11.1.2 构成空间几何体的基本元素（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

构成空间几何体的基本元素 (教学方式:基本概念课——逐点理清式教学) 11.1.2 课时目标 1.掌握构成几何体的基本元素及平面的表示方法.了解空间中的点、线、面和几何体之间的关系. 2.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系.理解直线与平面垂直的概念. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　空间中的点、线、面 逐点清(二)　空间中点与直线、 直线与直线的位置关系 逐点清(三)　空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 课时跟踪检测 4 逐点清(四)　直线与平面垂直 5 逐点清(一)　空间中的点、线、面 01 多维理解 1.基本元素 (1)构成空间几何体的基本元素是_____、_____、_____. (2)从运动的观点理解空间基本图形之间的关系:点动成线，线动成面，面动成体. 点 线 面 2.平面 (1)平面的画法:①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍；②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线. (2)平面的表示方法:①一个希腊字母:如α，β，γ等；②两个大写英文字母:表示平面的平行四边形的相对的两个顶点；③四个大写英文字母:表示平面的平行四边形的四个顶点. 1.下列不属于构成空间几何体的基本元素的是 (　　) A.点 B.线段 C.曲面 D.多边形(不包括内部的点) √ 微点练明 2.图中的几何体的顶点、棱和面的数目分别是 (　　) A.4，5，3 B.4，5，4 C.4，6，4 D.4，6，3 √ 3.根据如图所示的棱柱，回答下列问题: (1)6个顶点可以表示为　 　　　　　　　　　；  (2)9条棱可以表示为　　 　　　　　　　　  ____________________________； A，B，C，A1，B1，C1　 AB，BC，AC，A1B1，B1C1，A1C1，AA1， BB1，CC1 (3)5个平面可以表示为______________________________________ ____________________________；  (4)棱柱可以表示为_________________________.  平面ABC，平面A1B1C1，平面AA1B1B， 平面BB1C1C，平面AA1C1C 三棱柱ABC-A1B1C1 逐点清(二)　空间中点与直线、直线与直线的位置关系 02 多维理解 1.点与直线的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 点A在直线l上 ______ 点A不在直线l上 ______ A∈l A∉l 2.直线与直线的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 平行 _______ _____ 相交 _______ 有且只有一个 异面 _______ m∥l m∩l=A 零个 零个 3.异面直线的定义 一般地，空间中的两条直线，可以既_______，也________，此时称这两条直线异面. 这就是说，如果a，b是空间中的两条直线，则a∩b≠∅与a∩b=∅有且只有一种情况成立.而且，当a∩b=∅时，a与b要么______ (记作a∥b)，要么________. 不平行 不相交 平行 异面 1.已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则 (　　) A.m与n异面 B.m与n相交 C.m与n平行 D.m与n异面、相交、平行均有可能 √ 微点练明 解析:空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n可能平行(图1)，也可能相交(图2)，也可能异面(图3). 2.如图中的长方体，(1)直线AB可简记为l，此时，A，B都是l上的点，且A1，B1都不是l上的点，这可用符号简写为　　 　　　　　　　 　.  A∈l，B∈l，A1∉l，B1∉l (2)如果记图中顶点B，B1确定的直线为m，顶点C，C1确定的直线为k，则有m与l相交(即有公共点)，k与l不相交(即没有公共点)，这可分别表示为　　　　　　　　　　　　　　　.  (3)因为m与l相交于点B，所以　　　　　　，一般简写为　 　　　.  m∩l=B，k∩l=∅ B∈m且B∈l m∩l=B 3.如图，观察正方体ABCD -A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系: ①直线A1B与直线D1C的位置关系是　　　　；  ②直线A1B与直线B1C的位置关系是　　　　； 平行 异面 ③直线D1D与直线D1C的位置关系是　　　　；  ④直线AB与直线B1C的位置关系是　　　　.  解析:直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1内，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”.直线D1D与直线D1C相交于点D1，所以③应该填“相交”.点A1，B，B1在平面A1BB1内，而点C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面.同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④均应该填“异面”. 相交 异面 逐点清(三)　空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 03 多维理解 1.点与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 A是平面α内的点(或点A在平面α内) _______ A不是平面α内的点(或点A不在平面α内) _______ A∈α A∉α 2.直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 直线l在平面α内(或平面α过直线l) _____ 有无数个公共点 直线l与平面α相交 ________ 有且只有一个公共点 直线l与平面α平行 ______ ___________ l⊂α l∩α=A l∥α 没有公共点 3.两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 平面α与平面β相交 ___________ 或_________ 有无数个公共点 平面α与平面β平行 _______ 没有公共点 α∩β≠∅ α∩β=l α∥β 1.若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作 (　　) A.Q∈b∈β　　　　　　　 B.Q∈b⊂β C.Q⊂b⊂β D.Q⊂b∈β 解析:∵点Q在直线b上，∴Q∈b.