10.1.1 复数的概念（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

第十章 复 数 复数的概念 (教学方式:基本概念课——逐点理清式教学) 10.1.1 课时目标 1.了解复数的概念，能类比有理数扩充到实数系的过程和方法，通过方程的解认识复数. 2.能描述复数代数表示式的结构特征，正确判断复数的实部、虚部. 3.知道复数集、实数集、虚数集与纯虚数集之间的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　复数的概念 逐点清(二)　复数的分类 逐点清(三)　复数相等 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　复数的概念 01 多维理解 1.虚数单位 一般地，为了使得方程x2=-1有解，人们规定i的平方等于-1，即i2=______，并称i为____________. -1 虚数单位 2.复数的定义及表示方法 定义 一般地，当a与b都是实数时，称_______为复数 表示 方法 复数一般用小写字母z表示，即z=_______________，其中a称为z的______，b称为z的_______，分别记作Re(z)=a，Im(z)=b a+bi a+bi(a，b∈R) 实部 虚部 |微|点|助|解| (1)虚数单位i性质的关注点:i2=-1的理解:并没有规定i=±还是i=或i=-，在今后的学习中，我们将知道=±i但不能说i=±. (2)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a+bi(a，b∈R)的形式，其中0=0+0i和实数之间能进行加法、乘法运算. (3)复数的虚部是实数b而非bi. (4)复数z=a+bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是. 1.若复数z的实部和虚部之和为3，则复数z可以是 (　　) A.3-i B.3+i C.-1+4i D.1+3i √ 微点练明 2.已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相等，则实数a等于 (　　) A.-3 B.3 C.-1 D.1 解析:复数z1=1+3i的实部为1.复数z2=-1-ai的虚部为-a，则-a=1，解得a=-1. √ 3.以-+7i的虚部为实部，以i+5i2的实部为虚部的复数是(　　) A.7-5i B.-+i C.5+i D.+i 解析:设所求复数为z=a+bi(a，b∈R)，由题意知复数-+7i的虚部为7， 所以a=7.复数i+5i2=-5+i的实部为-5，所以b=-5，故z=7-5i. √ 4.若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为　　　　.  解析:由条件知a2-3+2a=0，∴a=1或a=-3. 1或-3 逐点清(二)　复数的分类 02 多维理解 1.复数集 定义 ___________组成的集合称为复数集 表示 复数集通常用大写字母C表示，C=_____________________ 所有复数 {z|z=a+bi，a，b∈R } 2.复数的分类 b=0 b≠0 a=0 (2)集合表示: |微|点|助|解| (1)两个复数不一定能比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小;两个虚数或一个虚数与一个实数不能比较大小，即两个复数除去都是实数外，没有大小关系. (2)复数分类问题的求解方法与步骤 ①化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. ②定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为a+bi(a，b∈R)的形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. ③下结论:设所给复数为z=a+bi(a，b∈R)，则z为实数⇔b=0;z为虚数⇔b≠0;z为纯虚数⇔a=0且b≠0.a=0是z=a+bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件. 1.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为 (　　) A.1 B.2 C.-1或-2 D.1或2 解析:由得a=2，故选B. √ 微点练明 2.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是 (　　) A.|a|=|b| B.a<0且a=-b C.a>0且a≠b D.a≤0 解析:复数z为实数的充要条件是a+|a|=0，故a≤0. √ 3.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i，z2=2a+(a2+a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为　　　　.  解析:由z1>z2，得即解得a=0. 0 4.当m为何实数时，复数z=+(m2-2m-15)i是: (1)虚数; 解:当 即m≠5且m≠-3时，z是虚数. (2)纯虚数; 解:当 即m=3或m=-2时，z是纯虚数. (3)实数. 解:当即m=5时，z是实数. 逐点清(三)　复数相等 03 多维理解 1.复数相等的概念 两个复数z1与z2，如果______与_____都对应相等，就说这两个复数相等，记作_______. 2.复数相等的充要条件 如果a，b，c，d都是实数，那么a+bi=c+di⇔________________. 特别地，a+bi=0的充要条件是____________. 实部 虚部 z1=z2 a=c且b=d a=0且b=0 |微|点|助|解| (1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a+bi=c+di⇔a=c且b=d.若忽略前提条件，则结论不能成立. (2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解. 1.满足x-3i=(8x-y)i的实数x，y的值为 (　　) A.x=0且y=3 B.x=0且y=-3 C.x=5且y=3 D.x=3且y=0 解析:依题意得解得故选A. √ 微点练明 2.