8.1 幂的运算 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

8.1 幂的运算 一、同底数幂的乘法运算性质： 1.同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 注：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3） 逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 2.运用同底数幂的乘法的运算性质的条件 在同底数幂的运算中，经常用到两个变形 二、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 注：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2） 逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 三、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 注：（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 四、同底数幂的除法 1.同底数幂的除法法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 注：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 2.零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 注：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 3.负整数指数幂 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. （、为整数，）； （为整数，，） （、为整数，）. 注：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 4.科学记数法的一般形式 （1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数， （2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，. 用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法。 巩固课内例1:计算——同底数幂的乘法 1．当时，的值是（ ） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算，然后代入求值即可． 【详解】解：当时，， 故选：B． 2．计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂乘法，注意单个字母指数为的情况． 根据同底数幂的乘法运算法则，可看作，然后将指数相加． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的相关运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘底数不变指数相加计算即可． （2）根据同底数幂相乘底数不变指数相加计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 巩固课内例2:计算——幂的乘方 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n为正整数）． 【详解】解：． 故选：C． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．计算：（1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是，（2）题中的底数是，（3）题中的底数的指数是，乘方以后的指数应是． 【详解】解：（1）． （2）． （3）． 【点睛】本题考查幂的乘方法则，运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．熟练掌握幂的乘方法则是解题关键． 巩固课内例3:计算——幂的乘方与合并同类项、同底数幂乘法结合 1．计算的结果是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，先算乘方，再合并同类项，最后求出结果即可． 【详解】解： =； 故选：B ． 2．计算： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，正确理解幂的运算性质，分清指数之间的变化是关键．根据运算顺序分别计算即可得到答案． 【详解】解：， ． 故答案为：， 3．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可； （2）先根据幂的乘方法则运算，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例4:计算——积的乘方 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算，要区分不同运算法则并准确运用．先算积的乘方，再算幂的乘方即可． 【详解】解：． 故选A． 2．计算的结果等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算，要区分不同运算法则并准确运用．先算积的乘方，再算幂的乘方即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则、合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【详解】解： ． 巩固课内例5:体积问题 1．一个正方体的棱长为，用科学记数法表示它的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正方体的体积等于棱长的立方，据此进行运算，再把结果用科学记数法的形式表示即可． 【详解】解：正方体的体积为： （4×103）3 =43×（103）3 =64×109 =6.4×1010（mm3）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查积的乘方，科学记数法，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． 2．一个正方体的棱长为，则它的体积是 ．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，科学记数法，先根据正方体的体积公式计算，再将结果写成的形式即可，其中，n是整数． 【详解】解：正方体的体积是， 故答案为：． 3．土星可以近似的看做是球体，它的半径约为，试求土星的体积．（取） 【答案】土星的体积约为立方千米 【分析】本题考查了球的体积公式，积的乘方，有理数的乘法的应用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据球的体积公式计算即可． 【详解】解： 答：土星的体积约为立方千米． 巩固课内例6:计算——同底数幂的除法 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，进行求解即可． 【详解】解：； 故选B． 2．若，则“？” ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算即可． 【详解】解：， ∴“？”， 故答案为：2 ． 3．化简： 【答案】 【分析】本题考查了幂的相关运算，涉及了同底数幂的乘除法、幂的乘方，合并同类项法则，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】原式 巩固课内例7:计算——零、负指数幂 1．计算的值是（    ） A． B． C．2025 D．1 【答案】A 【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选A． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂法则和零指数幂法则进行解题即可，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂，绝对值，零指数幂是解题的关键． 分别计算负整数指数幂，绝对值，零指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 巩固课内例8:科学记数法 1．2024年9月，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知7纳米米，用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：用科学记数法可表示为， 故选：． 2．