10.2.2 复数的乘法与除法（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

复数的乘法与除法 (教学方式:基本概念课——逐点理清式教学) 10.2.2 课时目标 1.掌握复数的乘法和除法运算.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 2.掌握在复数范围内解方程的方法. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　复数的乘法 逐点清(二)　复数的除法 逐点清(三)　实系数一元二次 方程在复数范围内的解集 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　复数的乘法 01 多维理解 1.复数的乘法的定义 一般地，设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2=(a+bi)(c+di)=________________________. (ac-bd)+(ad+bc)i 2.复数乘法的运算律 (1)对任意复数z1，z2，z3，有 交换律 z1z2=_________ 结合律 (z1z2)z3=_______________ 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=______________ z1(z2z3) z1z2+z1z3 z2z1 (2)n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方(或n次幂)，并记作____. 当m，n均为正整数时，zmzn=______，(zm)n=_____，(z1z2)n=. (3)i的乘方运算性质 i4n+1= 　　 ;i4n+2=_____;i4n+3=_____;i4n=　 　.  (4)两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)_____________. zn zm+n zmn i -1 -i 1 模的平方 |微|点|助|解| 　　实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立，如: (1)当z∈R时，有|z|2=z2;当z∈C时，有|z|2∈R，而z2∈C，故|z|2和z2不能进行比较.例如，当z=1+i时，|z|2=2，z2=2i，此时2和2i不能进行比较. (2)当m，n∈R时，有m2+n2=0⇔m=n=0;当z1，z2∈C时，+=0⇒/z1=z2=0，但z1=z2=0⇒+=0. 需注意z1z2=0的充要条件是z1=0或z2=0.依据复数的乘法运算可得z1z2=0⇔|z1z2|=0⇔|z1||z2|=0⇔z1=0或z2=0. 1.复数(3+2i)i等于 (　　) A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i 解析: (3+2i)i=3i+2i·i=-2+3i，故选B. √ 微点练明 2.设i为虚数单位，则i+i2+i3+…+i2 027的值为 (　　) A.i+1 B.i-1 C.i D.-1 解析:因为i+i2+i3+i4=0，in的取值周期为4，所以i+i2+i3+…+i2 026+i2 027=506×0+i+i2+i3=i-1-i=-1. √ 3.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:因为(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A. √ 4.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞，1) B.(-∞，-1) C.(1，+∞) D.(-1，+∞) 解析:由题意，得z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i，因为z在复平面内对应的点在第二象限，所以解得a<-1，故选B. √ 5.已知复数z1=1-2i，z2=1+bi，若=7-i，则实数b=(　　) A.1 B.2 C.3 D.-1 解析:因为=·=(1+2i)(1-bi)=1+2b+(2-b)i=7-i，所以1+2b=7，2-b=-1，解得b=3.故选C. √ 逐点清(二)　复数的除法 02 多维理解 1.复数的除法的定义 (1)如果复数z2≠0，则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z=_______(或z=_________)，z1称为被除数，z2称为除数. (2)当z为非零复数且n是正整数时，规定z0=　 　，z-n=_________.　  z1÷z2 1  　 2.复数倒数的运算 设z=a+bi，则=__________，且=. 3.复数的除法法则 设z1=a+bi，z2=c+di(c+di≠0)，==__________________. 4.常用公式 (1)=-i;(2)=i;(3)=-i. +i 1.(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=，则z-=(　　) A.-i B.i C.0 D.1 解析:因为z===-，所以=，所以z-=--=-i.故选A. √ 微点练明 2.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i是虚数单位)，则z= (　　) A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 解析:∵z(2-i)=11+7i，∴z====3+5i. √ 3.(2023·全国甲卷)=(　　) A.-1 B.1 C.1-i D.1+i 解析:由题意知，===1-i，故选C. √ 4.(多选)已知复数z满足=2+i，则(　　) A.z的虚部为-1 B.