若复数(m-2)+m(m-2)i=0，则实数m= (　　) A.2 B.3 C.0 D.1 解析:因为复数(m-2)+m(m-2)i=0，则有解得m=2. √ 3.复数z1=a+|b|i，z2=c+|d|i(a，b，c，d∈R)，则z1=z2的充要条件是　　　　　　　.  解析:由复数相等定义可得，z1=z2等价于a=c且|b|=|d|，所以z1=z2的充要条件为a=c且b2=d2. a=c且b2=d2 4.关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根，则实数a的值为　　　　.  解析:设方程的实数根为x=m，则3m2-m-1=(10-m-2m2)i，∴解得a=11或a=-. 11或- 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.以3i-的虚部为实部，以3i2+i的实部为虚部的复数是(　　) A.3-3i B.3+i C.-+i D.+i 解析:3i-的虚部为3，3i2+i=-3+i的实部为-3，故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.下列说法正确的是 (　　) A.2+i大于2-i B.若z1=z2，则z1，z2一定都是实数 C.若复数z满足-1<z<1，则z一定是实数 D.若z1>z2，则z1-z2不一定大于零 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 解析:虚数不能比较大小，故A错误;两个虚数的实部和虚部相等，则这两个虚数相等，故B错误;若复数z满足-1<z<1，则z一定是实数，故C正确;若z1>z2，则z1-z2一定大于零，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.复数z=+(a2-1)i(a∈R)是实数，则实数a的值为(　　) A.1或-1 B.1 C.-1 D.0或-1 解析:因为复数z=+(a2-1)i是实数，且a为实数，则解得a=-1.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.若x+(y-2)i=3y-(x-2)i(x，y∈R)，则x-yi= (　　) A.3-i B.i-3 C.10 D. 解析:因为x+(y-2)i=3y-(x-2)i，所以解得故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.设集合A={实数}，B={纯虚数}，C={复数}，若全集S=C，则下列结论正确的是 (　　) A.A∪B=C B.A=B C.A∩(∁SB)= ∅ D.(∁SA)∪(∁SB)=C 解析:集合A，B，C的关系如图所示，可知只有(∁SA)∪(∁SB)=C正确.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.若(x+y)i=x-1(x，y∈R)，则2x+y的值为 (　　) A. B.2 C.0 D.1 解析:由复数相等的充要条件知，解得 ∴x+y=0.∴2x+y=20=1.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:若ab=0，则a=0或b=0;当b=0时，a+bi为实数，此时复数a+bi不是纯虚数，充分性不成立;若复数a+bi为纯虚数，则a=0且b≠0，此时ab=0，必要性成立.所以“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数”的必要不充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.若复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数，则 (　　) A.a=-1 B.a≠-1且a≠2 C.a≠-1 D.a≠2 解析:复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数，则有a2-a-2≠0或|a-1|-1=0，解得a≠-1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(多选)已知复数z=sin θ-icos 2θ(0<θ<2π)的实部与虚部互为相反数，则θ的值可以为 (　　) A. B. C. D. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:由条件知，sin θ=cos 2θ，∴2sin2θ+sin θ-1=0，解得sin θ=-1或.∵0<θ<2π，∴θ=或.故选A、C、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是　 　　　.  解析:由已知可得a2>2a+3，即a2-2a-3>0，解得a>3或a<-1.所以实数a的取值范围是{a|a>3或a<-1}. {a|a>3或a<-1} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.若(m2-1)+(m2-2m)i>1，则实数m的值为　　　　.  解析:由题意得解得m=2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(12分)已知M={1，(m2-2m)+(m2+m-2)i}，P={-1，1，4i}，若M∪P=P，求实数m的值. 解:∵M∪P=P，∴M⊆P. 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1， 得解得m=1; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i， 得 解得m=2.综上可知，m=1或m=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(13分)已知复数z1=4-m2+(m-2)i，z2=λ+sin θ+(cos θ-2)i，其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R. (1)若z1为纯虚数，求m的值; 解:由z1为纯虚数，则 解得m=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若z1=z2，求λ的取值范围. 解:由z1=z2，得∴λ=4-cos2θ-sin θ=+.∵-1≤sin θ≤1，∴当sin θ=时，λmin=， 当sin θ=-1时，λmax=+=5.∴实数λ的取值范围是. $$