专题05：四则运算的意义与法则（讲义）-2025年小升初数学复习讲练测（通用版）（教师版+学生版）

【复习讲义】2025年小升初数学复习讲练测（通用版） 第二章、数的运算 专题05：四则运算的意义与法则 （10大考点典例讲解+知识总结+易错点拨+变式训练+真题演练） 【考点一】整数的四则运算 【考点二】小数的四则运算 【考点三】分数的四则运算 【考点四】百分数的的四则运算 【考点五】四则运算各部分之间的关系 【考点六】估算 【考点七】和与差的变化规律及应用 【考点八】积的变化规律及应用 【考点九】商的变化规律及应用 【考点十】商不变的规律及应用 知识点01：分数的意义及读写 1、四则运算的意义：加、减、乘、除四种运算统称四则运算。 知识点02：四则运算的法则 1、加法和减法法则 2、乘法法则 3、除法法则 知识点03：四则运算各部分之间的关系 1、加法和减法通过逆运算可以互相转换： 一个加数＋另一个加数＝和 一个加数＝和－另一个加数 被减数－减数＝差 被减数＝减数＋差 减数＝被减数－差 2、乘法和除法通过逆运算也可以互相转换： 一个因数×另一个因数＝积 一个因数＝积÷另一个因数 被除数÷除数＝商 被除数＝除数×商 除数＝被除数÷商 3、在有余数的除法中，余数要比除数小。 被除数＝除数×商＋余数 除数＝（被除数－余数）÷商。 知识点04：估算 1、估算时，一般是将其中的大数看作整十、整百、整千……的数，使原式通过口算便可求出得数。由于得数是近似值，所以计算时要用“≈”连接。 2、估算的方法： （1）去尾法：把每个数的尾数去掉，取整十或整百数进行计算； （2）进一法：在每个数的最高位上加1，取整十整百数进行计算； （3）四舍五入法：当尾数小于或等于4的舍去，当尾数等于或大于5的便进1，取整十或整百数进行计算。 知识点05：0和1在四则运算中的特殊性 1、“0”与一个数相加，和仍是这个数。a＋0＝a 2、一个数减去“0”，仍得这个数；相同的两数相减，差为0。 a－0＝a；a－a＝0 3、“0”与任何数相乘，积为0。a×0＝0 4、“0”除以任何数，商为0；“0”不能做除数。0÷a＝0 5、“1”与一个数相乘，积仍是这个数。1×a＝a 6、“1”除一个数，商仍是这个数；相同的两个数相除，商为1。a÷1＝a；a÷a＝1 知识点06：和、差、积、商的变化规律 1、和的变化规律 （1）如果一个加数加上（或减去）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也加上（或减去）这个数。 （2）如果一个加数加上（或减去）一个数，另一个加数反而减去（或加上）这个数，那么它们的和不变。 2、差的变化规律 （1）如果被减数加上（或减去）一个数，减数不变，那么它们的差也加上（或减去）这个数。 （2）如果被减数不变，减数加上（或减去）一个数，那么它们的差反而减去（或加上）这个数。 （3）如果被减数和减数同时加上（或减去）同一个数，那么它们的差不变。 3、积的变化规律 （1）如果一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数不变，那么它们的积也乘（或除以）这个数。 （2）如果一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数反而除以（或乘）这个数，那么它们的积不变。 4、商的变化规律 （1）没有余数的除法：①如果被除数乘（或除以）一个数（0除外），除数不变，那么它们的商也乘（或除以）这个数；②如果被除数不变，除数乘（或除以）一个数（0除外），那么它们的商反而除以（或乘）这个数；③如果被除数和除数同时乘（或除以）同一个数（0除外），那么它们的商不变。 （2）有余数的除法：在有余数的除法中，如果被除数和除数同时乘（或除以）同一个数（0除外），那么它们的商不变，余数也同时乘（或除以）这个数。 易错点01：乘法中末尾有0 计算，容易漏写0。 【举例】如250×40，先算25×4＝100，然后忘记在积的末尾添上两个0，结果写成100而不是10000。 【点拨】计算整数乘法末尾有0时，先把0前面的数相乘，再看因数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。 易错点02：小数加减法中，小数点对齐问题。 