11.3.3 第2课时 空间平行关系的综合问题（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

空间平行关系的综合问题 (教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学) 第2课时 课时目标 1.理解线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化关系. 2.能应用平行关系解决一些简单的综合问题. 题型(一)　平行关系的综合问题 [例1]　如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD=BC，点E为PC上一点，F为PB的中点，且AF∥平面BDE. (1)若平面PAD与平面PBC的交线为l，求证:l∥平面ABCD; 证明:∵BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD. ∵BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l， ∴BC∥l.∵BC⊂平面ABCD，l⊄平面ABCD， ∴l∥平面ABCD. (2)求证:AF∥DE. 证明:如图，连接AC，FC，设AC∩BD=O，FC∩BE=M，连接OM， ∵AF∥平面BDE，AF⊂平面AFC，平面AFC∩平面BDE=OM，∴AF∥OM. ∵AD∥BC，AD=BC， ∴==.∴==.∴点M是△PBC的重心. ∴点E是PC的中点.∴==. ∴OM∥DE.∴AF∥DE. |思|维|建|模| 1.解决平行关系综合问题的策略 (1)在遇到线面平行时，常需作(或找)出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质. (2)线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，要灵活应用，实现相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法. 2.平行关系的相互转化 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示. 针对训练 1.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，BB1=2，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个平面图形.请在图中画出这个平面图形，并求这个平面图形的面积(不必说明画法与理由). 解:如图，设N为A1B1的中点，连接MN，AN，AC，CM， 则四边形MNAC为所求的平面图形. 因为M，N，E，F均为所在棱的中点，所以MN∥EF， 又EF⊂平面DEF，MN⊄平面DEF， 所以MN∥平面DEF， 又AN∥DE，AN⊄平面DEF，DE⊂平面DEF， 所以AN∥平面DEF， 又MN∩AN=N，MN⊂平面MNAC，AN⊂平面MNAC，所以平面MNAC∥平面DEF. 易知四边形MNAC为梯形， 且MN=AC=2， 过点M作MP⊥AC于点P， 可得MC==2，PC==， 所以MP==， 所以S梯形MNAC=×(2+4)×=6. 题型(二)　线面平行中的探索性问题 [例2]　在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论. 解:存在点M，且点M是AB的中点时，直线DE∥平面A1MC，证明如下. 如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C和AC1. 设O为A1C，AC1的交点，则O为AC1的中点. 连接MD，OE，OM，则MD，OE分别为△ABC， △ACC1的中位线， 所以MD∥AC且MD=AC，OE∥AC且OE=AC. 因此MD∥OE且MD=OE. 从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO. 因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC， 所以直线DE∥平面A1MC. 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC. |思|维|建|模| 　　对于结论探究性问题，一般是假设其存在，再进行证明，或先选取中点或找到特殊直线进行验证，并给出证明. 针对训练 2.如图所示，在四棱锥C-ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点. (1)求证:GF∥平面ABC; 解:证明:由四边形ABED为正方形可知，连接AE必与BD相交于中点F， 故GF∥AC .∵GF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC. (2)线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH∥平面ACD?若存在，请找出点H并证明;若不存在，请说明理由. 解:线段BC上存在一点H满足题意，且点H是BC的中点.理由如下: 取BC的中点H，连接GH， 由点G，H分别为CE，CB的中点， 得GH∥EB∥AD. ∵GH⊄平面ACD，AD⊂平面ACD， ∴GH∥平面ACD. ∵GF∥AC，AC⊂平面ACD，GF⊄平面ACD， ∴GF∥平面ACD. 又GF∩GH=G，GH，GF⊂平面GFH， ∴平面GFH∥平面ACD. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在平面A1B1C1D1内，经过点P和棱BC将木块锯开，锯开的面必须平整，共有N种锯法，则N为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.无数 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 解析:因为锯开的面必须平整，故过P的直线l需和BC共面，此面即为平面PBC.