8.2 整式乘法 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

8.2 整式乘法 一、单项式与单项式相乘 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。单项式乘法法则的实质是乘法交换律、乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用。 具体步骤包括： 1. 确定积的系数，积的系数等于各单项式系数的积。 2. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 3. 只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里。 二、单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘，用单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。单项式与多项式相乘的实质上是利用乘法分配律将其转化为单项式与单项式相乘。单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。 三、多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。多项式与多项式相乘法则的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式相乘的和的形式。多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积。 巩固课内例1:计算——单项式乘单项式 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式乘以单项式的运算，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 巩固课内例2:单项式与单项式的应用——科学记数法 1．已知一台计算机的运算速度为次/秒，这台计算机秒运算的次数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法，单项式的乘法以及同底数幂的乘法．根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【详解】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故选：D． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，科学记数法，解决本题的关键是准确进行单项式乘单项式运算．根据单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【详解】 解： 故答案为：． 3．地球表面平均上的空气质量约为，地球的表面积大约是，地球的质量约为． (1)地球表面全部空气的质量约为多少？ (2)地球质量大约是其表面全部空气质量的多少倍？（结果用科学记数法表示） 【答案】(1) (2)倍 【分析】本题考查的是科学记数法的应用，整式的乘法和除法运算： （1）利用科学记数法及整式的乘法计算即可； （2）根据整式除法法法则计算即可． 【详解】（1）解：地球表面全部空气的质量约为：； （2）解：， 答：地球质量大约是其表面全部空气质量的倍． 巩固课内例3:计算——单项式乘多项式 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：B． 2．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】先计算积的乘方及同底数幂的乘法，然后对括号内的部分合并同类项，得出结果后再计算同底数幂的乘法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，单项式乘多项式等知识点，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，积的乘方，熟练掌握和运用单项式乘以单项式法则是解决本题的关键． （1）根据单项式乘以多项式法则进行运算，即可求解； （2）根据单项式乘以多项式法则进行运算，即可求解； （3）先根据积的乘方去括号，然后单项式乘以多项式法则进行运算，即可求解； （4）根据单项式乘以多项式法则进行运算，即可求解 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 巩固课内例4:计算——多项式乘多项式(基础) 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘以多项式运算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式得运算法则是解题关键． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，按多项式乘以多项式展开，再进行加减运算，即可求解；掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键．先运用多项式乘多项式、单项式乘多项式计算，然后再合并同类项即可． 【详解】解：， ， ． 巩固课内例5:计算——多项式乘多项式(复杂) 1．若是多项式的一个因式，则b的值是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程思想，整式的相关运算，整体思想，能够熟练运用整体思想是解决本题的关键．设，则当时，则有，将时x的值代入中可求得b的值． 【详解】解：设 当时，则有， 将代入中得，， 解得：， 故选：B． 2．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的运算，根据整式的运算法则即可求出答案，熟练掌握整式的运算法是解决此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查整式的计算． （1）利用单项式乘单项式法则计算； （2）利用多项式乘单项式法则计算； （3）利用多项式乘多项式法则计算； （4）利用多项式除以单项式法则计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 类型一、单项式与单项式相乘 1．若单项式和的积为，则的值为（   ） A．2 B．30 C． D．15 【答案】D 【分析】本题考查单项式与单项式相乘问题，先按单项式乘以单项式的法则计算，再比较结果利用相同字母的指数相等构造等式，求出再求的值即可． 