某天，洪江市安江镇的平均浓度为克/立方米，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．一个正方体集装箱的棱长为． (1)用科学记数法表示这个集装箱的体积是___________； (2)若有一个小立方块的棱长为，则把集装箱装满需要这样的小立方块多少个？（用科学记数法表示） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，同时考查整数指数幂的运算． （1）利用有理数的乘法运算结合科学记数法的表示方法得出答案； （2）利用整数指数幂的运算法则求出答案即可． 【详解】（1）解：一个正方体集装箱的棱长为， 这个集装箱的体积是：， 答：这个集装箱的体积是； （2）解：一个小立方块的棱长为， （个）， 即：需要个这样的小立方块才能将集装箱装满． 类型一、同底数幂相乘 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与合并同类项，熟悉合并同类项法则是解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂的运算法则逐一排除即可． 【详解】解：、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 2．已知，则的值为 ． 【答案】27 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法， 根据可得出，再根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：27． 3．已知，求的值； 【答案】． 【分析】本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法与除法运算，先根据可得，再求解，再计算种的幂的乘方，同底数幂的乘法，最后计算同底数幂的除法，最后代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 类型二、幂的乘方 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘除法，幂的乘方和合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项符合题意； C．，故该选项不符合题意； D．，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．计算的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方运算；根据同底数幂的乘法与幂的乘方公式即可求解； 【详解】解： 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算，合并同类项，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则，合并同类项是解题的关键．先根据幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则进行计算，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ． 类型三、积的乘方 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘除法，合并同类项．根据同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项法则求解即可． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 2．计算： ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了同底数幂的相乘运算，幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的相乘运算法则，幂的乘方运算法则分别判断得出答案． 【详解】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得； 同理． 再将它们相乘：． 故答案是：． 3．（1）已知，求的值； （2）已知，求x的值． 【答案】（1）144；（2） 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方的逆运算： （1）先根据积的乘方计算法则把所求式子变形为，再根据幂的乘方的逆运算法则把所求式子变形为，据此代值计算即可； （2）根据积的乘方计算法则把已知条件式变形为，则可得到关于x的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴ ． （2）∵， ∴， ∴ ∴， 解得． 类型四、同底数幂相除 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、 ，原计算错误； B、 ，原计算错误； C、 ，原计算错误； D、，原计算正确； 故选：D． 2．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘除法的知识；解题的关键是熟练掌握幂的乘方、同底数幂乘除法的性质，从而完成求解． 【详解】 当时，原式． 类型五、科学记数法的应用 1．如果，，，那么、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据零指数幂、负整数指数幂化简，然后再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴． 故选B． 2．计算： ． 【答案】4 【分析】本题主要考查负指数幂，零指数幂，有理数的混合运算等知识点，根据相关计算一步一步得到结果即可； 【详解】解： ， ， ； 故答案为： 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，以及零指数幂和负整数指数幂的意义，先算乘方、开方、零指数幂和负整数指数幂，再算加减． 【详解】解：原式 ． 类型一、同底数幂乘法的逆用 1．大学生航模比赛吸引了各所高校的航模团队参加，比赛中各高校团队设计的飞机模型在创新性等方面得到了各界的认可．某高校团队在其设计的自动驾驶组件中，有一个直径为的电子元件．将数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示方法进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为，故D正确． 故选：D． 2．科学研究发现，一个水分子的质量大约是，水中大约有 个水分子，已知一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成的，一个氧原子的质量约为，一个氢原子的质量约为 千克． 【答案】 【分析】本题考查了本题考查了有理数的混合运算与科学记数法表示数，根据题意列出算式，再把结果用科学记数法表示即可，正确列出算式是解题的关键． 有理数四则混合运算的实际应用、用科学记数法表示绝对值大于的数、用科学记数法表示绝对值小于的数． 【详解】解： ， ∴水中大约有个水分子， 一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成的，一个氧原子的质量约为， 一个氢原子的质量约为． 故答案为：；． 3．一个正方体集装箱的棱长为0.4m， (1)这个集装箱的表面积是多少？体积多少？（用科学记数法表示） (2)若有一个小立方体的棱长为0.02m，则需要多少个这样的小立方块才能将集装箱装满？（用科学记数法表示） 【答案】(1)表面积为9.6m2；体积为6.4m3 (2) 【分析】（1）根据正方体的表面积公式和体积公式计算即可； （2）计算小正方体的体积，用大正方形体积除以小正方体体积计算数量即可． 【详解】（1）解：表面积为0.4×0.4×6＝9.6（m2）， 体积为0.4×0.4×0.4＝6.4（m3）， 答：这个集装箱的表面积是9.6m2，体积6.4m3； （2）6.4÷（0.02×0.02×0.02）＝8（个）， 答：需要8个这样的小立方块才能将集装箱装满． 【点睛】本题主要考查正方体的体积和表面积、科学记数法、同底数幂的除法等知识，熟练掌握正方体体积公式，正方体表面积公式，科学记数法的知识是解题的关键． 类型二、幂的乘方的逆用 1．若，，则（   ） A．15 B．30 C．45 D．75 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用、幂的乘方的逆用，根据运算法则将式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 2．若，，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，式子变形得出再代入即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：16． 3．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解方程，幂的相关运算： （1）逆用同底数幂的乘法，将等号左边式子变形为，再提取公因式后得，即可求解； （2）逆用同底数幂的乘法，将等号左边式子变形为，合并同类项后得，即可求解． 