|z|= C.z在复平面内对应的点在第四象限 D.z6=-8i √ √ √ 解析:因为=2+i，所以1-=2+i，所以z====-1-i，z的虚部为-1，故A正确;|z|==，故B正确;z在复平面内对应的点的坐标为(-1，-1)，在第三象限，故C错误;因为z2=(-1-i)2=1+2i+i2=2i，所以z6==(2i)3=-8i，故D正确. 5.已知复数z满足z(3+i)=3+i2 023，则z的共轭复数的虚部为(　　) A.-i B.i C.- D. 解析:由z(3+i)=3+i2 023，得z====-i，所以=+i，所以z的共轭复数的虚部为. √ 逐点清(三)　实系数一元二次 方程在复数范围内的解集 03 [典例]　已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值; 解:∵1+i是方程x2+bx+c=0的根， ∴(1+i)2+b(1+i)+c=0，即(b+c)+(2+b)i=0. ∴解得b=-2，c=2. (2)试判断1-i是不是方程的根. 解:由(1)知方程为x2-2x+2=0， 把1-i代入方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0，显然方程成立， ∴1-i也是方程的一个根. |思|维|建|模| 1.复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为 (1)当Δ≥0时，x=; (2)当Δ<0时，x=.　 2.利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni(m，n∈R)，将其代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解. 1.已知2-i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，则实数p，q分别为 (　　) A.p=4，q=-11 B.p=-4，q=3 C.p=4，q=-3 D.p=-4，q=5 解析:因为2-i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，所以(2-i)2+p(2-i)+q=0， √ 微点练明 即(3+2p+q)-(4+p)i=0.所以 解得 2.在复数范围内，写出方程z2-4z+21=0的一个解:z=　 　　　.  解析:由z2-4z+21=(z-2)2+17=0，得(z-2)2=-17，则z-2=±i，所以z=2±i. 2+i(答案不唯一) 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.(2024·全国甲卷)设z=i，则z·=(　　) A.-2 B. C.- D.2 解析:因为z=i，所以=-i，z·=2，故选D. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.i(3-i)的共轭复数为 (　　) A.3+i B.3-i C.1+3i D.1-3i 解析:由题意得z= i·(3-i)=1+3i，所以=1-3i，故选D. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.(2022·新课标Ⅰ卷)若i(1-z)=1，则z+=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:因为i(1-z)=1，所以z=1-=1+i，所以=1-i，所以z+=(1+i)+(1-i)=2. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.(2022·全国甲卷)若z=-1+i，则=(　　) A.-1+i B.-1-i C.-+i D.--i 解析:===-+i，故选C. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.若复数z满足(1+i)z=|1+i|，则z的虚部为 (　　) A.-i B.- C. D.- 解析:由(1+i)z=|1+i|=，得z===-i，所以z的虚部为-.故选B. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.(多选)若复数z满足(2+i)z+5i=0，则 (　　) A.z的虚部为-2 B.=1+2i C.z在复平面内对应的点位于第二象限 D.|z4|=25 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意，得z==-1-2i，虚部为-2，故A正确;=-1+2i，故B错误;z在复平面内对应的点为(-1，-2)，位于第三象限，故C错误;|z4|=|z|4=()4=25，故D正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.如图，若向量对应的复数为z，且|z|=，则=(　　) A.+i 　　　　B.--i C.-i 　　　　D.-+i 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意，设z=-1+bi(b>0)，则|z|==，解得b=2，即z= -1+2i，所以====-+i. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(多选)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2+px+2=0的两根为x1，x2，其中x1=1+i，则 (　　) A.p=2 B.x2=1-i C.x1·=-2i D.=i 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为实系数一元二次方程x2+px+2=0的两根为x1，x2且x1=1+i，所以x1x2=2，可得x2===1-i，故B正确;又x1+x2=1+i+1-i=2=-p，所以p=-2，故A错误;由=1+i，所以x1·=(1+i)2=2i≠-2i，故C错误;====i，故D正确.