11.3.1 平行直线与异面直线（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

11.3.1 平行直线与异面直线 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解空间平行线的传递性，会证等角定理.　 2.理解异面直线的概念、画法，了解空间四边形. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.平行直线 (1)空间平行线的传递性 文字语言 图形语言 符号语言 平行于_____________的两条直线互相平行 如果a∥b，a∥c，则_________ 同一条直线 b∥c (2)等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应_______，并且方向相同，那么这两个角________. 2.异面直线 (1)异面直线的概念 空间中既不__________也不________的直线. 平行 相等 平行 相交 (2)异面直线的画法 为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图(1)(2)所示. 3.空间四边形 顺次连接_________________所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的________，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的_______，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的_________. 空间四边形用表示顶点的4个字母表示. 不共面的4点 顶点 边 对角线 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)垂直于同一直线的两条直线互相平行.(　　) (2)分别和两条异面直线平行的两条直线平行.(　　) (3)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.(　　) 基础落实训练 × × √ (4)两条直线无公共点，则这两条直线平行. (　　) (5)两直线若不是异面直线，则必相交或平行.(　　) (6)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线. (　　) × × √ 2.若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形 (　　) A.全等 B.相似 C.仅有一个角相等 D.无法判断 解析:由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似. √ 3.不平行的两条直线的位置关系是 (　　) A.相交 B.异面 C.平行 D.相交或异面 解析:若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面. √ 4.在三棱锥S-ABC中，与SA是异面直线的是 (　　) A.SB B.SC C.BC D.AB √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　空间平行线的传递性及其应用 [例1]　如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F，E'，F'分别是AB，BC，A'B'，B'C'的中点.求证:EE'∥FF'. 证明:因为E，E'分别是AB，A'B'的中点， 所以BE∥B'E'，且BE=B'E'. 所以四边形EBB'E'是平行四边形. 所以EE'∥BB'.同理可证FF'∥BB'. 所以EE'∥FF'. 在本例中，若M，N分别是A'D'，C'D'的中点，求证:四边形ACNM是梯形. 证明:在正方体中，MN∥A'C'，且MN=A'C'， 因为A'C'∥AC，且A'C'=AC， 所以MN∥AC，且MN=AC. 又AM与CN不平行，故四边形ACNM是梯形. 变式拓展 |思|维|建|模| 证明空间两条直线平行的方法 (1)平面几何法 三角形中位线、平行四边形的性质等. (2)定义法 用定义证明两条直线平行，要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点. (3)空间平行线的传递性 用空间平行线的传递性证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由空间平行线的传递性即可得到a∥c. 针对训练 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别 为AA1，CC1的中点，求证:BFD1E是平行四边形. 证明:如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE. 因为F为CC1的中点， 所以BG∥FC1，且BG=FC1. 所以四边形BFC1G是平行四边形. 所以BF∥GC1，BF=GC1. 又因为EG∥A1B1，EG=A1B1，A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1， 所以EG∥C1D1，EG=C1D1. 所以四边形EGC1D1是平行四边形. 所以ED1∥GC1，ED1=GC1. 所以BF∥ED1，BF=ED1. 所以四边形BFD1E是平行四边形. 题型(二)　等角定理及其应用 [例2]　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证:△EFG∽△C1DA1. 证明:如图，连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C. 又ABCD-A1B1C1D1为正方体， 所以CD∥AB，A1B1∥AB. 所以CD∥A1B1. 所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C. 又B1C∥FG，所以A1D∥FG.同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF. 又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且方向相同，所以∠DA1C1=∠EGF，∠A1DC1=∠EFG，∠DC1A1=∠GEF. 所以△EFG∽△C1DA1. |思|维|建|模| (1)根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线平行. (2)根据角的两边的方向判定两角相等.　 针对训练 2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点.求证:∠NMP=∠BA1D. 证明:如图，连接CB1，CD1.∵CD 􀰿 A1B1，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C.∵M，N分别是CC1，B1C1的中点，∴MN∥B1C.∴MN∥A1D.∵BC 􀰿 A1D1.∴四边形A1BCD1是平行四边形.∴A1B∥CD1.∵M，P分别是CC1，C1D1的中点，∴MP∥CD1.