18.1 勾股定理 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

18.1 勾股定理 一、勾股定理的基本形式 勾股定理表述为：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。即，如果a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边，则有a²+b²=c²。 二、勾股定理的应用 1.已知直角三角形的两边求第三边：在直角三角形中，如果已知两条边的长度，可以利用勾股定理求出第三条边的长度。 2.利用勾股定理证明线段平方关系的问题：勾股定理可以用来证明线段之间的平方关系。 三、勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图法。拼图法的思路是：图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。 巩固课内例1:梯子滑落问题 1．如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B． C． D． 2．如图，一架米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物米，如果梯子的顶部滑下米，那么梯子的底部向外滑出 米（其中梯子从位置滑到位置） 3．如图，一架10米长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米． (1)此时梯子顶端A离地面多少米？ (2)设梯子顶端到水平地面的距离为m米，底端到垂直墙面的距离为n米．若，根据经验，可知当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子顶端A下滑3米到C处，请问这时使用是否安全？ 巩固课内例2:等积法 1．直角三角形中，两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高长是（   ） A． B．5 C．10 D．24 2．直角三角形两直角边长分别为和，则它斜边上的高为 ． 3．已知在中，，，，为边上的高．动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当为等腰三角形时，求t的值． 类型一、勾股数 1．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（   ） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，，2 2．在探索勾股定理的实践课上，同学们发现勾股定理本身就是一个关于的方程，满足这个方程的正整数解，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，…，分析上面勾股数组可以发现，，，第6个勾股数组为 ． 3．若x，y，z均为正整数，x与y互素，且，则称数组为基本勾股数组．观察下列基本勾股数组： ； ； ； ； … (1)根据以上规律，写出时，基本勾股数组中y，z之值； (2)若为基本勾股数组，当时，求x与z的值； (3)请你猜想基本勾股数组中x，y，z的规律，并证明你的猜想． 类型二、已知坐标求距离 1．在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为(   ) A． B． C． D． 2．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上且，则点的坐标为 ． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．请在图中画出关于x轴对称的，并求边的对应边的长． 类型三、用勾股定理求长度 1．如图，在中，，为的平分线，于点，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，三角形纸片，，将纸片沿过点C的直线折叠，使点A落在边上点D处，再折叠纸片使点B与点D重合，折痕交于点E．若，，则的长为 ． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，画出关于x轴对称的； (2)在（1）的条件下，点的坐标为______，的长为______． 类型四、用勾股定理求角度 1．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ． 3．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点．若，，，求的度数和的长度． 类型一、赵爽弦图 1．上图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为2．若用正数、表示直角三角形的两条直角边，则 ． 3．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，为中国古代以形证数，形数统一，代数和几何紧密结合，互不可分的独特风格树立了一个典范．如图，某同学制作了一个“赵爽弦图”的纸板，设． (1)请你利用图证明：； (2)若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求． 类型二、用勾股定理求周长 1．如图，在中，，于点D，若，，则的周长为（   ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，，，则的周长是 ．    3．如图， 已知等腰的底边，为腰上的高，且，求的周长． 类型三、用勾股定理求面积 1．如图，在中，，分别以为边在外侧作正方形和正方形，再以为斜边在外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．10 B． C． D． 2．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的而积为 ． 3．在的方格中，已知三点都在格点上． (1)如图，请仅用一把无刻度的直尺按要求作图（请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图，不要求写作法）．画出的平分线． (2)若每个小方格的边长为1，在的角平分线上有一点，已知，试求四边形的面积． 类型四、勾股定理的证明方法 1．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 2．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是 ．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2） 3．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． (2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． (3)在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 类型一、旗杆高度问题 1．如图，是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至米．如图，是秋千摆动过程示意图，其中为秋千的绳索固定点，为部分地面平台，绳索，，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为（   ） A．米 B． 米 C．米 D．米 2．如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ． 3．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 类型二、大树折断问题 1．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，书中有“折竹抵地”问题，今有竹高一丈，末折抵地，去本六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断、竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．