故选B、D. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.已知a为实数，若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数，则=(　　) A.i B.-i C.1 D.-1 解析:因为复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数，则解得a=1.所以====-i.故选B. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.在复平面内，复数 (i为虚数单位)对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为(　　) A. B.1 C.i D.i 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:复数==-i，故A点在复平面的坐标为，复数==+i，故B点在复平面的坐标为.又点C为线段AB的中点，故点C在复平面内的坐标为，故所对应的复数为. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(多选)已知复数z=，则(　　) A.z的虚部是-i B.=1+i C.z·=|z|2=4 D.z是方程x2-2x+4=0的一个根 16 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为z===1-i.则z的虚部是-，故A错误;=1+i，故B正确;因为z·=(1-i)(1+i)=4，|z|==2，所以z·=|z|2=4，故C正确;因为x2-2x+4=0， 即(x-1)2=-3，解得x=1±i，所以方程x2-2x+4=0的复数根为1±i，即z是方程x2-2x+4=0的一个根，故D正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(多选)设z1，z2，z3为复数，且z1≠z2.下列命题正确的是 (　　) A.若z1z3=z2z3，则z3=0 B.若z1=z3，则=z1z3 C.若|z1-z2|=|z1+z2|，则z1z2=0 D.若=z3，则|z1z2|=|z1z3| 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:若z1z3=z2z3，则z1z3-z2z3=(z1-z2)z3=0，因为z1≠z2，则z1-z2≠0，所以z3=0，故A正确;若z1=z3，则=z1z3，因为与不一定相等，所以，z1z3不一定相等，故B错误;设z1=a+bi，z2=c+di，所以z1+z2=(a+c)+(b+d)i，z1-z2=(a-c)+(b-d)i，因为|z1-z2|=|z1+z2|，则 =，整理得ac+bd=0. 又因为z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i不一定等于0，故C错误; 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为z3==c-di，则z1z3=(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i，由C可知，因为|z1z2|= =， |z1z3|= =， 所以|z1z2|=|z1z3|，故D正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.已知复数z=是z的共轭复数，则·z=　　　　.  解析: 因为z====-+i，所以·z==+=. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.写出一个同时具有下列两个性质的复数z=　 　 　　.  性质1:|z-|=2　性质2:z·=4 解析:设z=a+bi，a，b∈R，则=a-bi，从而z-=(a+bi)-(a-bi)=2bi，因为|z-|=2，所以|2b|=2，解得b=±1.因为z·=4，所以(a+bi)·(a-bi)=a2+b2=4，解得a=±，所以z=±±i. 16 ±±i(写出其中一个即可) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.已知k∈R，若关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实数根a，则a=　　　　.  解析:因为关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实数根a，所以a2+(k+2i)a+2+ki=0，整理得a2+ka+2+(2a+k)i=0，所以 解得或经检验可知，a=±符合题意. 16 ± 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下(i为虚数单位):甲:z+=2;乙:z-=2i;丙:z·=4;丁:=.在甲、乙、丙、丁四人的陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z=　　　　.  解析:设z=a+bi(a>0，b>0)，则=a-bi， ∴z+=2a，z-=2bi，z·=a2+b2，=. 16 1+i 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∵z·=4与=不可能同时成立， ∴丙、丁两人的陈述不能同时正确;当z-=2i时，b2=3>2. ∴=不成立.∴乙、丁两人的陈述不能同时正确;当甲、乙两人的陈述正确时，a=1，b=，则丙也正确，不合题意;当甲、丙两人的陈述正确时，a=1，b=，则乙也正确，不合题意;当乙、丙两人的陈述正确时，b=，a=1，则甲也正确，不合题意.综上，甲、丁两人的 陈述正确，此时a=b=1，∴z=1+i. 16 阶段质量评价（二） $$