11.1.6 第2课时 球的表面积和体积（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

球的表面积和体积 (教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学) 第2课时 课时目标 1.了解并掌握球的体积和表面积公式.　 2.会用球的表面积与体积公式解决实际问题. 3.掌握球的切、接问题，并能准确确定球心. 题型(一)　球的截面问题 [例1]　在球内有相距9 cm的两个平行截面，截面圆的面积分别为49π cm2和400π cm2，求该球的体积. 解:①当两个平行截面在球心同一侧，作出球的截面图，如图所示. ∵截面圆的面积分别为49π cm2和400π cm2， ∴对应的半径BD=7 cm，AC=20 cm. 且AB=9 cm，设球半径为r， 则OA=，OB=， 又=9+， 解得r=25 cm. ∴球的体积为×253 cm3= cm3. ②当两个平行截面在球心两侧时，作出球的截面图，如图所示. ∵截面圆的面积分别为49π cm2和400π cm2， ∴对应的半径BD=7 cm，AC=20 cm.且AB=9 cm， 设球半径为r， 则OA=，OB=，无解. 综上，球的体积为 cm3. |思|维|建|模| (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决. (2)注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理. 针对训练 1.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的 倍，且AC=8，BC=6，AB=10，求球的表面积及体积. 解:如图，设球的半径为R，球心为O，截面圆心为O1， 则OO1=R. 在△ABC中，∵AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°.∴O1是AB的中点， 即O1A=5.又O+O1A2=OA2， ∴+52=R2. ∴R2=100，R=10. ∴球的表面积S球=4πR2=4π×102=400π， 球的体积V球=πR3=π×103=π. 题型(二)　与球有关的切、接问题 角度(一)　球与正(长)方体的切接问题 　　处理与球有关的相接、相切问题时，关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面，将空间问题转化为平面问题. (1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径. (2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.　 [例2]　有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比. 解:设正方体的棱长为a，设三个球的半径分别为r1，r2，r3. ①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面 (正方形)的中心，经过在一个平面上的四个切点及球心 作截面，如图(1)所示.所以2r1=a，r1=，S1=4π=πa2. ②球与正方体各棱的切点为每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2). 所以2r2=a，r2=a， 所以S2=4π=2πa2. ③正方体的各个顶点都在球面上， 过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)所示. 则2r3=a，∴r3=a，S3=4π=3πa2. 因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3=1∶2∶3. 角度(二)　球与其他多面体的切接问题 　　特殊多面体的内切球或外接球问题，要注意球心的位置与几何体的关系.一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如几何体的中心，对角线的中点等，还需熟记棱长为a的正四面体的外接球的半径R=a，内切球的半径r=. [例3]　设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为 (　　) A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.5πa2 √ 解析:如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2. ∵AD=a，AO=AD=a，OO2=， ∴A=a2+a2=a2. 故该球的表面积S球=4π×a2=πa2. 角度(三)　球与旋转体的切接问题 　　球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径. [例4]　(1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为 (　　) A.4π(r+R)2 B.4πr2R2 C.4πRr D.π(R+r)2 √ 解析:如图，BE=BO2=r，AE=AO1=R， 又OE⊥AB且BO⊥OA，∴△AEO∽△OEB. ∴OE2=AE·BE=Rr. ∴球的表面积为4πOE2=4πRr. (2)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2， 则的值是　　　　.  解析:设球O的半径为r，则圆柱的底面半径 为r，高为2r.所以==. 针对训练 2.已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为 (　　) A.π B. C.2π D.3π √ 解析:依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为r，易知轴截面三角形边AB上的高为2，因此=，解得r=，所以圆锥内切球的表面积为4π×=2π，故选C. 3.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长 为2，则该球的表面积为　　　　.  解析:如图所示，设球半径为R，底面中心为O'且球心为O， ∵正四棱锥P-ABCD中AB=2，∴AO'=.∵PO'=4， ∴在Rt△AOO'中，AO2=AO'2+OO'2， ∴R2=()2+(4-R)2， 解得R=，∴该球的表面积为4πR2=4π×=. 4.若圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为　　　　.  解析:如图，由条件知，O1A=3，OO1=4，所以OA=5，所以球的表面积为100π. 100π 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——达标评价 1.将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为(　　) A.2π B.3π C.4π D.6π 解析:由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个球面面积，则S=π×12+×4×π×12=3π. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.一个长、宽、高分别为80 cm、60 cm、100 cm的长方体形状的水槽装有适量的水，现放入一个直径为40 cm的木球(水没有溢出).如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面升高了 (　　) A. cm B. cm C. cm D. cm √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:直径为40 cm的木球，一半在水中，一半在水上，可得木球在水中的体积V=×πR3= cm3.∵木球在水中的体积等于水槽上升的体积，水槽上升的体积为Sh，∴水槽上升的高度h==.故选B. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.用与球心距离为的平面去截球，截面面积为π，则球的体积为(　　) A. B. C.8π D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设截面半径为r，球的半径为R，截面与球心距离为d=.由题意得，截面面积S=πr2=π，解得r=1.因为R2=r2+d2=1+3=4，所以R=2.所以球的体积V=πR3=.故选A. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4 m，底面直径和球的直径都是0.6 m，现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶(精确到个位数) (　　) A.176克 B.207克 C.239克 D.270克 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由已知得圆锥的母线长l==0.5，所以台灯表面积为S=πrl+2πr2=π×0.3×0.5+2π×0.32=0.33π.需要涂胶的重量为0.33π×200=66π≈66×3.14=207.24≈207(克)，故选B. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和2，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为(　　) A. B. C. D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题意，将直三棱柱ABC-A1B1C1补成长方体，如图所示， 则该长方体的体对角线为=4，设长方体的外接球的半径为R，则2R=4，R=2，所以该长方体的外接球的体积V=πR3=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.将一个棱长为6的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积为　　　　.  解析:正方体的棱长为6，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体，则球的直径为6，半径为3.∴可能制作的最大零件的体积为V=π×33=36π. 15 36π 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有　　　　个公共点.  解析:如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为. 15 12 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 而正方体的中心到每一条棱的距离均为，所以以EF为直径的球与每一条棱均相切.所以共有12个公共点. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为　　　　　.  解析:满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V-ABC， 15 3π 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 VA=AB=BC=1，VB=AC=.其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R=.所以该四面体外接球的表面积为4π×=3π. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(8分)某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，若图中r=1，l=3，试求该组合体的表面积和体积. 解:该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π，该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(12分)在高一年级一次社会实践活动中，一组学生的任务是用数控机床把一个半径为2的铝合金球加工成一个工件，这个工件是具有公共底面圆的两个圆锥形(如图)，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，已知圆锥底面面积是这个球面面积的. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (1)求此次加工工件的利用率(加工成品工件的体积与球的体积之比)； 解:设球半径为R，圆锥底面半径为r. ∵πr2=×4πR2，∴r=R=. 如图，设较大圆锥与较小圆锥的高分别为h1，h2， 则V工件=V1+V2=πr2(h1+h2)=π()2×4=4π， 加工工件的利用率==. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求工件的表面积. 解:由题意知，OC=R=2，O1C=r=.∴OO1==1. ∴BO1=h1=3，AO1=h2=1. 得大、小圆锥的母线长为l1=2，l2=2，大、小圆锥的侧面积之和为S=S1+S2=πr(l1+l2)=π×(2+2)=2(3+)π. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——重点培优 11.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为(　　) A.16 B.16 C. D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:若正方体的棱长为2，则其内切球的半径r=1，∴正方体的内切球的体积V球=π×13=π.又已知=，∴V牟合方盖=×π=.故选C. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(2023·新课标Ⅰ卷)(多选)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有 (　　) A.直径为0.99 m的球体 B.所有棱长均为1.4 m的四面体 C.底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体 D.底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体 √ 15 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为棱长为1 m的正方体的内切球的直径为1 m，所以A正确； 因为棱长为1 m的正方体中可放入棱长为 m的正四面体，且 >1.4，所以B正确；因为正方体的棱长为1 m，体对角线长为 m，<1.8，所以高为1.8 m的圆柱体不可能整体放入正方体容器中，所以C不正确； 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 因为正方体的体对角线长为 m，且>1.2，设正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，以AC1为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心O1到正方体的表面的最近的距离为h m，如图，结合对称性可知，OC1=C1A=，C1O1=OC1-OO1=-0.6，则=，即=，解得h=->0.01，所以能够被整体放入正方体内，所以D正确.故选A、B、D. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为　　　　.  解析:如图，构造正方体ANDM-FBEC.因为三棱锥A-BCD的所有棱长都为，所以正方体ANDM-FBEC的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为. 15 3π 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 易知三棱锥A-BCD的外接球就是正方体ANDM-FBEC的外接球，所以三棱锥A-BCD的外接球的半径为.所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S球=4π×=3π. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.如图，圆台O1O2中，O1O2=，其外接球的球心 O在线段O1O2上，上、下底面的半径分别为r1=1， r2=，则圆台外接球的表面积为　　　　.  解析:设外接球半径为R，则+=， 解得R2=.所以圆台外接球的表面积为4πR2=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15.(16分)球的一个内接圆锥满足:球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，求该圆锥的体积和此球体积的比值. 解:①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为 =，高为. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 该圆锥的体积为×π××=πr3，球的体积为πr3， ∴该圆锥的体积和此球体积的比值为=. ②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时， 该圆锥的体积和此球体积的比值为. 15 $$