【详解】单项式和的积为， ， ， ， ． 故选择：D． 2．长方形的长为，宽为，则它的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘单项式的应用，根据面积等于长乘宽列式计算即可． 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴它的面积为：， 故答案为：． 3．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先算乘方，再算乘法； （2）利用单项式乘多项式法则计算即可； （3）先利用多项式乘多项式法则计算，然后合并同类项； （4）先算乘方，再算乘法，最后算除法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 类型二、单项式与多项式相乘 1．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方和单项式乘以多项式，熟记法则是解题的关键． 根据幂的运算法则和单项式乘以多项式的法则逐项判断． 【详解】解：A，，正确； B，，故该选项错误； C，，故该选项错误； D，，故该选项错误； 故选：A． 2．若，则 ． 【答案】2026 【分析】本题考查代数式求值，由得到、，将恒等变形，将已知等式整体代入即可得到答案，熟练掌握代数式求值方法是解决问题的关键． 【详解】解：由得、， ∴ ， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘多项式，积的乘方，多项式乘多项式，同底数幂相除，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算单项式乘多项式，同底数幂相除，再合并同类项，即可作答． （2）先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，合并同类项，即可作答． （3）先运算单项式乘多项式，多项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． （3）先多项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 类型三、多项式与多项式相乘 1．如果，那么的值是（    ） A． B．1 C．23 D． 【答案】B 【分析】本题考查了多形式与多形式的乘法，先根据多形式与多形式的乘法法则把左边化简，与右边比较求出m，n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：． ， ，， ． 故选：B． 2．整式与相乘，所得结果的二次项系数为a，一次项系数为b，则的值为 ． 【答案】48 【分析】本题主要了多项式乘以多项式，多项式的定义，代数式求值，先根据多项式乘以多项式得出结果，再根据多项式的定义求出a，b的值，然后代入求值即可． 【详解】解： ， ∵所得结果的二次项系数为a，一次项系数为b， ∴，， ∴， 故答案为：48． 3．红红学习完《多项式乘多项式》的知识后，打算练习习题巩固知识，请你帮红红解决下列问题： (1)如果，求和的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式， （1）先根据多项式乘多项式法则计算，然后根据求出，即可； （2）先根据多项式乘多项式法则计算，然后根据，求出、，然后把所求整式利用多项式乘多项式法则展开，再把和的值代入进行计算即可； 解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则． 【详解】（1）解：∵ ， 又∵， ∴，； （2）∵ ， 又∵， ∴，， ∴ ． 类型四、根据图形列出等式 1．通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式．例如，由图1可得等式．小亮从图1中选择一部分图案涂上阴影得到图2，则利用图2中整个阴影部分的面积可以得到的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积；一方面阴影部分是一个长为，宽为的长方形，另一方面，阴暗部分是由一个边长为a的大正方形、两个边长为b的小正方形加三三个长为a、宽为b的相同长方形组成，分别计算出面积即可求解． 【详解】解：阴影部分是一个长为，宽为的长方形，其面积为； 阴暗部分也是由一个边长为a的大正方形、两个边长为b的小正方形加三三个长为a、宽为b的相同长方形组成，其面积为：， 根据面积相等得：； 故选：D． 2．在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：． 请你解答下面的问题：利用图1中的三种卡片若干张拼成图，可以解释等式： ； 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，利用两种方法，表示出大长方形的面积，即可得出结论． 【详解】解：大长方形的面积可表示为：，也可以表示为：， ∴； 故答案为：． 3．阅读下面的材料，并完成相应的任务． 在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观推导出完全平方公式：．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看，这个图形是一个边长为的正方形，其面积表示为；从局部看，这个图形由边长分别为a和b的两个正方形，和长、宽分别为b，a的两个长方形组成，面积可以表示为．因为这两个代数式表示的是同一个图形的面积，所以． 任务： (1)上述数学活动主要体现的数学思想是_________． A．分类讨论    B．特殊与一般    C．数形结合 (2)如图2，根据上述材料提供的方法，可以推导出等式_________． (3)式子也可以借助图形的面积进行解释，请模仿材料中的方法，画出能推导出该式子的示意图（在你所画的图形中添加必要的标记）． 【答案】(1)C (2) (3)见解析 【分析】本本题主要考查多项式乘以多项式的几何背景，渗透数形结合的思想，用代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． （1）本题是代数与几何的结合，故是数形结合思想； （2）根据图形面积的两种表示方式得出结论； （3）模仿材料中的方法，画出能推导出该式子的示意图即可． 【详解】（1）解：上述数学活动主要体现的数学思想是数形结合， 故选：C； （2）解：可以推导出：， 故答案为： （3）解：如图， 类型一、单项式与单项式相乘的应用 1．边长分别为和的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的运算的应用，关键是用代数式表示出阴影部分的面积． 