11.1.6 第1课时 柱、锥、台的体积（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

祖暅原理与几何体的体积 11.1.6 柱、锥、台的体积 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.了解祖暅原理，了解利用祖暅原理推导柱体、锥体、台体、球的体积公式的过程. 2.掌握利用柱体、锥体、台体的体积公式，能运用公式解决简单的实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.祖暅原理 祖暅原理 幂势既同，则积不容异 原理解读 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等 原理图示 2.柱体、锥体、台体、球的体积公式 名称 体积(V)公式 备注 柱 体 棱柱 V=________ h为棱柱的高， S为棱柱的底面面积 圆柱 V=________=Sh r为圆柱的底面半径， h为圆柱的高， S为圆柱的底面面积 Sh πr2h 名称 体积(V)公式 备注 锥 体 棱锥 V=___ h为棱锥的高， S为棱锥的底面面积 圆锥 V=πr2h=Sh r为圆锥的底面半径， h为圆锥的高， S为圆锥的底面面积 Sh 名称 体积(V)公式 备注 台体 棱台、圆台 V台体=(S上+ S下+)h S上，S下分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高 球 V球=πR3 R为球的半径 |微|点|助|解| 　　柱、锥、台体的体积公式之间的关系 柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此柱体、锥体可以看作是“特殊”的台体.当S上=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式，当S上=S下=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此柱体、锥体的体积公式可以看作是台体体积公式的“特殊”形式. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在三棱锥P-ABC中，VP-ABC=VA-PBC=VB-PAC=VC-PAB.(　　) (2)锥体的体积等于底面积与高的乘积.(　　) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(　　) (4)如果一个柱体与一个锥体底面积相等，则它们的体积比为3∶1.(　　) 基础落实训练 √ × × √ 2.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1-ACD的体积是 (　　) A. B. C. D.1 √ 3.直径为1的球的体积是 (　　) A.1 B. C. D.π 解析:由R=，得V=πR3=×π×=. √ 4.若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是　　　　.  解析:易知圆锥的高h=4， 所以V圆锥=π×32×4=12π. 12π 5.长方体三个面的面积分别为2，6和9，则长方体的体积是　　　　　.  解析:设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，不妨令ab=2，ac=6，bc=9，∴(abc)2=108.∴V=abc=6. 6 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　棱柱与圆柱的体积 [例1]　(1)如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为 (　　) A. m3 B. m3 C.1 m3 D. m3 √ 解析:设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah=1，a=1，解得a=，h=.所以六棱柱的体积为V=××6×=(m3). (2)已知圆柱的底面周长为4π，高为4，则它的体积为 (　　) A.4π B.8π C.12π D.16π 解析:设圆柱的底面半径为r，则2πr=4π，解得r=2，则该圆柱的体积为π×22×4=16π. √ |思|维|建|模| 　　求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高.棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等，都是高；圆柱的高是其母线长.具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关量. 针对训练 1.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于 (　　) A.π B.2π C.4π D.8π 解析:设圆柱母线长为l，底面半径为r， 由题意得解得∴V圆柱=πr2l=2π. √ 2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为　　　　.  解析:设AC=a，CC1=b，则BD=C1D=，BC1=.因为△BC1D是面积为6的直角三角形，所以解得所以此三棱柱的体积V=×8×4=8. 8 题型(二)　棱锥与圆锥的体积 [例2]　(1)(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120°，若△PAB的面积等于 ，则该圆锥的体积为(　　) A.π B.π C.3π D.3π √ 解析:在△AOB中，∠AOB=120°，OA=OB=.取AB的中点C，连接OC，PC，则OC⊥AB，PC⊥AB.如图， ∠ABO=30°，OC=，AB=2BC=3.由△PAB的面积为，得×3×PC=，解得PC=.所以PO=== .所以圆锥的体积=π×OA2×PO=π×()2×=π. (2)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是　　　　.  10 解析:∵长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120， ∴CC1·S四边形ABCD=120. 又E是CC1的中点，∴V三棱锥E-BCD=EC·S△BCD=×CC1× S四边形ABCD=×120=10. |思|维|建|模| (1)锥体的体积公式V=Sh既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥. (2)三棱锥的体积求解具有灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，使得转换后，该三棱锥的底面的面积易求、可求，高易求、可求，这一方法叫作等体积法. (3)有些柱体还可以利用分割法或补形法进行求解.无论分割法还是补形法都是要将所给的几何体分割成或补成易求解的几何体，体现了间接思维模式和化归的数学思想.　 针对训练 3.已知圆锥的表面积为12π m2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为 (　　) A.6π m3 B.π m3 C.π m3 D. m3 √ 解析:设圆锥的底面半径为r，侧面展开图的半圆半径为R，则2πr=×2πR，即R=2r. 故圆锥的表面积为S=πr2+πR2=3πr2=12π，解得r=2， 圆锥的高为h==2. 故圆锥的体积为V=πr2·h=×4π×2=π.故选B. 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1，且这个几何体的体积为10，则AA1=　　　　.  3 解析:由题意知=-=2×2·AA1-××2×2·AA1=AA1=10，∴AA1=3. 