一根木杆在离地米处折断，木杆的顶端落在离木杆底端4米处，则木杆折断之前的高度为 米． 3．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 类型三、勾股定理证平方关系 1．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．下列结论：其中正确的有（    ） ①；②；③；④        A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 ． 3．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 1．斜边，，则这个直角三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，为了测量池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点C，使于点A，测得，的长度分别为，，则间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 4．在中，斜边，则的值为 ． 5．如图，在中，以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点D，再分别以点B，D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点E．若，则的长为 ． 6．如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点F，交于点E，分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为 ． 7．由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，如图，树顶落在离树干底部处，求这棵树在折断前（不包括树根）的高度？ 8．如图，三个顶点分别为A，B，C． (1)作出关于y轴对称的； (2)在第一象限的格点上找一点D，连接，使是以为腰的等腰三角形，此时点D的坐标为 ． 9．如图，在中，，是的平分线，．求的长． 10．如图，在中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为秒． (1)当 秒时，点运动到的中点． (2)①当点在上时，的长为 ；（用含的代数式表示） ②若点在的角平分线上，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.1 勾股定理 一、勾股定理的基本形式 勾股定理表述为：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。即，如果a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边，则有a²+b²=c²。 二、勾股定理的应用 1.已知直角三角形的两边求第三边：在直角三角形中，如果已知两条边的长度，可以利用勾股定理求出第三条边的长度。 2.利用勾股定理证明线段平方关系的问题：勾股定理可以用来证明线段之间的平方关系。 三、勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图法。拼图法的思路是：图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。 巩固课内例1:梯子滑落问题 1．如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 2．如图，一架米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物米，如果梯子的顶部滑下米，那么梯子的底部向外滑出 米（其中梯子从位置滑到位置） 【答案】0.8 【分析】本题考查的了勾股定理的实际应用，找出题目中隐含的直角三角形是解题的关键．先求梯子原先顶部的高度，然后求出梯子下滑后顶部的高度，最后利用勾股定理求出下滑后梯子底部到建筑物的距离即可解答本题． 【详解】解：在中， 根据勾股定理，可求得： ， 现在梯子的顶部滑下0.4米，即（米）， 在中，（米）， （米）， 梯子的底部向外滑出的距离为（米）， 故答案为：． 3．如图，一架10米长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米． (1)此时梯子顶端A离地面多少米？ (2)设梯子顶端到水平地面的距离为m米，底端到垂直墙面的距离为n米．若，根据经验，可知当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子顶端A下滑3米到C处，请问这时使用是否安全？ 【答案】(1)此时梯子顶端离地面8米 (2)使用不安全 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出的长即可； （2）先由题意求得的长，由勾股定理求出的长，从而可求出a的值，再当时，梯子最稳定，使用时最安全，比较即可求解． 【详解】（1）解：因为，米，米， 所以（米）． 答：此时梯子顶端离地面8米； （2）解：因为梯子顶端下滑了3米到处， 所以梯子距离地面的高度（米）， 所以（米）， 所以， 因为当时，梯子最稳定，使用时最安全， 又，即． 所以这时使用不安全． 巩固课内例2:等积法 1．直角三角形中，两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高长是（   ） A． B．5 C．10 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理及直角三角形的面积，利用勾股定理求出斜边是解题的关键． 首先根据勾股定理求出斜边，然后利用三角形的面积求高即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为6和8， ∴斜边为． 设斜边上的高为， ， ， 故选：A． 2．直角三角形两直角边长分别为和，则它斜边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的高，设斜边上的高为h，先利用勾股定理求出斜边长为10，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：设斜边上的高为h， ∵直角三角形两直角边长分别为和， ∴斜边长为， ∵该三角形的面积， ∴， ∴该直角三角形它斜边上的高为， 故答案为：． 3．已知在中，，，，为边上的高．动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2)、8.4、9、9.5 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用、掌握等腰三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长，根据三角形的面积公式计算； （2）分点在上和在上两种情况，根据等腰三角形的判定定理计算． 【详解】（1） 解：中，，，， ， ， ， 解得，； （2） 解：当点在上，时，， 则， 当点在上，时， 在中，， 如图1，，为边上的高， ， 则， 当时，， 当时， 如图2，作于， 则，， 由勾股定理得，， 则， 故当、8.4、9、9.5时，为等腰三角形； 类型一、勾股数 1．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（   ） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，，2 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数的定义．勾股数必须满足都是正整数，同时还需满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此注意判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6，不是勾股数，不符合题意； B、，这两个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D、不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 2．