根据已知图形得出阴影部分的面积是：，求出结果即可得解． 【详解】解：阴影部分的面积是： ， ， ， 故选：A． 2．一个三角形的底边长为，该底边上的高为，则这个三角形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的面积公式和单项式乘法的运用．根据三角形面积公式列式，再按照单项式乘法法则进行计算即可． 【详解】解：此三角形的面积为， 故答案为：． 3．如果表示，表示，求的值． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘单项式，根据新定义的法则，列出单项式，再根据单项式乘单项式法则，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 类型二、单项式与多项式相乘的应用 1．一个三角形的一边长是，这条边上的高是2x，则这个三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是整式的乘法在实际中的应用，解题关键是熟练掌握相关运算法则．根据三角形的面积等于底乘以底上高的一半，来解决此题． 【详解】解：根据题意，得， 即这个三角形的面积为． 故选：C． 2．一个长方体的长、宽、高如图所示，则它的体积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查单项式的乘法，理解题意，正确列出代数式是解答的关键．先根据长方体的体积等于长、宽、高的乘积列出代数式，再根据单项式乘多项式运算法则计算即可． 【详解】解：由题意，该长方体的体积为， 故答案为：． 3．今年以来，开封市高质量推进城区绿化“九大专项行动”，让城市幸福底色更加厚实，让群众尽享“绿色福利”．如图，该市有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形绿地，剩余四周全部修建成器材场地． (1)求长方形绿地的面积；（去括号化简） (2)器材场地比绿地的面积大多少平方米？ 【答案】(1)长方形绿地的面积为平方米 (2)器材场地比绿地的面积大平方米 【分析】本题考查了整数的乘除和加减的运用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式列式并计算即可； （2）根据器材场地减去绿地的面积列式，再进行计算即可． 【详解】（1）解：平方米， 答：长方形绿地的面积为平方米； （2）解：器材场地的面积： ， ， ， ， ， 平方米． 答：器材场地比绿地的面积大平方米． 类型三、多项式与多项式相乘的应用 1．一块矩形的田地被分割成了四个小矩形播种不同的农作物，它们的边长如图所示，则大矩形的面积表示错误的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的面积，整式的乘法运算，根据大矩形的面积的求法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】、利用“长宽”，即可求出大矩形的面积为：，原选项不符合题意； 、根据大正方形面积两个矩形面积之和：，原选项不符合题意； 、不能表示大矩形的面积，原选项符合题意； 、根据大正方形面积四个矩形面积之和：，原选项不符合题意； 故选：． 2．长方形的长是，它的周长是，面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，整式加减的应用，解题的关键是根据周长和一边长求出另外一条边长，再求出长方形的面积即可． 【详解】解：∵长方形的长为，周长是， ∴长方形的宽为：， ∴它的面积是：． 故答案为：． 3．小马虎同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)这个多项式A是多少？ (2)正确的计算结果是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘法的计算，熟练掌握多项式的运算法则，正确计算是解本题的关键． （1）根据多项式的减法计算法则得出代数式A的值； （2）根据多项式的乘法计算法则得出正确的计算结果即可． 【详解】（1）解：根据题意， ∴； （2）解： ． 类型四、等式恒成立 1．若 ，则，的值分别为(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，先根据多项式乘以多项式的法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出、的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，． 故选：A． 2．已知，则的值是 ． 【答案】16 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出a与b的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，，， ，， ， 故答案为：16． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，解一元一次方程，先利用多项式乘以多项式展开，然后合并同类项消掉，最后减一元一次方程即可． 【详解】解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 类型五、不含某项 1．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．5 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，合并同类项，根据题意列出相应的式子，利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据不含一次项，则一次项的系数为0，即可求的值． 【详解】解：由题意得：， ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， 解得：． 故选：A． 2．若中不含x的二次项，则a的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式的法则． 根据多项式乘以多项式的法则计算，再根据多项式中不含的二次项，即含x的二次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ∵多项式不含x的二次项， ∴二次项系数为，即， 解得． 故答案为：9． 3．已知的积中不含有x项和项，求代数式的值． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果不含x和项确定出m与n的值，原式化简后代入计算即可求出值． 【详解】解：． 因为的积中不含有x项和项，所以， 解得， 所以， 所以原式． 类型一、杨辉三角 1．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）． 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的规律，解题的关键是：熟练掌握杨辉三角的规律． 根据题意得到规律求解即可得到答案． 【详解】根据杨辉三角可知，， ∴展开式中含项是展开式中第二项， ∴展开式中含项的系数是：， 故选：A． 2．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律， 利用上述规律计算： ． 【答案】 【分析】根据前面的变化规律，计算后解答即可． 本题是阅读理解题，考查了完全平方公式的拓展—规律型问题，根据已知展开式找出一般性的数字规律是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 3．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图是这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． (1)根据上图的规律，写出的展开式． (2)求的展开式共有多少个项． (3)在演算纸上计算一下图中每个展开式的系数之和，结合计算结果所呈现的规律，直接写出展开式中各项系数的和是多少． 【答案】(1)； (2)有个项； (3)． 【分析】本题考查多项式乘法中的规律探究： （1）根据图中规律，写出的展开式即可； （2）根据前三个展开式中的项数，得出规律，进行作答即可； （3）求出前几个的系数和，找到规律，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ； （2）解：∵，有项； ，有项； ，有项； ∴的展开式中有个项； （3）∵，展开式的系数和为：； ，展开式的系数和为：； ，展开式的系数和为：； ∴，展开式的系数和为：． 类型二、规律问题 1．观察下列两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（   ） A． B． C． D．3，4 【答案】A 【分析】本题属于规律探索题，观察已知条件得出与的值是解题的关键．观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到，，即可求解． 【详解】解：根据题意：，， ，， ，或，， a，b的值可能分别是，． 故选：A． 2．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法；本题直接利用乘法展开求各系数计算复杂，利用当和时，可以直接得到系数之间关系，再将看作一个整体求解即可． 【详解】解：当时；①， 当时；②， 由①-②得， ∴， 故答案为． 3．（1）填空： ； ； ． （2）猜想： （n为正整数）． （3）求的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘以多项式规律题，找到规律进行计算是解题的关键． （1）格努多项式与多项式的乘法法则计算即可； （2）根据（1）的计算结果总结即可． （3）原式乘以，根据等式的规律即可求解． 【详解】解：（1）； ； ． 故答案为：；；； （2）由（1）可知，． 故答案为：； （3） ． 类型三、定义问题 1．定义三角表示，方框表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据题意结合单项式乘以多项式的运算法则计算即可得解，理解题中的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故选：B． 2．若定义知识树表示运算，则知识树表示的运算结果为 ． 【答案】m 【分析】本题考查了新定义运算，单项式除以单项式及积的乘方，根据新定义得，即可求解；理解新定义是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，表示，， 故答案为：m． 3．定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． (1)设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． (2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 【答案】(1)，；； (2)． 【分析】（1）根据规定的新运算可知，又因为方程为一元一次方程，可得为一元一次方程，根据一元一次方程的定义可知、，从而求出的值，把的值代入方程中可得方程为，解方程即可； 根据可以求出，根据中不含一次项可以求出的值，把、的值代入计算求值即可； （2）根据“嘉幸数”的定义列方程求出、的值，根据整式的运算法则把代数式化简，再把、的值代入化简后的代数式计算即可． 【详解】（1）解：， 又方程为一元一次方程， 为一元一次方程， ， 解得：， 方程为， 解得：， ，； 解：的值满足， ， ， ， 解得：， ，， ， 整理得：， 不含一次项， ， 解得：， ； （2）解：数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 解得：， 数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 解得：， ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了新运算、一元一次方程的定义、同底数幂的乘法、整式的化简求值、有理数的混合运算．解决本题的关键是理解题目中规定的新运算，根据规定的新运算，把指定的运算转化为一般的运算；理解“嘉幸数”的意义，根据“嘉幸数”列方程求出字母的值． 类型四、图形问题 1．把三张大小相同的矩形卡片A，B，C叠放在一个底面为矩形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的面积为；若按图2摆放时，阴影部分的面积为，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，可以把两块阴影部分合并后计算面积，然后比较和的大小．此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则解本题的关键． 【详解】解：设底面的矩形的长为，宽为，矩形卡片，，的长为，宽为， 由图1，得， 由图2，得， 则． 故选：B． 