9.1.1 第1课时 正弦定理（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

第九章 解三角形 9.1.1 正弦定理 正弦定理 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明.　 2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.三角形的面积公式 一般地,若记△ABC的面积为S,则 S=absin C=______________=_____________.  acsin B bcsin A 2.正弦定理 文字语言 在一个三角形中,各边的长和它所对角的_______的比相等 符号语言 =_________=__________ 正弦 3.解三角形 我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的_________,已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形. 元素 4.正弦定理的常见变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径). (2)sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径). (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比,即a∶b∶c=sin A∶sin B∶ sin C. (4)===. (5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B.　 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦定理仅适用于非直角三角形.(　　) (2)在△ABC中,若c2>a2+b2,则△ABC为钝角三角形.(　　) (3)在△ABC中,若已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角的类型问题,则求解时都只有一个解.(　　) 基础落实训练 × √ √ 2.在△ABC中,A=60°,BC=,则△ABC外接圆的半径为(　　) A. B.1 C.2 D.3 解析:设R为△ABC外接圆的半径,则由正弦定理,得2R===2,解得R=1.所以△ABC外接圆的半径为1. √ 3.在△ABC中,A=45°,c=2,则AC边上的高等于　　　　.  解析:AC边上的高为ABsin A=csin A=2sin 45°=. 4.在锐角三角形ABC中,角A,B所对的边分别为a,b,若2asin B=b,则 A=　　　　.  解析:在△ABC中,利用正弦定理得2sin Asin B=sin B,∵sin B≠0,∴sin A=.又A为锐角,∴A=. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　已知两角和一边解三角形 [例1]　在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,c及三角形的面积. 解:由已知,得A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°) =45°.由=,得c== ==4(+1). 所以A=45°,c=4(+1),S△ABC=acsin B=×8×4(+1)×=24+8. |思|维|建|模| 已知两角及一边解三角形 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值; (2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一; (3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论. 针对训练 1.在△ABC中,若B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为 (　　) A.5 B.4 C.5 D.4 解析:根据题意得A=180°-135°-15°=30°,则此三角形的最大边是b,由正弦定理=,得b===5. √ 2.在△ABC中,若b=2,B=30°,C=135°,则a=　　　　　　.  解析:在△ABC中,可得A=180°-B-C=180°-30°-135°=15°, 又sin 15°=sin(45°-30°) =sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°= 由正弦定理得=,所以a===-. - 题型(二)　已知两边及一边的对角解三角形 [例2]　在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解三角形. 解:∵=, ∴sin C===. ∵0°<C<180°,∴C=60°或C=120°. 当C=60°时,B=75°,b===+1; 当C=120°时,B=15°,b===-1. ∴b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°. 1.若本例条件增加“b>a”,求△ABC的面积. 解:由例2知,b=+1,C=60°, 故S△ABC=×2×(+1)×=. 变式拓展 2.若把本例中的条件“A=45°”改为“C=45°”,试判断角A有几个值? 解:∵=,∴sin A===. ∵c=>2=a,∴C>A. ∴A为小于45°的锐角,且正弦值为,这样的角A只有一个. |思|维|建|模| 已知两边及其中一边的对角,解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值,进而求出这个角,注意是否有两组解; (2)用三角形内角和定理求出第三个角; (3)根据正弦定理求出第三条边.　 针对训练 3.在△ABC中,AB=2,AC=3,B=60°,则cos C等于 (　　) A. B. C. D. √ 解析:由正弦定理,得=, 即=,解得sin C=, ∵AB<AC,∴C<B,∴cos C==. 4.在△ABC中,a=1,b=,A=30°,求边c的长. 解:由=,得sin B==. ∵a<b,∴B>A=30°, ∴B=60°或B=120°. 当B=60°时,C=180°-60°-30°=90°. 此时,c= ==2. 当B=120°时, C=180°-120°-30°=30°.此时,c=a=1. 综上所述c=1或2. 题型(三)　三角形多解问题 [例3]　在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,不解三角形,确定下列判断正确的是 (　　) A.B=60°,c=4,b=5,有两解 B.B=60°,c=4,b=3.9,有一解 C.B=60°,c=4,b=3,有一解 D.B=60°,c=4,b=2,无解 √ 解析:因为B=60°,c=4,如图,AD⊥BD于D,由直角△ADB可得AD=c×sin 60°=2.当b=2或b≥4时,有一解;当b<2时,无解;当2<b<4时,有两解.结合四个选项,可知A、B、C三项错误. |思|维|建|模| 在△ABC中,已知a,b和角A时,解的情况   A为锐角 关系式 a<bsin A a=bsin A bsin A<a<b a≥b 图形 解的个数 无解 一解 两解 一解   A为钝角 关系式 a>b a≤b 图形 解的个数 一解 无解 续表 针对训练 5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列条件能确定三角形有两解的是 (　　) A.a=5,b=4,A=　　　 B.a=4,b=5,A= C.a=5,b=4,A= D.a=4,b=5,A= √ 解析:对于A,由正弦定理可知,=⇒sin B=.∵a>b,∴B<A=,故△ABC有一解;对于B,由正弦定理可知,=⇒sin B=. ∵b>a,∴B>A=,故△ABC有两解;对于C,由正弦定理可知, =⇒sin B=.∵A为钝角,∴B一定为锐角,故△ABC有一解; 对于D,由正弦定理可知,=⇒sin B=>1,故△ABC无解. 6.在△ABC中,若A=120°,c=10,如果△ABC可解,则边a的取值范围是　　　　.  解析:由题意,在△ABC中,若A=120°,则0°<C<60°,由正弦定理得=,∴sin C===.由△ABC可解,得0<sin C=<,解得a>10,故边a的取值范围是(10,+∞). (10,+∞) 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——达标评价 1.在△ABC中,a=4,A=45°,B=60°,则边b的值为(　　) A.+1 B.2+1 C.2 D.2+2 √ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 解析:由已知及正弦定理,得=, ∴b===2. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.在△ABC中,已知A=,a=,b=1,则c的值为(　　) A.1 B.2 C.