在探索勾股定理的实践课上，同学们发现勾股定理本身就是一个关于的方程，满足这个方程的正整数解，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，…，分析上面勾股数组可以发现，，，第6个勾股数组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理逆定理，找出数据之间的关系是解题的关键．由勾股数组：，…，分析变化规律，即可获得答案． 【详解】解：由勾股数组：，…， ∴第4组勾股数中间的数为，即勾股数组为， 第5组勾股数中间的数为：，即勾股数组， 第6组勾股数中间的数为：，即勾股数组． 故答案为：． 3．若x，y，z均为正整数，x与y互素，且，则称数组为基本勾股数组．观察下列基本勾股数组： ； ； ； ； … (1)根据以上规律，写出时，基本勾股数组中y，z之值； (2)若为基本勾股数组，当时，求x与z的值； (3)请你猜想基本勾股数组中x，y，z的规律，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），，证明见解析 【分析】本题主要考查了新定义：基本勾股数组，乘法公式的运用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）观察所给数据，找出规律求解即可； （2）根据题意可知，因为和均为整数，所以将 64 因式分解，再逐一讨论即可； （3）猜想：猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），．然后代入验证是否符合即可得证． 【详解】（1）解：观察数据我们发现： 中，， 中，， 中，， 中，， 中，， ∴当时，； （2）解：∵为基本勾股数组， ∴，即， ∴， 已知，则， 设为正整数，且， 则， 解得， 又 ∵，且为正整数，与互素， 对 64 进行因数分解． ①当时，（舍去， 2 不是正整数）； ②当时，， ∵和 15 互素， ∴符合题意； ③当时，， ∵和 8 有公约数，不互素， ∴，不符合题意； ④当时，（舍去，不是正整数）； 综上，； （3）解：猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），． 证明：∵， ∴互素， ， ， 则 ， ， ． 类型二、已知坐标求距离 1．在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，求得点到坐标原点的距离为，即可求解． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 2．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上且，则点的坐标为 ． 【答案】， 【分析】此题考查了勾股定理，坐标系中两点之间的距离， 设，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】∵点在轴上 ∴设 ∵点的坐标为， ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为，． 故答案为：，． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．请在图中画出关于x轴对称的，并求边的对应边的长． 【答案】图见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称的性质，勾股定理，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此得到A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接，再利用两点距离计算公式求出的长即可求出的长． 【详解】解：如图所示，即为所求； ∵，， ∴； ∵与关于x轴对称， ∴． 类型三、用勾股定理求长度 1．如图，在中，，为的平分线，于点，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，由勾股定理求出的长，再证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，，为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，三角形纸片，，将纸片沿过点C的直线折叠，使点A落在边上点D处，再折叠纸片使点B与点D重合，折痕交于点E．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质可证得是直角三角形，得到，设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴． 故答案为：． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，画出关于x轴对称的； (2)在（1）的条件下，点的坐标为______，的长为______． 【答案】(1)图见解析 (2)，5 【分析】本题考查坐标与轴对称，勾股定理： （1）根据轴对称的性质，画出和即可； （2）根据点的位置，确定点的坐标即可，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解： （2）由图可知：； 由勾股定理，得：； 故答案为：，5． 类型四、用勾股定理求角度 1．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了网格与勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握网格的特点，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证，得到，则有，由网格的性质可得是等腰直角三角形，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵网格是正方形网格， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：A ． 2．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了勾股定理，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数． 【详解】解：连接， 根据勾股定理可以得到：，， ∵，即， ∴是等腰直角三角形． ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点．若，，，求的度数和的长度． 【答案】的度数为和的长度为 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：∵是的垂直平分线，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为和的长度为． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、角的直角三角形的性质、勾股定理及三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理求出是解题的关键． 类型一、赵爽弦图 1．上图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理得应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面积为7得出，结合，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：D． 2．如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为2．若用正数、表示直角三角形的两条直角边，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式变形求值．由勾股定理与正方形的性质得出，根据完全平方公式变形可得． 