又直线b在平面β内，∴b⊂β.∴Q∈b⊂β. √ 微点练明 2.如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系: (1)点C与平面β:　　　　；  (2)点A与平面α:　　　　；  C∉β A∉α (3)直线AB与平面α:　 　　　；  (4)直线CD与平面α:　　　　；  (5)平面α与平面β:　 　　　.  AB∩α=B CD⊂α α∩β=BD 3.给出如下点、线、面的图示. (1)如何用文字语言表述以上点、线、面的位置关系? 解:文字语言: 题图①中点A在平面α外，点B在平面α内，直线l经过点A，B，直线l与平面α相交. 题图②中平面α和β相交于直线a， 直线b经过α内不在直线a上的点P且经过β内不在直线a上的点Q. (2)如何用数学符号语言表述上述关系? 解:数学符号语言: 题图①:A∉α，B∈α，A∈l，B∈l，l∩α=B. 题图②:α∩β=a，P∉a，Q∉a，P∈α，Q∈β，P∈b，Q∈b，b∩α=P，b∩β=Q. 逐点清(四)　直线与平面垂直 04 1.线面垂直定义 一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内______________ 的直线m，都有______，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作_______，其中点A称为垂足. 多维理解 任意一条过点A l⊥m l⊥α 2.点到平面的距离 给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的____________.如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的_______ (也称为投影)，线段AB为平面α的垂线段，____________为点A到平面α的距离. 一条垂线 射影 AB的长 3.线面、面面之间的距离 (1)当直线与平面平行时，直线上____________到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离； (2)当平面与平面平行时，一个平面上____________到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离. 任意一点 任意一点 1.同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线 (　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 微点练明 √ 解析:由题意，若笔所在直线与桌面垂直，则在桌面总有这样的直线，使得它与笔所在直线垂直；若笔所在直线与桌面不垂直，则其必在桌面上有一条投影线，在平面内一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此直线垂直.综上，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线垂直.故选D. 2.(多选)对于长方体ABCD-A1B1C1D1中的点、线、面的位置关系，下列说法正确的是 (　　) A.直线AA1与直线CC1平行 B.直线AA1与平面C1D1DC相交 C.直线AA1与平面A1B1C1D1垂直 D.点A1与点B1到平面ABCD的距离相等 √ √ √ 解析:连接A1C1，AC(图略)，由于直线AA1与直线CC1同在平面AA1C1C内，且没有交点，因此直线AA1与直线CC1平行，A正确；直线AA1与平面C1D1DC没有交点，因此直线AA1与平面C1D1DC平行，B不正确；平面A1B1C1D1内任意一条过点A1的直线都与直线AA1垂直，因此直线AA1与平面A1B1C1D1垂直，C正确；点A1到平面ABCD的距离为线段AA1的长，点B1到平面ABCD的距离为线段BB1的长，A1A=BB1，因此点A1与点B1到平面ABCD的距离相等，D正确. 3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，BC=2，BB1=3，则点B到上底面A1B1C1D1的距离为 (　　) A.4 B.2 C.2 D.3 √ 解析:∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1的长度为点B到平面A1B1C1D1的距离，故点B到上底面A1B1C1D1的距离为3. 4.平面α∥β，点A，C∈α，点B，D∈β，如果AB+CD=28，且AB，CD在β内射影长分别为5和9，则平面α与β间的距离为　　　　.  解析:如图，作AE⊥β，CF⊥β，连接BE，FD.由题意可知，BE=5，DF=9.设AB=x，CD=28-x，则x2-25=(28-x)2-81，解得x=13.∴平面α与平面β间的距离AE==12. 12 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.(多选)如图，下列表示平面的方法正确的是 (　　) A.平面α B.平面AB C.平面AC D.平面ABCD √ √ √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析:平面可用希腊字母α，β，γ表示，故A正确；平面可用平行四边形的对角线表示，故C正确；平面可用平行四边形的顶点表示，故D正确；平面不可用平行四边形的某条边表示，故B不正确，故选A、C、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则 (　　) A.P∉α，Q∈α　　　　　 B.P∈α，Q∉α C.P∉α，Q∉α D.Q∈α 解析:因为Q∈m，m⊂α，所以Q∈α.因为P∉m，所以有可能P∈α，也可能有P∉α.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的 (　　) A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交 解析:直线a∥平面α，则a与α无公共点，即与α内的直线均无公共点.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.若直线a在平面γ外，则 (　　) A.a∥γ B.a与γ至少有一个公共点 C.a∩γ=A D.a与γ至多有一个公共点 解析:直线a在平面γ外，其包括直线a与平面γ相交或平行两层含义，故a与γ至多有一个公共点.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知点A，直线a，平面 α，以下命题表述正确的个数是 (　　) ①A∈a，a⊄α⇒A∉α； ②A∈a，a∈α⇒A∈α； ③A∉a，a⊂α⇒A∉α； ④A∈a，a⊂α⇒A⊂α. A.0　　　　 B.1 C.2　　　　 D.3 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:①不正确，如a∩α=A；②不正确，“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.