-1 D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:由正弦定理=,得=,∴sin B=.由a>b,得A>B,∴B=,故C=,由勾股定理得c==2. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知△ABC中,b=4,c=2,C=30°,那么此三角形(　　) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由正弦定理和已知条件得=,∴sin B=>1.∴此三角形无解.故选C. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.(多选)以下关于正弦定理或其变形的叙述正确的是 (　　) A.在△ABC中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则a=b C.在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B;若A>B,则sin A>sin B D.在△ABC中,= √ √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由正弦定理易知A、C、D正确.由sin 2A=sin 2B,可得A=B,或2A+2B=π,即A=B或A+B=,∴a=b或a2+b2=c2,B错误. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(多选)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=2,sin B=sin 2A,则 (　　) A.sin B= B.cos A=- C.c=3 D.S△ABC=2 √ √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为sin B=sin 2A,所以sin B=2sin Acos A,b=2acos A.又a=3,b=2,所以 cos A=,sin A=,sin B=.又b<a,所以cos B=,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B==cos A,所以c=a=3,S△ABC=bcsin A=×2×3×=2.故选A、C、D. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在△ABC中,B=45°,b=,a=1,则A=　　　　.  解析:由正弦定理得,=,解得sin A=,所以A=30°或A=150°.又b>a,所以B>A,则A=30°. 30° 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC外接圆的面积为4π,请写出一组满足上述条件的边和角:a=　　　　,A=　 　　　.  解析:依题意,△ABC的外接圆半径R=2,由正弦定理得=2R=4,即a=4sin A,又0<A<π,取A=,则a=2. 2 (答案不唯一) 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.在△ABC中,若BC=,sin C=2sin A,则AB=　　　　.  解析:由正弦定理,得AB=BC=2BC=2. 2 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(8分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=,b=1,C=120°,求: (1)角B; 解:由正弦定理=,得sin B==. 因为在△ABC中,b<c且C=120°,所以B=30°. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)△ABC的面积S. 解:因为A+B+C=180°,所以A=180°-120°-30°=30°.所以S=bcsin A=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=3,且bsin 2A=asin B. (1)求A; 解:由bsin 2A=asin B,则2sin Bsin Acos A=sin Asin B,在△ABC中,有sin A>0,sin B>0,故cos A=,又A∈(0,π),∴A=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若sin B=,求c. 解:∵sin B<sin A,∴B<A=,∴cos B==.∵A+B+C=π, ∴sin C=sin(A+B)=×+×=.由正弦定理得c==3××=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——重点培优 11.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,C=,c=,a=x,若满足条件的三角形有两个,则x的取值范围是(　　) A. B.(,2) C.(1,2) D.(1,) √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:在△ABC中,根据正弦定理=,即=,所以sin A=x,由题意可得,当A∈时,满足条件的△ABC有两个,所以<x<1,解得<x<2.则x的取值范围是(,2).故选B. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(多选)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5,则下列结论正确的是 (　　) A.a∶b∶c=3∶4∶5 B.△ABC为直角三角形 C.若b=4,则△ABC外接圆半径为5 D.若P为△ABC内一点,满足+2+=0,则△APB与△BPC的面积相等 √ √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=3∶4∶5,A正确;由A知a∶b∶c=3∶4∶5,故a2+b2=c2,故△ABC为直角三角形,B正确;由B知,sin B=,又b=4,由正弦定理得2R===5,故△ABC外接圆半径为R=,C错误;取AC的中点E,则+=2,因为+2+=0,所以=-,即P点在AC的中线上,故△APB与△BPC的面积相等,D正确. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,sin B+cos B=,则角A的大小为　　　　.  解析:由sin B+cos B=,1+sin 2B=2,所以sin 2B=1,所以B=45°.由正弦定理=,得sin A===.又a<b,所以A<B,所以A=30°. 30° 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(12分)在△ABC中,角A的平分线交BC于点D,△ADC是△ABD面积的倍. (1)求的值; 解:因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD,所以===. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若A=30°,AB=1,求AD的值. 解:因为A=30°,所以C=150°-B,由(1)得====,所以sin B=cos B+sin B, 即sin B=-cos B,得tan B=-, 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 易得B=120°.因为AD平分∠BAC,所以∠ADB=30°+15°=45°. 因为AB=1,由正弦定理知=,即=,解得AD=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 15.(12分)在△ABC中,A=α,b=m.分别根据下列条件,求边长a的取值范围. (1)△ABC有一解; 解:由正弦定理=可得,sin B==. ①当a<b,即a<m时,sin B=>sin A. 若sin B>1,即>1,则B不存在,△ABC无解,此时a<msin α; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 若sin B=1,即=1,B=,△ABC有一解, 此时a=msin α; 若sin B<1,即<1,因为sin B>sin A,此时B可能是锐角或钝角,即△ABC有两解,此时a>msin α,即msin α<a<m. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 ②当a=b,即a=m时,sin B==sin A,△ABC有一解; ③当a>b,即a>m时,sin B=<sin A,此时B只能是锐角,△ABC有一解. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 (2)△ABC有两解; 解:由(1)知,当△ABC有两解时,msin α<a<m. (3)△ABC无解. 解:由(1)知,当△ABC无解时,a<msin α. $$