【详解】解：大正方形的边长为5，小正方形的边长为2， ，， ，即， ， ， 故答案为：． 3．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，为中国古代以形证数，形数统一，代数和几何紧密结合，互不可分的独特风格树立了一个典范．如图，某同学制作了一个“赵爽弦图”的纸板，设． (1)请你利用图证明：； (2)若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，能用不同的方法表示出正方形的面积及巧用整体思想是解题的关键． （1）用两种不同的方法去求正方形的面积即可． （2）利用（1）中发现的结论即可解决问题． 【详解】（1）证明：中间小正方形的边长为， ． 四个直角三角形的面积和为：， ． ， ． （2）解：由（1）可知， ， ． ， ． ． 类型二、用勾股定理求周长 1．如图，在中，，于点D，若，，则的周长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 根据勾股定理，求得，进而求得的长度，进而求解即可； 【详解】解：，，， ， ，， ， ， 的周长为； 故选：A 2．如图，在中，，，，，，则的周长是 ．    【答案】12 【分析】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，根据勾股定理求出，根据角平分线得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长， 故答案为：12． 3．如图， 已知等腰的底边，为腰上的高，且，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，根据勾股定理得出，设，则，再勾股勾股定理求出即可，解题的关键是熟练掌握勾股定理及逆定理的应用和等腰三角形的性质． 【详解】解：∵为腰上的高， ∴， ∵，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴的周长为． 类型三、用勾股定理求面积 1．如图，在中，，分别以为边在外侧作正方形和正方形，再以为斜边在外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据和勾股定理求出，，再求出，即可得到答案． 【详解】解：∵以为斜边在外侧作，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：C 2．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的而积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了以勾股定理为背景的计算，掌握正方形面积的计算，勾股定理的计算是解题的关键． 根据题意可得，由此即可求解． 【详解】解：所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， ∴，， ∴， 故答案为：6 ． 3．在的方格中，已知三点都在格点上． (1)如图，请仅用一把无刻度的直尺按要求作图（请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图，不要求写作法）．画出的平分线． (2)若每个小方格的边长为1，在的角平分线上有一点，已知，试求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征与勾股定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质作图； （2）根据网格与勾股定理得到，，由三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∴即为所求； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 类型四、勾股定理的证明方法 1．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了学生对定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 2．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是 ．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2） 【答案】(图1) ；(图2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明、完全平方公式等知识点，熟练掌握等面积法是解题的关键． 直接利用等面积法列出等式并整理即可解答． 【详解】解：如图1，根据矩形的面积公式得； 故答案为：(图1)； 如图2，，整理得： 故答案为：(图2)． 3．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． (2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． (3)在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 【答案】(1)；； (2)；； (3)25 【分析】本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键． （1）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （2）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （3）把，代入到（2）中的关系式中计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 故答案为：；；． （2）解：∵从整体看，小正方形的边长为c， ∴． 从组成看，小正方形面积由大正方形面积减去四个直角三角形面积， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴小正方形的面积为25． 类型一、旗杆高度问题 1．如图，是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至米．如图，是秋千摆动过程示意图，其中为秋千的绳索固定点，为部分地面平台，绳索，，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为（   ） A．米 B． 米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由，则，设米，则米，然后由勾股定理即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴， 解得：， 故选：． 2．如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ． 【答案】2.6米 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．过点作于点，可得，，，再根据勾股定理求解即可 【详解】解：如图，过点作于点， 则米，米， 米， （米． 所以此时牵狗绳的长为2.6米． 故答案为：2.6米． 3．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【答案】(1)米 (2)小明需要后退约米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； （2）过作于点，则四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为． （2）解：过作于点，则， ∴四边形为长方形， ∴，， ， ，， 在中，， 由勾股定理得：， ， 答：小明需后退． 类型二、大树折断问题 1．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，书中有“折竹抵地”问题，今有竹高一丈，末折抵地，去本六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断、竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决古代问题，涉及勾股定理，读懂题意，熟记勾股定理是解决问题的关键．