(多选)经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作 (　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 解析:若两点所在的直线与平面平行，则可以作1个，否则为0个.故选A、B. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中，P是平面ABCD内一点，则点P到平面A'B'C'D'的距离是 (　　) A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4 解析:两平面平行，则一个平面内任意一点到另一个平面的距离相等，所以点P到平面A'B'C'D'的距离等于棱长2，故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(多选)如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是共面直线的图是 (　　) 解析:A、B中直线PQ与RS是平行直线，D中直线PQ与RS是相交直线，而C中直线PQ与RS是异面直线.故选A、B、D. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.有如下命题，其中错误的命题是 (　　) A.若直线a⊂α，且α∥β，则直线a与平面β的距离等于平面α，β间的距离 B.若平面α∥平面β，点A∈α，则点A到平面β的距离等于平面α，β间的距离 C.两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离 D.两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:若直线a⊂α，且α∥β，则直线a与平面β的距离等于平面α，β间的距离，故A正确；若平面α∥平面β，点A∈α，则点A到平面β的距离等于平面α，β间的距离，故B正确；当两条平行直线所在的平面与两个平行平面垂直时，这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离，当两条平行直线所在的平面与两个平行平面不垂直时，这两条直线间的距离不等于这两个平行平面间的距离，故C错误； 两条异面直线分别在两个平行平面内，则异面直线间的距离等于这两个平行平面间的距离，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么下列选项中的两条直线是异面直线的是 (　　) A.AB与CD B.AB与EF C.AB与GH D.EF与GH √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:将正方体的展开图折起还原成正方体，折起以后各点的位置，如图所示，由正方体的性质知，选项中成异面直线关系的有AB与CD，AB与EF，EF与GH.又点B与点H重合，故AB与GH相交于点B，故选A、B、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面A1BCD1、面BB1D1D及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有　　　　个.  解析:如图所示，结合图形可知AA1∥平面BC1， AA1∥平面DC1， AA1∥平面BB1D1D. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.观察如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1，和棱A1B1不相交的棱有　　　　_________条.  7 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱A1B1和与其不相交的棱的位置关系有平行和异面两种.其中和棱A1B1平行的棱有C1D1，CD，AB；和棱A1B1异面的棱有AD，BC，CC1，DD1.综上可知，和棱A1B1不相交的棱一共有7条. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)指出构成如图所示的各几何体的基本元素. 解:(1)为正六棱柱，有12个顶点、18条棱、8个面.(2)为圆柱， 有2条曲线(圆)、3个面(2个平面和1个曲面). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(12分)用符号和图形表示下列语句: (1)A，B两点既在平面α内，又在平面β内，则直线AB是平面α与平面β的交线； 解:因为A，B两点既在平面α内，又在平面β内，则直线AB是平面α与平面β的交线， 符号表示为A∈α，B∈α，A∈β，B∈β， 则α∩β=AB. 图形表示如图①: 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)两条相交直线a和b都在平面α内； 解:因为两条相交直线a和b都在平面α内， 符号表示为a∩b=P，a⊂α，b⊂α， 图形表示如图②: 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)直线a在平面α内，直线b在平面α外，a与b相交于一点M. 解:直线a在平面α内，直线b在平面α外，a与b相交于一点M， 符号表示为a⊂α，b⊄α，a∩b=M， 图形表示如图③: 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(18分)三个平面分空间有几种情况?试画图说明每种情况可把空间分成几个部分? 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:三个平面共有5种情况.三个平面可把空间分成4(如图①)，6(如图②③)，7(如图④)或8(如图⑤)个部分. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (1)当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图①； (2)当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图②； (3)当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图③； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (4)当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图④； (5)当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图⑤. $$