∴MP∥A1B.∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反.∴∠NMP=∠BA1D. 题型(三)　异面直线的判定问题 [例3]　如图所示，在三棱锥P-ABC中，D，E是PC上不重合的两点，F，H分别是PA，PB上的点，且与点P不重合.求证:EF和DH是异面直线. 证明:∵PA∩PC=P， ∴PA，PC确定一个平面α. ∵E∈PC，F∈PA， ∴E∈α，F∈α，EF⊂α. ∵D∈PC，∴D∈α，且D∉EF. 又PB∩α=P，H∈PB，且点H与点P不重合， ∴H∉α，DH∩α=D，且DH与EF不相交， 于是直线EF和DH是异面直线. |思|维|建|模| 判定两条直线是异面直线的方法 (1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内. (2)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图). 针对训练 3.在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF (　　) A.平行　　　　　　　　 B.异面 C.相交 D.以上均有可能 √ 解析:假设BE与CF是共面直线，设此平面为α，则E，F，B，C∈α，所以BF，CE⊂α，而A∈CE，D∈BF，所以A，D∈α，即有A，B，C，D∈α，与ABCD为空间四边形矛盾，所以假设不成立，BE与CF是异面直线，故选B. 4.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条 (　　) A.相交 B.异面 C.相交或异面 D.平行 解析:如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面. √ 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——达标评价 1.在三棱锥P-ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:由题意可知DE∥PB，EF∥BC，所以∠DEF=∠PBC=90°. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.(多选)下列命题中正确的是 (　　) A.存在与两条异面直线都平行的平面 B.过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行 C.过平面外一点可作无数条直线与该平面平行 D.过直线外一点可作无数个平面与该直线平行 √ 15 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:将一个平面内的两条相交直线分别平移到平面外，且平移后不相交，则这两条直线异面且与该平面平行，故A正确；当该点在其中一条直线上时，B不正确；C正确；D正确.故选A、C、D. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.在三棱台A1B1C1-ABC中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH与B1C1的位置关系是 (　　) A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 解析:如图所示，因为G，H分别是AB，AC的中点， 所以GH∥BC，又由三棱台的性质得BC∥B1C1， 所以GH∥B1C1. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.若∠AOB=∠A1O1B1，且OA∥O1A1，射线OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的是 (　　) A.OB∥O1B1且方向相同 B.OB∥O1B1，方向可能不同 C.OB与O1B1不平行 D.OB与O1B1不一定平行 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:当∠AOB=∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同时，OB与O1B1不一定平行，如图所示，故选D. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.在学校手工课上，同学们分组研究正方体的表面展开图.某小组得到了如图所示表面展开图，则在正方体中，AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线中，异面直线有 (　　) A.1对 B.3对 C.5对 D.2对 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:作出正方体的图形如图所示， 则AB与CD，AB与GH，EF与GH是异面直线，共3对. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.直线a，b，c，d满足a∥b，b∥c，c∥d，则a与d的位置关系是　　　　.  解析:∵a∥b，b∥c，c∥d，∴由空间平行线的传递性可知a∥d. 15 平行 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.在四棱锥P-ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF=2，则GH=　　　　.  解析:由题意知EF 􀰿 AC，GH 􀰿 AC，故EF 􀰿 GH，故GH=2. 15 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD=2，AC=4，则+=　　　　.  解析:如图所示，由三角形中位线的性质可得EF∥AC，EF=AC，HG∥AC，HG=AC.所以四边形EFGH是平行四边形， 因为=+=-，所以 += +=2(+)=2(4+1)=10. 15 10 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(10分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点. 求证: (1)GB∥D1F； 证明:因为正方体ABCD-A1B1C1D1中， F，G分别是棱BB1，DD1的中点， 所以D1G=BF，且D1G∥BF. 所以四边形D1GBF是平行四边形.所以GB∥D1F. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)∠BGC=∠FD1E. 证明:因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，G分别是棱CC1，DD1的中点， 所以D1G=CE，且D1G∥CE. 所以四边形D1GCE是平行四边形. 所以GC∥ED1.由(1)知GB∥D1F， 由图形可知∠BGC，∠FD1E均为锐角， 所以∠BGC=∠FD1E. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(10分)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.