【举例】如3.25＋1.5，可能会出现将末尾数字对齐，算成3.25＋1.5＝3.40，而正确结果应该是4.75。 【点拨】小数加减法要把小数点对齐，也就是相同数位对齐，再按照整数加减法的方法进行计算。 易错点03：异分母分数加减法，忘记通分直接分子分母分别相加减。 【举例】计算，错误计算为，正确的应该是先通分。 【点拨】异分母分数相加减，先通分转化为同分母分数，再按照同分母分数加减法的法则进行计算。 易错点04：百分数与小数、分数互化错误。 【举例】把0.35化成百分数，可能会写成3.5%，正确的应该是35%。 【点拨】小数化成百分数，把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；百分数化成小数，把百分号去掉，同时小数点向左移动两位。 易错点05：估算时取值不合理，导致结果偏差较大。 【举例】估算32×48，把32估成30，48估成50，得到30×50＝1500，但如果把32估成20，48估成50，得到20×50＝1000，与准确值偏差就较大。 【点拨】估算时一般根据 “四舍五入” 法把数看成接近的整十、整百数等，要使估算值尽量接近准确值。 易错点06：应用商不变规律时，余数处理错误。 【举例】90÷20＝4…10，如果将被除数和除数同时缩小10倍变为9÷2＝4……1，但余数实际上应该是1×10＝10。 【点拨】商不变规律是被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，但余数会随着被除数和除数的变化而变化，要根据变化还原余数。 考点1：整数的四则运算 【典型例题1】用竖式计算。（带☆要验算） 450×71＝          304×25＝          ☆865×46＝ 660÷12＝          768÷32＝          ☆650÷25＝ 【答案】31950；7600；39790；55；24；26 【分析】三位数乘两位数时，相同数位对齐，从个位乘起。用两位数分别依次乘三位数中的每一位数，每次乘得结果满几十向前一位进几，与哪一位上的数相乘，就在那一位的下面写上相应的积，然后将两次的积相加；乘法的验算：交换两个因数位置再计算一次；除数是两位数的除法，先用被除数前两位上的数去除，如果它比除数小，就用前三位上的数去除，除到哪一位就在那一位上面写商，每次除后余下的数必须比除数小；除法的验算：被除数＝除数×商。 【详解】 450×71＝31950 304×25＝7600 865×46＝39790 验算： 660÷12＝55 768÷32＝24    650÷25＝26 验算： 【典型例题2】学校舞蹈社团准备购买12个手鼓，每个手鼓14元。在竖式中，虚线框画出部分对应的是点子图中的第（    ）部分。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】单价×数量＝总价，每个手鼓的钱数×购买的个数＝总钱数。 两位数乘两位数的计算方法：先用第二个乘数的个位与第一个乘数相乘，所得的积末尾与个位对齐，再用第二个乘数的十位与第一个乘数相乘，所得的积末尾对齐十位，最后把两次乘得的积相加。 【详解】由两位数乘两位数的计算方法可知，“28”表示2个手鼓28元，“140”表示10个手鼓140元；虚线框画出部分表示“10×4”，对应的是点子图中的第②部分。 故答案为：B 【变式训练1】列竖式计算。（带※的题目需要验算） ※483＋517＝     802－392＝     ※500－199＝ 356×5＝       909×6＝          580×6＝ 【答案】1000；410；301；1780；5454；3480 【分析】三位数加三位数的竖式计算，相同数位对齐，从个位加起。哪一位相加满十就向前一位进一。验算时可以交换两个加数的位置再加一遍，也可以用和－一个加数＝另一个加数。 三位数减三位数的竖式计算，相同数位对齐，从个位减起。当哪一位上的数不够减，要从前一位退1当10，和这一位数合起来继续减。如果前一位上是0，则继续向前一位借。验算时可以用差＋减数＝被减数，也可以用被减数－差＝减数。 三位数乘一位数的竖式计算，从个位乘起，用一位数分别乘三位数每一位上的数。哪一位乘得的结果是几十，就向前一位进几。三位数末尾有0的，先将0不看，算出结果后，再在积的末尾添上相应的0的个数。 