2．已知长方形中，，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①②两种方式放置（图①②中两张正方形纸片均有部分重叠），图①长方形被这两张正方形纸片覆盖的部分的面积为，图②长方形被这两张正方形纸片覆盖的部分的面积为，当时， ； 【答案】7 【分析】利用面积的和差关系，分别表示出和，再表示出，结合，，即可求解． 【详解】∵四边形是长方形， ∴， ∵ = =， = = =， ∴ =， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：7． 3．如图1，某商家准备装修商铺，购买了足够多的（边长为的小正方形），（边长为的大正方形），（长为，宽为的长方形）三种类型的瓷砖来铺设操作间、储藏间和大厅． (1)操作间刚好按如图2的方式铺满，请求出操作间的面积（用含的代数式表示）； (2)请通过计算说明：铺满长为，宽为的储藏间和长为，宽为的大厅共需要三类瓷砖各多少块？（瓷砖均用整块，无空隙无重叠）； (3)若一块类瓷砖的周长为32，一块类瓷砖和一块类瓷砖的面积之差为64，求操作间、储藏间和大厅的面积之和． 【答案】(1) (2)一共需要类瓷砖11块，类瓷砖11块，类瓷砖25块 (3)3920 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，多项式乘多项式几何图形，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． （1）观察图形，找出图2的长与宽，利用长方形面积公式，列出算式，利用多项式乘多项式法则进行计算即可； （2）根据长方形的面积公式，列出算式，利用多项式乘多项式法则求出储藏间和大厅的面积和，根据计算结果求出答案即可； （3）根据已知条件列出关于，的方程组，解方程组求出，，然后求出操作间、储藏间和大厅的面积之和，并化简，最后把，的值代入化简后的式子，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：操作间的长为，宽为， 操作间的面积 ； （2）解：由题意得：储藏间和大厅的面积和为： ， 共需要，各11块，类瓷砖25块； （3）解：由题意可知：，， ①，， ②， ①②得：， 把代入①得： 操作间、储藏间和大厅的面积之和为： ． 1．如果，则的值为（　　） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，先计算，再比较即可得到结论． 【详解】∵， ∴． 故选D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单项式除以单项式，积的乘方解答即可． 本题考查了单项式除以单项式，积的乘方，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：B． 3．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．2张 B．3张 C．4张 D．5张 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用、单项式除以单项式的应用，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键．根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的类卡片的总面积，由此即可得． 【详解】解：由题意得：拼成的长方形的面积为： ， ∵1张类卡片的面积为， ∴需要类卡片的张数为（张）， 故选：D． 4．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，即可求解；掌握多项式除以单项式法则是解题的关键． 【详解】解：原式； 故答案为：． 5．已知式子的计算结果中不含x的一次项，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中无关问题， 先根据整式乘法法则计算，再整理得出x的一次项，然后根据一次项系数等于0，求出解即可． 【详解】解：. ∵式子的计算结果中不含x的一次项， ∴， 解得． 故答案为：． 6．张某有一块长方形农田，长，宽．后来张某开垦荒田，使该农田的长、宽都增加了，那么面积增加了 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用多项式乘以多项式表示面积，同底数幂的乘法，以及整式加减的应用，先分别计算出原来与后来的长方形农田面积，然后相减即可求解． 【详解】解：原来的长方形农田面积为：() 后来的长方形农田面积为：()， ∴面积增加了：() 故答案为： 7．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的相关运算、整式的乘法，解题的关键是掌握幂的运算、整式乘法的运算法则． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方运算法则即可求解； （2）根据多项式乘多项式的运算法则即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 8．先化简，再求值：，其中，． 【答案】12 【分析】此题考查了整式的混合运算、化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】 当，时， 原式． 9．（1）一家住房的结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是元/，那么购买所需地砖至少需要多少元？ （2）已知房屋的高度为，现需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果某种壁纸的价格是元/，那么购买所需壁纸至少需要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积） 【答案】（1）至少需要平方米的地砖；购买所需地砖至少需要元；（2）至少需要平方米的壁纸，至少需要元． 【分析】此题考查了整式运算的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每地砖的价格是a元钱，求出需要的钱数即可； （2）求出侧面积即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是b元/平方米，求出需要的钱数即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， 则把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要平方米的地砖；购买所需地砖至少需要元； （2）根据题意得：， 则在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要平方米的壁纸，至少需要元． 