题型(三)　棱台与圆台的体积 [例3]　(2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2， A1B1=1，AA1=，则该棱台的体积为　　　　.  解析:如图所示，设点O1，O分别为正四棱台 ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1， BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接 O1O，则O1O为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高， 过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E=O1O.因为AB=2，A1B1=1， 所以OB=，O1B1=.所以BE=OB-OE=OB-O1B1=.又AA1=，所以BB1=，B1E===.所以O1O=. 所以=×(22+12+)×=. |思|维|建|模| 　　台体的体积计算公式是V=(S上+S下+)h，其中S上，S下分别表示台体的上、下底面的面积，这一公式较为复杂，要求记准.计算体积的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算. 针对训练 5.金字塔一直被认为是古埃及的象征，然而，玛雅文明也有类似的建筑，玛雅金字塔是仅次于埃及金字塔的著名建筑.玛雅金字塔由巨石堆成，其下方近似为正四棱台，顶端是祭神的神殿，其形状近似为正四棱柱.整座金字塔的高度为29 m，金字塔的塔 基(正四棱台的下底面)的周长为220 m，塔台 (正四棱台的上底面)的周长为52 m，神殿底面 边长为9 m，高为6 m，则该玛雅金字塔的体积 为　　　　m3.  30 455 解析:设塔基的边长为a，塔台的边长为b，正四棱台的高为h，神殿的高为h'， 由已知，4a=220，4b=52，h+h'=29，h'=6， 所以a=55，b=13，h=23. 所以正四棱台的下底面积S1=552=3 025(m2)，上底面积S2=132=169(m2). 所以正四棱台的体积V1=(S1+S2+)h=(3 025+169+715)×23= 29 969(m3). 因为神殿的形状为正四棱柱，底面边长为9，高为6， 所以神殿的体积V2=81×6=486(m3). 所以该玛雅金字塔的体积V=29 969+486=30 455(m3). [例4]　如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积. 题型(四)　简单组合体的体积 解:在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°， ∴CD==2a，AB=CDsin 60°=a， ∴DD'=AA'-2AD=2BC-2AD=2a， ∴DO=DD'=a. 由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥. 由上述计算知，圆柱母线长a，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a. ∴圆柱的侧面积S1=2π·2a·a=4πa2，圆锥的侧面积S2=π·a·2a= 2πa2，圆柱的底面积S3=π(2a)2=4πa2，圆锥的底面积S4=πa2， ∴组合体上底面积S5=S3-S4=3πa2， ∴旋转体的表面积S=S1+S2+S3+S5=(4+9)πa2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积. V柱=Sh=π·(2a)2·a=4πa3， V锥=S'h=·π·a2·a=πa3， ∴V=V柱-V锥=4πa3-πa3=πa3. |思|维|建|模| 　　在求组合体体积时，要先把组合体切割成几个基本几何体，分别计算体积后再相加，解题时注意补形法的应用. 6.(2024·天津高考)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD=1，BE=2，CF=3，则该五面体的体积为 (　　) A. B.+ C. D.- 针对训练 √ 解析:因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积V=×1××1+××=，故选C. 7.一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位:米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土?(钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米) 解:将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体. S底=0.6×1.1-×(0.5+0.3)×0.3=0.54(平方米)， V=S底·h=0.54×24.8≈13.39(立方米). 所以浇制一个这样的预制件大约需要13.39立方米混凝土. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——达标评价 1.若正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　) A.48 B.64 C.16 D.96 解析:设正方体的棱长为a，则6a2=96，∴a=4.∴其体积V=a3=43=64.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A.2π B.3π C.6π D.9π √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为 ，因为它们的侧面积相等，所以2πr·=πr·，即2=，故r2=9，故圆锥的体积为π×9×=3π.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:设圆台的体积为V，高为h.由题意得，V=(π+2π+4π)h=7π，所以h=3. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一 卷，它的整体外貌如图，纸卷的直径为12 cm，轴的 直径为4 cm，当小明用掉的纸后，则剩下的这卷纸 的直径最接近于(　　) A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设小明用掉的纸后，剩下的这卷纸的直径为x cm，卷纸高为h cm，则由题可知(π×62-π×22)h×=h， 解得x2=48.所以剩下的这卷纸的直径最接近于7 cm.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.如图所示，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，动点Q在棱D'C'上，则三棱锥A'-EFQ的体积 (　　) A.与点E，F的位置有关 B.与点Q的位置有关 C.与点E，F，Q的位置都有关 D.与点E，F，Q的位置均无关，是定值 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为点Q到平面A'EF的距离为正方体的棱长4，A'到EF的距离为正方体的棱长4，所以VA'-QEF=VQ-A'EF=××2×4×4=，是定值，因此与点E，F，Q的位置均无关. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.将4×6的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱，则圆柱的最大体积是　　　　　　.  解析:当矩形的边长4作为圆柱的底面周长时，圆柱的高为6，设底面半径为r，由2πr=4，可得r=，此时圆柱的体积为πr2h1=π··6=. 