【详解】 ※483＋517＝1000         802－392＝410 验算         ※500－199＝301          356×5＝1780   验算      909×6＝5454          580×6＝3480              【变式训练2】在算式4□1÷□□＝9……17，除数是（    ）。 A．15 B．36 C．46 D．49 【答案】C 【分析】根据商×除数＋余数＝被除数，把除数选项代入逐项分析，找出符合题意的答案即可解答。 【详解】A．9×15＋17 ＝135＋17 ＝152 不符合题意； B．9×36＋17 ＝324＋17 ＝341 不符合题意； C．9×46＋17 ＝414＋17 ＝431 符合题意； D．9×49＋17 ＝441＋17 ＝458 不符合题意； 故答案为：C 考点2：小数的四则运算 【典型例题】竖式计算。 3.2＋4.5＝        6.9－0.8＝        12.1－6.3＝ 5.8＋0.9＝        10.3＋5.9＝        23.4－19.7＝ 【答案】7.7；6.1；5.8；6.7；16.2；3.7 【分析】小数加法竖式计算方法：相同数位对齐，即小数点对齐，然后按照整数加法的计算方法进行计算，从低位算起，哪一位上的数相加满十要向前一位进一； 小数减法竖式计算方法：相同数位对齐，即小数点对齐，然后按照整数减法的计算方法进行计算，从低位算起，如果哪一位上的数不够减，就向前一位退1当10；据此计算。 【详解】 3.2＋4.5＝7.7 6.9－0.8＝6.1 12.1－6.3＝5.8              5.8＋0.9＝6.7 10.3＋5.9＝16.2 23.4－19.7＝3.7         【变式训练1】一个长方体木块，横截面的面积是16平方厘米，长3分米，它的体积是（    ）立方分米。 【答案】0.48 【分析】根据1分米＝10厘米，把3分米转化为30厘米，再根据长方体的体积=长×宽×高，已知横截面面积=宽×高，则长方体的体积等于30乘16即可得解。或者也可根据1平方分米=100平方厘米，把16平方厘米转化为0.16平方分米，再用3乘0.16也可得解。 【详解】16平方厘米＝0.16平方分米 3×0.16＝0.48（立方分米） 一个长方体木块，横截面的面积是16平方厘米，长3分米，它的体积是0.48立方分米。 【变式训练2】蓝天小区用24m3的沙子铺一条宽4m的道路，沙子铺12cm厚，这条道路长（ ）m。 A．50 B．5 C．500 D．0.5 【答案】A 【分析】由题意可知，沙子的体积相当于长方体的体积，沙子的宽相当于长方体的宽，沙子的厚相当于长方体的高，根据长方体的体积=长×宽×高，用沙子的体积除以宽，再除以厚度，即可得解。计算时根据1m=100cm，把12cm转化为以m为单位再计算。 【详解】12cm＝0.12m 24÷4÷0.12 ＝6÷0.12 ＝50（m） 蓝天小区用24m3的沙子铺一条宽4m的道路，沙子铺12cm厚，这条道路长50m。 故答案为：A 考点3：分数的四则运算 【典型例题】下列各图能表示的有（    ）。 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】①②把整个图形看作单位“1”，平均分成5份，浅色阴影部分占其中的4份，用分数表示为；再把浅色阴影部分看作单位“1”，平均分成2份，深色阴影部分占其中的1份，用分数表示为；那么深色阴影部分占整个图形的的； ③把整个图形看作单位“1”，平均分成5份，浅色阴影部分占其中的2份，用分数表示为；再把浅色阴影部分看作单位“1”，平均分成2份，深色阴影部分占其中的1份，用分数表示为；那么深色阴影部分占整个图形的的。 【详解】 ①表示； ②表示； ③表示； 能表示的有①②。 故答案为：A 【典型例题2】直接写得数。 ＋＝   －＝   2－＝    －＝    －＝   －＝ －＝   －＝   －＝    ＋＝    －＝   －＝ ×10＝   ×＝   ×＝   ×＝    ×6＝   －＝ 【答案】；；；；；； ；；；；；； 4；；；；； 【变式训练1】30千克减少千克后是（ ）千克，比米多是（ ）米。 【答案】 /29.5/ /0.5 【分析】用减法计算即可得解。