设折断处离地而高尺，由勾股定理列方程即可得到答案． 【详解】解：如图，设折断处离地而高尺，则尺，尺， 在中，， ， 故选：． 2．一根木杆在离地米处折断，木杆的顶端落在离木杆底端4米处，则木杆折断之前的高度为 米． 【答案】8 【分析】此题考查了勾股定理应用．由题意，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】解：∵一竖直的木杆在离地面3米处折断，顶端落在地面离木杆底端4米处， ∴折断的部分长为（米）， ∴折断前高度为（米）． 故答案为：8． 3．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面处折断 (2)在距离旗杆底部米处有被砸伤的风险 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键． （1）设长为，则长，再利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意，知． 因为， 设长为，则长， 则， 解得． 故旗杆距地面处折断； （2）解：如图： 因为点P距地面， 所以， 所以， 则距离旗杆底部周围的范围内有被砸伤的风险， 所以在距离旗杆底部处有被砸伤的风险． 类型三、勾股定理证平方关系 1．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．下列结论：其中正确的有（    ） ①；②；③；④        A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由和都是等腰直角三角形，可证，根据得证.①正确；由全等得，，，于是，可证，从而．故②正确；中，，于是；④正确；由的顶点A在的斜边上，得，从而，故③错误． 【详解】解∵和都是等腰直角三角形， ∴, ，. ∴. ∴.①正确； ∴，，． ∴； ∵， ∴． ∵， ∴．故②正确； 中， 而 ∴；④正确； ∵的顶点A在的斜边上， ∴． 而 ∴，故③错误． 故选：C 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短；由全等三角形得到线段相等，角相等是解题的关键． 2．如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 ． 【答案】 【分析】、分别是两个直角三角形的斜边。 在中，， 在中，， 进而求解． 【详解】在中和中，，， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 3．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 1．斜边，，则这个直角三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，设，，根据勾股定理求出，进而求出，，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设，， 由勾股定理得：，即， 解得：（负值已舍去）， ，， 个直角三角形的面积为， 故选：A． 2．如图，为了测量池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点C，使于点A，测得，的长度分别为，，则间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：C． 3．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 4．在中，斜边，则的值为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在中，根据勾股定理可得，进而可求出的值． 【详解】解：在中，根据勾股定理可得： ， ， 故答案为：． 5．如图，在中，以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点D，再分别以点B，D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点E．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用以及垂直平分线的作图与性质，利用垂直平分线的性质得出, ，并根据勾股定理即可求的值． 【详解】解：由作图可知, ， 在中，根据勾股定理，， ， ． 故答案为：． 6．如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点F，交于点E，分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、作图—作角平分线，由勾股定理可得，作于，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 如图，作于， ， 由作图可得：平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，如图，树顶落在离树干底部处，求这棵树在折断前（不包括树根）的高度？ 【答案】这棵树在折断前（不包括树根）的高度 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得，， 在中，根据勾股定理得：． 所以大树的高度是． 答：这棵树在折断前（不包括树根）的高度． 8．如图，三个顶点分别为A，B，C． (1)作出关于y轴对称的； (2)在第一象限的格点上找一点D，连接，使是以为腰的等腰三角形，此时点D的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，勾股定理，等腰三角形等知识， （1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的对称点，依次连接即可； （2）显然只能是时，才满足条件，根据的长度即可确定点D的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：，在第一象限内，， 此时点D的坐标为或； 故答案为：或． 9．如图，在中，，是的平分线，．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．先求解证明，根据等腰三角形判定得出，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理求出，最后得出答案即可． 【详解】解：在中，， ， ∵是的平分线， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得，， ∴． 10．如图，在中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为秒． (1)当 秒时，点运动到的中点． (2)①当点在上时，的长为 ；（用含的代数式表示） ②若点在的角平分线上，求的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为 【分析】（1）运用勾股定理算出，结合点P的运动方向以及速度，即可作答． （2）①结合点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，且，则当点在上时，的长为，即可作答．②过点作于点，证明，最后运算勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动．且点运动到的中点， ∴（秒）； 故答案为：． （2）解：①∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，且， ∴当点在上时，的长为， 故答案为：； ②点在的角平分线上时， 过点作于点，如图所示： 平分， ， 又， ∴， ，， 由①可知， ， ， 在中，， 即：， 解得：， 点在的角平分线上时，的值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，列代数式，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$