【详解】（1）解：原方程可化为， 即， ∴， 即， 解得：； （2）解：原方程可化为， 即， ∴， 即， ∴ ， ∴ ． 类型三、积的乘方的逆用 1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，正确把a、b、c的底数全部换成3是解题的关键．把a、b、c的底数全部换成3即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， 故选：A． 2．若为正整数．且，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查幂的乘方及其逆用，将变形为，再将代入求值即可 【详解】解：， 故答案为：0． 3．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法与逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据幂的乘方的逆用可得，，再根据同底数幂的乘法的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 类型四、同底数幂除法的逆用 1．的计算结果是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】逆用幂的乘法，积的乘方计算即可． 本题考查了幂的乘法，积的乘方公式的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：D． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，将式子变形为，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)计算的结果． 【答案】(1)3 (2)15 (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，逆用这些法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则求得，结合（1）所求即可解答； （3）逆用积的乘方法则解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴ ． 类型五、幂的混合运算 1．已知，则（   ） A．52 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂除法逆用、幂的乘方逆用，逆用同底数幂相除、幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：因为， 所以． 故选：B． 2．已知，，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则化简得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：1． 3．（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）200；（2） 【分析】本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘除法以及幂的乘方． （1）逆向运用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可； （2）逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 类型一、比较大小 1．计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．先根据积的乘方法则计算小括号，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后化简负整数指数幂，即得答案． 【详解】 ． 故选A． 2．已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了代数式求值，同底数幂乘除法，幂的乘方的逆运算，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可得，再将变形为，即可计算求值． 【详解】解：， ， ， 故答案为：3． 3．计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查幂的混合运算： （1 ）先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （2 ）先计算积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可； （3 ）先计算同底数幂除法，然后去括号，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 类型二、字母之间的数量关系 1．在比较和的大小时，老师给出了如下的方法： ， ， 因为，，所以． 请你仿照上面的方法比较和的大小关系为(    ) A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂乘法运算，有理数大小的比较，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则，准确计算． 【详解】解：， ∵ ∴， 故选：B． 2．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，解题关键是把这两个数写成指数相同的幂．先根据乘方的意义，把写成，写成的形式，然后比较大小即可． 【详解】解： ， ， ，， ，即， 故答案为：． 3．阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． (1)比较的大小； (2)已知，比较的大小（均为大于的数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，幂的乘方的逆用，有理数的大小比较，掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键． （）根据材料二的方法求解即可； （）先根据材料一的方法可得，，然后判断即可解答； 【详解】（1）解：∵，，，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． 类型三、规律问题 1．已知，，，那么、、之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法的应用，解题的关键是掌握：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此对已知进行恒等变换即可． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．若，，则代数式与之间关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握以上知识点．利用幂的乘方和积的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．规定：如果两数，满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：__________； (2)计算__________； (3)如果，，那么________； (4)若，，请说明与的关系．（为正整数） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）令，根据所给的定义可得，于是可求出； （2）令，，根据所给的定义可得，，因而可得，则； （3）由题意可得，解得，再由，即可求解； （4）由题意可得，，则，从而得到． 【详解】（1）解：令， ， ， 故答案为：； （2）解：令，， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 解得：， ， ， ， 故答案为：； （4）解：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，解一元一次方程等知识点，熟练掌握幂的乘方与同底数幂的乘法的运算法则，深刻理解题中新定义是解题的关键． 类型四、新定义运算 1．按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，则第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，解答的关键是根据所给的单项式确定相应规律，即可求解． 【详解】解：因为，观察这列单项式，，，，，，…， 系数是1，，3，，5，，…， 次数是2，3，4，5，6，7，…， 所以，第个单项式的规律是：． 故选：D． 2．观察等式：，已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的代数式表示这组数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律计算是解题的关键． 