由题意可知，要求的数是米的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【详解】（千克）或29.5（千克）或（千克） （米）或0.5（米） 30千克减少克后是（或29.5或）千克，比米多是（或0.5）米。 【变式训练2】直接写得数。                                            【答案】0.6；；；； ；8；；； 【变式训练3】在研究如何计算÷的过程中，下列表达不正确的是（    ）。 A．根据商不变的性质，可以得到：（×）÷（×） B．根据分数与除数的关系，可以得到：÷＝÷3÷4 C．把它们化成计数单位相同的分数，可以得到：÷＝÷＝8÷15 D．把分数化成小数，可以得到÷＝0.4÷0.75 【答案】B 【分析】A．商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，据此解答； B．分数与除数的关系：分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，据此解答； C．分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变，据此把被除数和除数都化成计数单位相同的分数并判断； D．把分数化成小数：用分子除以分母即可，据此解答。 【详解】A．根据商不变的性质可知，÷＝（×）÷（×）； B．根据分数与除数的可知，÷＝÷（3÷4）＝÷3×4； C．根据分数的基本性质可知，把÷化成计数单位相同的分数为：÷＝÷＝8÷15； D．根据分数化成小数的方法可知，＝2÷5＝0.4，＝3÷4＝0.75，所以÷＝0.4÷0.75。 故答案为：B 【变式训练4】小刚认为“两个数的商一定比被除数小。”下面的算式（    ）说明他的想法是错误的。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】除以一个数等于乘这个数的倒数，据此分别计算出各选项结果，找到商大于被除数的选项即可。计算可以发现，一个数（0除外），除以小于1的数，商比原数大；除以大于1的数，商比原数小。 【详解】A．＞，商大于被除数； B．＜，商小于被除数； C．＜，商小于被除数； D．＜19，商小于被除数。 说明他的想法是错误的。 故答案为：A 考点4：百分数的四则运算 【典型例题1】直接写出得数。                                     【答案】3.1；4；0.24；；0；   ；0.2；40；1.8； 【典型例题2】15是40的（ ）%；150是120的（ ）%。 【答案】 37.5 125 【分析】根据求一个数是另一个数的百分之几，用一个数÷另一个数×100%，求15是40的百分之几，用15÷40×100%解答；求150是120的百分之几，用150÷120×100%解答。 【详解】15÷40×100% ＝0.375×100% ＝37.5% 150÷120×100% ＝1.25×100% ＝125% 15是40的37.5%；150是120的125%。 【变式训练1】计算比赛中，小芳做对15道题，做错了5道题，小芳这次计算的正确率是（ ）%。 【答案】75 【分析】根据正确率＝正确的题数÷题目的数量×100%，据此代入数值进行计算即可。 【详解】15÷（15＋5）×100% ＝15÷20×100% ＝0.75×100% ＝75% 小芳这次计算的正确率是75%。 【变式训练2】是的（ ）%；增加它的后是（ ）t；60m比（ ）少。 【答案】 75 16 80 【分析】求一个数是另一个数的百分之几，用除法； 求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。将12乘，再加上12求出第二空； 将未知量看作单位“1”，那么60m是未知量的（1－25%），单位“1”未知，用60除以对应的百分率，求出第三空。 【详解】30÷40＝75% 12＋12× ＝12＋4 ＝16（t） 60÷（1－25%） ＝60÷75% ＝80（m） 所以是的75%；增加它的后是16t；60m比80m少25%。 考点5：四则运算各部分之间的关系 【典型例题1】在一个有余数的除法算式里，除数是35，则余数最大为（ ）；如果这个算式的商是9，此时余数是7，则被除数是（ ）。 