定理判定三角形即可； 【详解】（1） ； （2） ． ∵， ∴， ∴． ∴当时，多项式有最大值，这个值为10． 故答案为：大，10 （3），b，c为的三条边，， 即， ， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.2 勾股定理的逆定理 一、勾股定理的逆定理的定义 如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 二、勾股定理的逆定理的证明 通过反证法证明，如果一个三角形不是直角三角形，那么它的两边的平方和不会等于第三边的平方。 三、勾股定理的逆定理的应用 学会运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状。 四、常见勾股数 满足勾股定理的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、40、41等。 五、判定步骤 运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤包括： 1.找：确定三角形的最长边。 2.算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和。 3.比：比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等。 4.判：如果相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形。 巩固课内例1:判断直角三角形 1．若的三边长分别是，，，则下列条件中不能判定是直角三角形的个数有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知、、为的三边，且，则的形状是 ． 3．（1）已知4是的算术平方根，的立方根为，求的值； （2）已知a，b，c为的边长，b，c满足，且a为方程的解，求的周长，并判断的形状． 巩固课内例2:证明直角三角形 1．已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．若的三边长分别为，，，要使此三角形成为直角三角形，则 ． 3．已知：如图，在中，，，的周长为30． (1)证明：是直角三角形； (2)过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②求线段的长． 类型一、判断三角形形状 1．已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．已知的三边长分别为a，b，c，且这三边长满足，则的形状是 3．如图，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度，为格点三角形．请判断的形状，并说明理由． 类型二、在网格中判断直角三角形 1．如图所示，在的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1，则的形状描述最准确的是（  ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2．如图是的网格，每个小正方形的边长为1，A、B、C、D是小正方形的顶点，则的值为 ． 3．图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画． (1)在图中画一个锐角三角形，且面积为； (2)在图中画一个等腰直角三角形； (3)在图中画一个面积为的钝角三角形． 类型三、勾股定理的逆定理证边 1．已知的三边长分别为a、b、c，下列三角形中是直角三角形的是（    ） A．三角形的三边满足关系 B．三角形的三边长分别为2，3，4 C．三角形的一边等于另一边的一半 D．三角形的三边长为6，8，10 2．如图，如果将△ABC的顶点A先向下平移3个单位．再向左平移1个单位到达点，连接，则与线段AC的关系是 ．    3．如图，已知等腰和等腰，，点在内部，连接，，，其中，，． (1)求证：； (2)求的大小； (3)求的长． 类型四、勾股定理的逆定理证角 1．如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则和的关系是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在“”的正方形网格中，的度数为 ． 3．已知：如图，在中．，，的周长为． (1)证明：是直角三角形； (2)过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②直接写出线段的长． 类型一、勾股定理的逆定理求长度 1．如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 2．如图，在中．点是边上的一点．连接并延长到点，使得．若，，，则的长为 ． 3．如图，在长方形中，，，点E为上一点，将沿折叠，使点B落在长方形内点F处，连接，且，求的度数和的长． 类型二、勾股定理的逆定理求角度 1．如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点D、E分别为的边、上的点，连接、，过点E作，连接，若，，，，则的度数为 ． 3．如图，，，，，求的度数． 类型三、勾股定理的逆定理求周长 1．如图，在中，，，，将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图所示，为的中线，，，，的周长是 ．    3．如图，在中，是内一点，连接，且．已知．    (1)求的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 类型四、勾股定理的逆定理求面积 1．车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为，则三角形零件的面积是（    ） A． B．0.9 C．0.75 D．0.54 2．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．则这片绿地的面积是 ． 3．如图，一块草坪的形状为四边形，其中，，，，，求这块草坪的面积． 类型一、勾股定理中的折叠 1．如图，在中，，，，点D为上一点，将沿所在直线折叠后，点B的对应点E恰好落在的延长线上，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 2．如图，在中，，，，把折叠，使落在边所在的直线上，且点B的对应点为点，折痕为，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 3．如图，在长方形中，，，为上的点，将沿折叠，使点落在长方形纳的点处．连接，已知． (1)求证：为直角三角形； (2)求线段的长． 类型二、勾股定理的方向角问题 1．如图，，，，点A在点O的北偏西方向，则点B在点O（    ） A．北偏东的方向上 B．北偏东的方向上 C．南偏东的方向上 D．南偏东的方向上 2．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 3．如图，为一街区的店铺分布图，为一条笔直的公路，，分别为便利店和面馆，为公路边的公交站牌，站牌在便利店的正东方向，面馆在便利店的正南方向，已知，之间距离为250米，且在面馆的正北方向，公交站牌到便利店的距离长为120米，到面馆的距离长为150米． (1)若小华和小丽分别从公交站牌走到处和面馆处，那么两人的总路程为多少米？ (2)求面馆到公路的距离． 1．以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．6，8，10 2．的三边为a，b，c，不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．在中，的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（   ） A．如果，那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形且 D．如果，那么是直角三角形 4．若一个三角形的三边满足，则这个三角形是 ． 5．已知的三边长分别为6，10，8，则的面积为 ． 6．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是 ． 7．如图，点在中，，，求图中阴影部分的面积． 8．如图，在中，，，． (1)试判断与是否垂直？并通过计算进行说明； (2)若的面积为3，求的长． 9．如图，三角形纸片的三边长分别为，，，现将边沿折叠，使它落在边上，点与点重合，求的长． 10．【阅读材料】“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下的变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，利用配方法可以将多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值． 例如：． ． 请仿照上例解决以下问题： (1)因式分解：； (2)多项式有最_______（填大或小）值，这个值为________． (3)已知、、是三边的长，且满足，判断的形状，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$