因为BC∥B1C1，而BC⊄平面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，故BC∥平面A1B1C1D1.而BC⊂平面PBC，平面A1B1C1D1∩平面PBC=l，故BC∥l，故l∥B1C1.故l唯一即锯法唯一. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.如图所示，A是平面BCD外一点，E，F，G分别是BD，DC，CA的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB，AC，AD，BC，CD，DB中，与平面α平行的直线有 (　　) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 解析:显然AB，AC，DB，DC四条直线均与平面α相交.在△BCD中由已知得EF∥BC，又EF⊂α，BC⊄α，所以BC∥α.同理，AD∥α，所以在题图中的6条直线中，与平面α平行的直线有2条. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.(多选)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G，H，I分别为棱AB，CD，BC，A1D1，AD的中点，则下列结论正确的是 (　　) A.A1E∥D1F B.A1E∥HF C.EG∥平面D1IF D.A1E∥平面D1FGB1 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析:连接FE，因为E，F为AB，CD的中点，故FE平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1，故FE平行且等于A1D1，所以四边形FEA1D1为平行四边形，所以A1E∥D1F，故A正确;显然A1E与HF为相交直线，故B错误; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 因为EG∥IF，同时IF⊂平面D1IF，且EG⊄平面D1IF，所以EG∥平面D1IF，故C正确;因为A1E∥D1F，同时D1F⊂平面D1FGB1，且A1E⊄平面D1FGB1，所以A1E∥平面D1FGB1，故D正确.故选A、C、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形， E，F分别在线段DB，DD1上，=，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则=(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析:在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，连接B1D1，FG，如图所示. 因为平面AEF∥平面BD1G，平面AEF∩平面 BB1D1D=EF，平面BD1G∩平面BB1D1D=BD1， 所以EF∥BD1，于是==.因为平面 ADD1A1∥平面BCC1B1，而BG⊂平面BCC1B1， 则BG∥平面ADD1A1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 所以在平面ADD1A1内存在与AF不重合的直线l∥BG.又平面AEF∥平面BD1G，BG⊂平面BD1G，则BG∥平面AEF.所以在平面AEF内存在与AF不重合的直线m∥BG，从而m∥l，m⊂平面AEF，l⊄平面AEF，则l∥平面AEF.又l⊂平面ADD1A1，平面AEF∩平面ADD1A1=AF，因此AF∥l∥BG，BG，AF可确定平面ABGF.因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ABGF∩平面ABB1A1=AB，平面ABGF∩平面CDD1C1=FG，于是AB∥FG，即有CD∥FG，所以==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.已知侧棱和底面垂直的三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为3，D为侧棱CC1的中点，M为侧棱AA1上一点，且A1M=1，N为B1C1上一点，且MN∥平面ABD，则NB1的长为 (　　) A.1 B.2 C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析:如图，取BB1上一点F，B1F=1，延长DC1至点E，使DE=2.连接EF，EF∩B1C1=N.连接ME， ∵BF∥DE，BF=DE，∴四边形FBDE是平行四边形.∴EF∥BD，EF⊄平面ABD.∴EF∥平面ABD.∵MF∥AB，同理MF∥平面ABD，且MF∩EF=F， ∴平面MEF∥平面ABD.MN⊂平面MEF， ∴MN∥平面ABD.∵EC1=DE-DC1=， △B1FN∽△C1EN，∴==.又B1C1=3，∴NB1=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6.在△ABC中，AB=5，AC=7，∠A=60°，G是重心，过G的平面α与BC平行，AB∩α=M，AC∩α=N，则MN=　　　　.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析:如图所示，若D为BC的中点，又G是重心，则AG=AD.由题意BC∥α，BC⊂平面ABC，平面ABC∩α=MN，故BC∥MN.所以==.又BC==，解得MN=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2A1B1，E，F分别是AC，BC的中点，点M在AA1上，AM=2MA1，若点N在平面ABB1A1内，且MN∥平面C1EF，则点N的位置是　 　　. (写出一种即可)  N是线段BB1上靠近点B1的三等分点 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析:当BN=2B1N时，连接MN(图略)，因为AM=2A1M，所以MN∥AB.