10．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别，（为正整数）． (1)写出与的大小关系：____．（填“”“”或“”）； (2)若，求满足这个不等式的的最大值； (3)设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为，的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图所示．问：是否存在，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不存在． 【分析】把和分别用含的代数式表示出来，再求它们的差得到根据是正整数可得，所以可知； 根据、可得：，解不等式求出从而得到的最大值为； （3）根据得到关于的方程，求解得出，因为正整数，所以不存在这样的值． 【详解】（1）解：， ， ， 是正整数， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ， 解得：， 的最大值为； （3）解：不存在， 理由如下： 如下图所示， ， ， ， ， 整理得：， 解得： 为正整数， 不存在使得． 【点睛】本题主要考查了列代数式、解一元一次方程、整式的乘法、作差法比较两数的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.2 整式乘法 一、单项式与单项式相乘 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。单项式乘法法则的实质是乘法交换律、乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用。 具体步骤包括： 1. 确定积的系数，积的系数等于各单项式系数的积。 2. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 3. 只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里。 二、单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘，用单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。单项式与多项式相乘的实质上是利用乘法分配律将其转化为单项式与单项式相乘。单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。 三、多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。多项式与多项式相乘法则的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式相乘的和的形式。多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积。 巩固课内例1:计算——单项式乘单项式 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算：． 巩固课内例2:单项式与单项式的应用——科学记数法 1．已知一台计算机的运算速度为次/秒，这台计算机秒运算的次数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．地球表面平均上的空气质量约为，地球的表面积大约是，地球的质量约为． (1)地球表面全部空气的质量约为多少？ (2)地球质量大约是其表面全部空气质量的多少倍？（结果用科学记数法表示） 巩固课内例3:计算——单项式乘多项式 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例4:计算——多项式乘多项式(基础) 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算：； 巩固课内例5:计算——多项式乘多项式(复杂) 1．若是多项式的一个因式，则b的值是（    ） A．8 B． C． D． 2．计算的结果为 ． 3．计算题： (1) (2) (3) (4) 类型一、单项式与单项式相乘 1．若单项式和的积为，则的值为（   ） A．2 B．30 C． D．15 2．长方形的长为，宽为，则它的面积为 ． 3．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 类型二、单项式与多项式相乘 1．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 2．若，则 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型三、多项式与多项式相乘 1．如果，那么的值是（    ） A． B．1 C．23 D． 2．整式与相乘，所得结果的二次项系数为a，一次项系数为b，则的值为 ． 3．红红学习完《多项式乘多项式》的知识后，打算练习习题巩固知识，请你帮红红解决下列问题： (1)如果，求和的值； (2)如果，求的值． 类型四、根据图形列出等式 1．通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式．例如，由图1可得等式．小亮从图1中选择一部分图案涂上阴影得到图2，则利用图2中整个阴影部分的面积可以得到的等式为（    ） A． B． C． D． 2．在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：． 请你解答下面的问题：利用图1中的三种卡片若干张拼成图，可以解释等式： ；3．阅读下面的材料，并完成相应的任务． 在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观推导出完全平方公式：．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看，这个图形是一个边长为的正方形，其面积表示为；从局部看，这个图形由边长分别为a和b的两个正方形，和长、宽分别为b，a的两个长方形组成，面积可以表示为．因为这两个代数式表示的是同一个图形的面积，所以． 任务： (1)上述数学活动主要体现的数学思想是_________． A．分类讨论    B．特殊与一般    C．