通过观察所给的式子，发现第n个等式为，再由，将已知条件代入即可求解． 【详解】解： ∴第n个等式为， ， ∴ ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 3．著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”． 这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先观察下列等式找出规律，并解答问题． ①； ②； ③； ④； ⑤ …………… (1)等式⑥是___________． (2)___________（n为正整数）． (3)求的值． 【答案】(1) (2)（n为正整数） (3)11375 【分析】（1）根据所给式子可直接写出第⑥个式子； （2）根据规律计算即可； （3）根据前面式子的特点，通过变形可以求得计算出结果即可． 【详解】（1）观察规律可得等式⑥是， 故答案为：； （2） =   =（n为正整数）． 故答案为：（n为正整数） （3） = = =11375 【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给的式子，探索出式子的一般规律，并能灵活应用规律进行运算是解题的关键． 1．我们知道：．现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值． 2．石墨烯是现在世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅有米．将数据“”用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表现形式是解题的关键． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时，是负数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 3．计算的结果是（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的混合运算，先求零指数幂，再进行减法运算即可． 【详解】解：； 故选C． 4．观察下面三行数： ① ② ③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字规律、同底数幂相乘等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先观察数据，发现规律，确定的值，然后代入计算即可． 【详解】由题知，第①行是以2为底数，从1开始的连续自然数为指数，奇数位置为负，偶数位置为正的数，所以第①行的第20个数为， 第②行的数比第①行对应的数大2，所以第②行的第20个数为，即， 第③行的数由第①行对应的数除以2所得，所以第③行的第10个数为， 所以 ． 故选B． 5．对于整数a， b， 我们定义：，．例如： ，，则 的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据题干中新定义进行转化，再计算同底数幂的乘法和除法，然后合并同类项，即可计算求值． 【详解】解： ， 故答案为：0． 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，利用幂的乘方即可解答，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 7．已知，则 ． 【答案】256 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，利用幂的乘方和同底数的幂的乘法法则，利用和表示出所求的式子，然后代入求解． 【详解】解：． 故答案为：256． 8．已知，则 ． 【答案】81 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法，能熟记和是解此题的关键．根据求出，根据同底数幂的乘法得出，求出，再根据幂的乘方逆运算法则结合同底数幂的乘法得出，再代入求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ． 故答案为：81． 9．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果，（，且），那么数叫做以为底的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，，． (1)解方程：， ________； (2)求值：________； (3)计算：________； (4)计算：． 【答案】(1)2 (2)3 (3)1 (4) 【分析】本题考查了新定义下的实数的运算、同底数幂相乘，理解题意的新运算是解此题的关键． （1）由题意可得，求解即可； （2）由结合题意计算即可得解； （3）根据计算即可得解； （4）根据题干所给公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解： ． 10．已知，试用含，的代数式表示； 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方法则是解答本题的关键． 同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂除法的逆用． 【详解】解：∵， ∴． 11．计算：． 【答案】0 【分析】此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键． 直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解： 12．试说明：（m为正整数）能被17整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方，和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键 根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法及乘法分配律的运算法则，把已知式子化为，从而得出结论． 【详解】解：原式 ， 所以（m为正整数）能被17整除． 13．我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么．例如，记作． (1)根据以上规定求出：_______，_______； (2)小恒发现也成立，请你帮他说明理由； (3)猜想中的值，并说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)的值为，理由见解析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，读懂题目，理解新运算的运算方法是解题的关键. （1）根据新运算的定义计算即可得到答案； （2）设，，则，得到，即可得到； （3）设，，得到，即可得到. 【详解】（1）解：， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：设，，则， ， ， ； （3）解：的值为，理由如下， 设，，则， ， ， ， 故的值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1 幂的运算 一、同底数幂的乘法运算性质： 1.同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 注：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3） 逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 2.运用同底数幂的乘法的运算性质的条件 在同底数幂的运算中，经常用到两个变形 二、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 注：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2） 逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 三、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 注：（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 四、同底数幂的除法 1.同底数幂的除法法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 注：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 2.零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 注：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 3.