因为E，F分别为AC，BC的中点，所以EF∥AB，从而MN∥EF.又EF⊂平面C1EF，MN⊄平面C1EF，所以MN∥平面C1EF. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则=　　　.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析:∵平面MNE∥平面ACB1，平面MNE∩平面ABB1A1=EM，平面ACB1∩平面ABB1A1=B1A，平面MNE∩平面CBB1C1=EN，平面ACB1∩平面CBB1C1=B1C，∴由两个平面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A.∴==.又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点.∴MN=AC，即=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，过BC的中点E的截面与AB，CD都平行，则截面的周长为　　　　.  解析:设CA，AD，DB的中点分别为F，G，H，连接EF，FG，GH，HE.根据三角形中位线定理，可得EF∥AB，FG∥CD，GH∥AB，HE∥CD，EF=AB=1，FG=CD=1，所以EF∥GH，FG∥HE. 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 因此四边形EFGH是平行四边形.因为EF∥AB，EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.同理CD∥平面EFGH.因此平行四边形EFGH的周长为2(1+1)=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点. (1)求证:QN∥平面PAD; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解:证明:∵底面ABCD是菱形，N，Q分别为PB，PC的中点， ∴QN∥BC，BC∥AD.∴QN∥AD.∵QN⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴QN∥平面PAD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明. 解:直线l与平面PBD平行，证明如下: ∵M，N分别为PD，PB的中点， ∴MN∥BD.∵BD⊂平面ABCD，MN⊄平面ABCD， ∴MN∥平面ABCD. ∵平面CMN与底面ABCD的交线为l， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 ∴由线面平行的性质得MN∥l. ∵MN∥BD，∴BD∥l.∵C∈l，C∉平面PBD， 且BD⊂平面PBD，l⊄平面PBD， ∴l∥平面PBD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11.(19分)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q，S分别是AB，BC，C1D1，D1A1的中点. (1)求证:MN∥QS; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解:证明:连接SQ，MN，AC，A1C1.如图，正方体中AA1∥CC1，AA1=CC1，四边形ACC1A1为平行四边形，则有AC∥A1C1.∵M，N，Q，S分别是AB，BC，C1D1，D1A1的中点，∴MN∥AC，SQ∥A1C1，∴MN∥SQ. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)记MNQS确定的平面为α，作出平面α被该正方体所截的多边形 截面，写出作法步骤.并说明理由，然后计算截面面积; 解:取AA1，CC1的中点E，F，连接S，Q，F，N，M，E，如图， 则正六边形SQFNME为平面α被该正方体所截的多边形截面， MN= =， ∴S正六边形SQFNME=6××× ×sin 60°=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (3)求证:平面ACD1∥平面α. 解:证明:∵MN∥AC，AC⊄平面α，MN⊂平面α，∴AC∥平面α. ∵S，E分别为A1D1，AA1的中点，∴SE∥AD1.∵SE⊂平面α， AD1⊄平面α，∴AD1∥平面α. 又∵AD1∩AC=A，AC⊂平面ACD1，AD1⊂平面ACD1， ∴平面ACD1∥平面α. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.(19分)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (1)求证:EF∥平面BDD1B1; 证明:在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，连接BM. 如图，因为E，F分别是BC，CM的中点， 所以EF∥BM. 又EF⊄平面BDD1B1，BM⊂平面BDD1B1， 所以EF∥平面BDD1B1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)设G为棱CD的中点，求证:平面GEF∥平面BDD1B1. 证明:取CD的中点G，连接EG，FG.如图，E是BC的中点， 得EG∥BD.又EG⊄平面BDD1B1，BD⊂平面BDD1B1， 得EG∥平面BDD1B1.由(1)知EF∥平面BDD1B1， EF∩EG=E，且EF，EG⊂平面GEF， 所以平面GEF∥平面BDD1B1. 所以当G是DC的中点时， 平面GEF∥平面BDD1B1. $$