数形结合 (2)如图2，根据上述材料提供的方法，可以推导出等式_________． (3)式子也可以借助图形的面积进行解释，请模仿材料中的方法，画出能推导出该式子的示意图（在你所画的图形中添加必要的标记）． 类型一、单项式与单项式相乘的应用 1．边长分别为和的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 2．一个三角形的底边长为，该底边上的高为，则这个三角形的面积为 ． 3．如果表示，表示，求的值． 类型二、单项式与多项式相乘的应用 1．一个三角形的一边长是，这条边上的高是2x，则这个三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．一个长方体的长、宽、高如图所示，则它的体积为 ． 3．今年以来，开封市高质量推进城区绿化“九大专项行动”，让城市幸福底色更加厚实，让群众尽享“绿色福利”．如图，该市有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形绿地，剩余四周全部修建成器材场地． (1)求长方形绿地的面积；（去括号化简） (2)器材场地比绿地的面积大多少平方米？ 类型三、多项式与多项式相乘的应用 1．一块矩形的田地被分割成了四个小矩形播种不同的农作物，它们的边长如图所示，则大矩形的面积表示错误的是（        ） A． B． C． D． 2．长方形的长是，它的周长是，面积是 ． 3．小马虎同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)这个多项式A是多少？ (2)正确的计算结果是多少？ 类型四、等式恒成立 1．若 ，则，的值分别为(    ) A．， B．， C．， D．， 2．已知，则的值是 ． 3．解方程：． 类型五、不含某项 1．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．5 C．0 D． 2．若中不含x的二次项，则a的值为 ． 3．已知的积中不含有x项和项，求代数式的值． 类型一、杨辉三角 1．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）． 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 2．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律， 利用上述规律计算： ． 3．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图是这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． (1)根据上图的规律，写出的展开式． (2)求的展开式共有多少个项． (3)在演算纸上计算一下图中每个展开式的系数之和，结合计算结果所呈现的规律，直接写出展开式中各项系数的和是多少． 类型二、规律问题 1．观察下列两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（   ） A． B． C． D．3，4 2．已知，则 ． 3．（1）填空： ； ； ． （2）猜想： （n为正整数）． （3）求的值． 类型三、定义问题 1．定义三角表示，方框表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 2．若定义知识树表示运算，则知识树表示的运算结果为 ． 3．定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． (1)设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． (2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 类型四、图形问题 1．把三张大小相同的矩形卡片A，B，C叠放在一个底面为矩形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的面积为；若按图2摆放时，阴影部分的面积为，则（　　） A． B． C． D．无法确定 2．已知长方形中，，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①②两种方式放置（图①②中两张正方形纸片均有部分重叠），图①长方形被这两张正方形纸片覆盖的部分的面积为，图②长方形被这两张正方形纸片覆盖的部分的面积为，当时， ； 3．如图1，某商家准备装修商铺，购买了足够多的（边长为的小正方形），（边长为的大正方形），（长为，宽为的长方形）三种类型的瓷砖来铺设操作间、储藏间和大厅． (1)操作间刚好按如图2的方式铺满，请求出操作间的面积（用含的代数式表示）； (2)请通过计算说明：铺满长为，宽为的储藏间和长为，宽为的大厅共需要三类瓷砖各多少块？（瓷砖均用整块，无空隙无重叠）； (3)若一块类瓷砖的周长为32，一块类瓷砖和一块类瓷砖的面积之差为64，求操作间、储藏间和大厅的面积之和． 1．如果，则的值为（　　） A．6 B．8 C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．2张 B．3张 C．4张 D．5张 4．计算： ． 5．已知式子的计算结果中不含x的一次项，则a的值为 ． 6．张某有一块长方形农田，长，宽．后来张某开垦荒田，使该农田的长、宽都增加了，那么面积增加了 ． 7．计算： (1)； (2) 8．先化简，再求值：，其中，． 9．（1）一家住房的结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是元/，那么购买所需地砖至少需要多少元？ （2）已知房屋的高度为，现需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果某种壁纸的价格是元/，那么购买所需壁纸至少需要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积） 10．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别，（为正整数）． (1)写出与的大小关系：____．（填“”“”或“”）； (2)若，求满足这个不等式的的最大值； (3)设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为，的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图所示．问：是否存在，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$