负整数指数幂 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. （、为整数，）； （为整数，，） （、为整数，）. 注：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 4.科学记数法的一般形式 （1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数， （2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，. 用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法。 巩固课内例1:计算——同底数幂的乘法 1．当时，的值是（ ） A．6 B．8 C．10 D．16 2．计算的结果等于 ． 3．计算： (1)； (2)． 巩固课内例2:计算——幂的乘方 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算：（1）； （2）； （3）． 巩固课内例3:计算——幂的乘方与合并同类项、同底数幂乘法结合 1．计算的结果是（    ） A．0 B． C． D． 2．计算： ， ． 3．计算 (1)； (2)． 巩固课内例4:计算——积的乘方 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果等于 ． 3．计算：． 巩固课内例5:体积问题 1．一个正方体的棱长为，用科学记数法表示它的体积是（    ） A． B． C． D． 2．一个正方体的棱长为，则它的体积是 ．（结果用科学记数法表示） 3．土星可以近似的看做是球体，它的半径约为，试求土星的体积．（取） 巩固课内例6:计算——同底数幂的除法 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．若，则“？” ． 3．化简： 巩固课内例7:计算——零、负指数幂 1．计算的值是（    ） A． B． C．2025 D．1 2．计算： ． 3．计算： 巩固课内例8:科学记数法 1．2024年9月，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知7纳米米，用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 2．某天，洪江市安江镇的平均浓度为克/立方米，用科学记数法表示为 ． 3．一个正方体集装箱的棱长为． (1)用科学记数法表示这个集装箱的体积是___________； (2)若有一个小立方块的棱长为，则把集装箱装满需要这样的小立方块多少个？（用科学记数法表示） 类型一、同底数幂相乘 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为 ． 3．已知，求的值； 类型二、幂的乘方 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果为 ． 3．计算：． 类型三、积的乘方 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．（1）已知，求的值； （2）已知，求x的值． 类型四、同底数幂相除 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果为 ． 3．已知，求的值． 类型五、科学记数法的应用 1．如果，，，那么、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： 类型一、同底数幂乘法的逆用 1．大学生航模比赛吸引了各所高校的航模团队参加，比赛中各高校团队设计的飞机模型在创新性等方面得到了各界的认可．某高校团队在其设计的自动驾驶组件中，有一个直径为的电子元件．将数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．科学研究发现，一个水分子的质量大约是，水中大约有 个水分子，已知一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成的，一个氧原子的质量约为，一个氢原子的质量约为 千克． 3．一个正方体集装箱的棱长为0.4m， (1)这个集装箱的表面积是多少？体积多少？（用科学记数法表示） (2)若有一个小立方体的棱长为0.02m，则需要多少个这样的小立方块才能将集装箱装满？（用科学记数法表示） 类型二、幂的乘方的逆用 1．若，，则（   ） A．15 B．30 C．45 D．75 2．若，，则 ． 3．解方程： (1)； (2) 类型三、积的乘方的逆用 1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．若为正整数．且，则的值为 ． 3．若，求的值． 类型四、同底数幂除法的逆用 1．的计算结果是（   ） A． B．5 C． D． 2．计算： ． 3．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)计算的结果． 类型五、幂的混合运算 1．已知，则（   ） A．52 B． C． D． 2．已知，，则 ． 3．（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 类型一、比较大小 1．计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； 类型二、字母之间的数量关系 1．在比较和的大小时，老师给出了如下的方法： ， ， 因为，，所以． 请你仿照上面的方法比较和的大小关系为(    ) A． B． C． D．无法比较 2．比较大小： ． 3．阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． (1)比较的大小； (2)已知，比较的大小（均为大于的数）． 类型三、规律问题 1．已知，，，那么、、之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 2．若，，则代数式与之间关系是 ． 3．规定：如果两数，满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：__________； (2)计算__________； (3)如果，，那么________； (4)若，，请说明与的关系．（为正整数） 类型四、新定义运算 1．按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，则第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．观察等式：，已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的代数式表示这组数的和是 ． 3．著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”． 这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先观察下列等式找出规律，并解答问题． ①； ②； ③； ④； ⑤ …………… (1)等式⑥是___________． (2)___________（n为正整数）． (3)求的值． 1．我们知道：．现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 2．石墨烯是现在世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅有米．将数据“”用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B．2 C．3 D． 4．观察下面三行数： ① ② ③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（　　） A．0 B． C． D． 5．对于整数a， b， 我们定义：，．例如： ，，则 的值为 ． 6．计算： ． 7．已知，则 ． 8．已知，则 ． 9．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果，（，且），那么数叫做以为底的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，，． (1)解方程：， ________； (2)求值：________； (3)计算：________； (4)计算：． 10．已知，试用含，的代数式表示； 11．计算：． 12．试说明：（m为正整数）能被17整除． 13．我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么．例如，记作． (1)根据以上规定求出：_______，_______； (2)小恒发现也成立，请你帮他说明理由； (3)猜想中的值，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$