求直线FC1到直线AE的距离. 解:在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取CC1中点G，连接AF，C1E，BG，EG，因为E为线段DD1的中点，则EG∥CD∥AB， EG=CD=AB，四边形AEGB为平行四边形，于是AE∥BG，又F为线段BB1的中点，则BF∥GC1，BF=GC1，四边形BFC1G为平行四边形，于是C1F∥BG，从而AE∥C1F，同理AF∥C1E，四边形AEC1F为平行四边形， 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 而AF=AE==，因此四边形AEC1F为菱形， 显然EF=，AC1=， 令直线FC1到直线AE的距离为h， 由=AE·h=EF·AC1， 得h==，所以直线FC1到直线AE的距离为. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——重点培优 11.如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，==λ，==μ，则下列结论不正确的是(　　) A.当λ=μ时，四边形EFGH是平行四边形 B.当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形 C.当λ≠μ时，四边形EFGH一定不是平行四边形 D.当λ=μ时，四边形EFGH是梯形 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:连接BD(图略).因为==λ，==μ，所以EH∥BD，且EH=λBD，FG∥BD，且FG=μBD，所以若λ=μ，则EH 􀰿 FG，四边形EFGH是平行四边形；若λ≠μ，则EH∥FG，但EH≠FG，四边形EFGH是梯形.故选D. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(多选)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是 (　　) A.直线BN与MB1是异面直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线MN与AC是相交直线 D.平面BMN截正方体所得的截面面积为 √ 15 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为BN⊂平面BCC1B1，MB1∩平面BCC1B1=B1，B1∉BN，所以直线BN与MB1是异面直线，故A正确；因为AB⊂平面ABCD，MN∩平面ABCD=P，P∉AB，所以直线AB与MN是异面直线，即直线AM与BN是异面直线，故B错误；因为AC⊂平 面ABCD，MN∩平面ABCD=P，P∉AC， 所以直线MN与AC是异面直线，故C错误； 明显MN∥A1B，故四边形A1BNM 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 为平面BMN截正方体所得的截面，MN=，A1B=2，A1M==，BN==，四边形A1BNM是等腰梯形，则梯形的高是h==，所以梯形的面积S=×(+2)×=，故D正确. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(多选)如图，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1上的一点且A1E=2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF，则下列结论正确的为 (　　) A.EF∥D1C 　　 B.EF=a C.CF=a 　　 D.三棱锥A-EFC的体积为a3 √ 15 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:如图，设BF=2FA，连接EF，A1B，CF，AC.因为A1E=2EA， 所以EF∥A1B.又易知A1B∥D1C，所以EF∥D1C.故EF=A1B=a，CF==a，VA-EFC=VE-AFC=×a××a×a=a3. 故选A、D. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，DN∥BC，DN与EF相交于点M.将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C'D'的位置，G，H分别为AD'和BC'的中点，求证: 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (1)四边形EFGH为平行四边形； 证明:因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点， 所以EF∥AB，且EF=(AB+CD)， 又C'D'∥EF，EF∥AB，所以C'D'∥AB. 因为G，H分别为AD'，BC'的中点， 所以GH∥AB，且GH=(AB+C'D')=(AB+CD)，所以GH 􀰿 EF， 所以四边形EFGH为平行四边形. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)∠C'EB=∠D'MN. 证明:因为折叠前DN∥BC，且DM∥CE，MN∥EB， 所以折叠后D'M∥C'E，MN∥EB，所以∠C'EB与∠D'MN的对应边平行且方向相同. 所以∠C'EB=∠D'MN. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15.(12分)如图，一个高为8的三棱柱形容器中盛有水，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC，BC，B1C1，A1C1的中点E，F，G，H. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (1)直接写出直线FG与直线A1H的位置关系； 解:直线FG与直线A1H是异面直线. 因为水面恰好过AC，BC，B1C1，A1C1的中点E，F，G，H， 所以HG∥A1B1，EF∥AB，HG=A1B1，EF=AB，又A1B1∥AB，且A1B1=AB， 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以HG∥EF，且HG=EF，所以四边形EFGH是平行四边形， 故FG∥EH，而A1H∩EH=H，所以直线FG与直线A1H不可能平行， 而平面EFGH∩平面A1B1C1=HG，所以直线FG与直线A1H不可能是相交直线， 所以直线FG与直线A1H是异面直线. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)有人说有水的部分呈棱台形，你认为这种说法是否正确?并说明理由. 解:因为棱台各侧棱交于一点，易知AE∥A1H无交点，所以该几何体不是棱台. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面ABC全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高. 解:设此三棱锥的高为h，底面面积为S， 容器中水的形状为棱柱，体积为×8=6S， 所以有Sh=6S，解得h=18，即三棱锥的高为18. 15 $$