当矩形的边长6作为圆柱的底面周长时，圆柱的高为4， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设底面半径为R，由2πR=6，可得R=， 此时圆柱的体积为πR2h2=π··4=. 故圆柱的最大体积为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是　　　　.  解析:设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上=πr2=π，S下=πR2=4π，∴r=1，R=2.∵S侧=π(r+R)l=6π，∴l=2.∴h=.∴V=π(12+22+1×2)×=π. π 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知一个圆锥的底面半径为1，高为1，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱，则此圆柱侧面积的最大值为　　　　.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:作出圆锥的轴截面，如图， 设圆柱的半径为r(0<r<1)，由题意得=，即r=1-x(0<x<1)， 则圆柱的侧面积S=2πrx=2π(1-x)x=2π(-x2+x)=2π， ∴当x=时，圆柱的侧面积S取最大值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(12分)有一堆规格相同的铁制(铁的密度为7.8 g/cm3)六角螺帽共重6 kg，已知该种规格的螺帽底面是正六边形，边长是12 mm，内孔直径为10 mm，高为10 mm. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (1)求一个六角螺帽的体积；(精确到0.001 cm3) 解:由题得V=×122×6×10-3.14××10=3 736.8-785=2 951.8≈ 2 952(mm3)=2.952(cm3)，所以一个六角螺帽的体积为2.952 cm3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)问这堆六角螺帽大约有多少个? (参考数据:π取3.14，取1.73，2.952×7.8≈23，1.083×7.8≈8.45) 解:这堆螺帽的个数为6×1 000÷(7.8×2.952)≈261.即这堆六角螺帽大约有261个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(12分)如图，甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现在将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于原正方形的面积.(不计焊接缝的面积) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明； 解:如图甲所示，将正方形按图中虚线剪，以两个边长为2a的小正方形为底面，以四个小矩形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 如图乙所示，将正方形沿图中虚线剪开，把两个小长方形焊接成边长为2a的正方形作为底面，三个等腰三角形为侧面，两个边上的小直角三角形，焊接成与其他侧面相同的等腰三角形为第四个侧面，这样就可焊成一个底面边长为2a，斜高为3a的正四棱锥. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小. 解:由上面的裁剪焊接方式可得V柱=(2a)2·a=4a3， V锥=(2a)2·2a=a3. 又∵42-=>0，∴4a3>a3. ∴正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——重点培优 11.(多选)如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，且AB=BC，则(　　) A.三棱锥S-ABC的体积为12 B.该圆锥的体积为12π C.该圆锥的表面积为14π D.该圆锥的母线长为5 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题意可得△ABC是等腰直角三角形，由AC=6可得AB=BC=AC=3，∴S△ABC=9，即VS-ABC=×4×9=12，故A正确；由圆锥体积公式可得V=π×32×4=12π，故B正确；由勾股定理及圆锥性质可得其母线SA==5，故D正确；由圆锥的表面积公式可得S=π×3×(5+3)=24π，故C错误.故选A、B、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.已知圆柱的全面积为80π，圆柱内有一平行于圆柱轴的截面，截面面积为24，且截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为1∶2，则圆柱的体积是　　　　　.  解析:因为截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为1∶2， 所以由圆柱底面圆心向截面与底面的两个交点连线形成的圆心角，即弦AB所对的圆心角为×2π=. 96π 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设底面半径为r，则弦AB===r. 设圆柱的高为h，则 解得或(舍去). 所以圆柱的体积V=πr2h=96π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h=　　　　.  a 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为πR2h，圆柱形容器内的液体体积为πh.根据题意，有πR2h=πh，解得R=a.再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得=，所以h=a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(18分)某部门建造了一个圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m，该部门计划再建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案:方案一是新建的圆锥形仓库的底面直径比原来增加4 m(高不变)；方案二是新建的圆锥形仓库的高度增加4 m(底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的体积； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:若按方案一，新建的圆锥形仓库的底面直径变成16 m，高不变，则新建的圆锥形仓库的体积V1=×π××4=(m3)； 若按方案二，新建的圆锥形仓库的高变成8 m，底面直径不变，则新建的圆锥形仓库的体积V2=×π××8=96π(m3). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的侧面积； 解:若按方案一，新建的圆锥形仓库的底面直径变成16 m，高不变，则圆锥的母线长l1==4(m)，新建的圆锥形仓库的侧面积S1=π××4=32π(m2)； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 若按方案二，新建的圆锥形仓库的高变成8 m，底面直径不变，则圆锥的母线长l2==10(m)， 新建的圆锥形仓库的侧面积S2=π××10=60π(m2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)哪个方案更经济些?为什么? 解:由(1)(2)知，V1<V2，S2<S1，所以按方案二新建的圆锥形仓库的体积更大，侧面积更小，所需耗材更少，故方案二比方案一更加经济. $$