【答案】 34 322 【分析】余数需要小于除数，除数是35，则余数需要小于或等于34；如果这个算式的商是9，此时余数是7，被除数＝除数×商＋余数，即可得到被除数是多少。 【详解】35×9＋7 ＝315＋7 ＝322 因此在一个有余数的除法算式里，除数是35，则余数最大为34；如果这个算式的商是9，此时余数是7，则被除数是322。 【典型例题2】把一个减法算式的被减数、减数、差相加，和是72，其中减数是差的3倍，减数是（ ）。 【答案】27 【分析】因为被减数＝减数＋差，已知被减数、减数与差的和是72，被减数等于72÷2＝36，又知减数是差的3倍，则减数与差的和就是差的（3＋1）倍，据此用36÷（3＋1），可求得差是多少，再用被减数减去差，即可求出减数是多少。 【详解】72÷2＝36 36÷（3＋1） ＝36÷4 ＝9 36－9＝27 把一个减法算式的被减数、减数、差相加，和是72，其中减数是差的3倍，减数是27。 【变式训练1】打开知识大门的密码是■△■，请你根据算式破译密码。那么知识大门的密码是（    ）。 A．868 B．767 C．898 【答案】A 【分析】被减数－减数＝差，减数＝被减数－差，被减数＝减数＋差。已知被减数和差，求减数，直接用被减数减差即可；已知减数和差，求被减数，直接用差加减数即可；乘数×乘数＝积，乘数＝积÷另一个乘数。已知乘数和积，求另一个乘数，直接用积除以乘数即可。 【详解】21＋56－■＝69 77－■＝69，■＝77－69＝8。 △×15－17＝73 △×15＝17＋73＝90 △＝90÷15＝6 所以■△■代表的数是868。 故答案为：A 【变式训练2】有关0的运算下列说法错误的是（    ）。 A．0除任何数还得0 B．一个数和0相乘，仍得0 C．一个数加上0，还得原数 D．被减数等于减数，差是0 【答案】A 【分析】在数的运算中，0和任何数相加还得原数，在减法算式中，被减数－减数＝差，当被减数和减数相等时，差是0；0除以一个非0的数还得0，0乘任何数都得0。 【详解】A．0除以任何数还得0，说法错误，应该是0除以一个非0的数还得0； B．一个数和0相乘，仍得0，说法正确； C．一个数加上0，还得原数，说法正确； D．被减数等于减数，差是0，说法正确； 有关0的运算下列说法错误的是0除任何数还得0。 故答案为：A 考点6：估算 【典型例题1】估算。              【答案】2000；50；2400；90 【知识点】估计与估算、两位数乘两位数的估算、除数是一位数的估算 【分析】根据整数乘法的估算方法，利用“四舍五入法”，把数看作与它接近的整十数、整百数……，然后进行口算即可。除法的估算方法和乘法一样，都是将数看做作与它接近的整十数、整百数…… 【详解】 【典型例题2】一套课桌椅售价398元，学校需要购买49套这样的桌椅。李老师估算了一下，大约需要准备（    ）元。 A．15000 B．16000 C．20000 D．25000 【答案】C 【分析】单价×数量＝总价，据此列式计算，计算时将398看成400，49看成50，进行估算即可。 【详解】398×49 ≈400×50 ＝20000（元） 大约需要准备20000元。 故答案为：C 【变式训练1】估算598÷36时，可以把598估成（ ），把36估成（ ），商大约是（ ）。 【答案】 600 40 15 【分析】采用凑整法进行估算，将被除数和除数看成接近的整百或整十数再进行计算即可。 【详解】估算598÷36时，可以把598估成600，把36估成40，商大约是15。 【变式训练2】下面算式（    ）的得数大约在直线上的“”处。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数轴中“”处在2000到3000中间，可以大约是2500，根据两位数乘两位数的估算方法，求出各个选项的得数，然后与2500比较解答即可。 【详解】A．，不符合题意。 B．，不符合题意。 C．，不符合题意。 D．，不符合题意。 故答案为：D 【变式训练3】足球48元/个，杨老师要给学校足球队买198个足球，他大约要准备（    ）。 A．8000元 B．10000元 C．100000元 【答案】B 【分析】先对购买的足球的总价进行估算，再与选项进行比较。估算时是把数看成接近的整十数、整百数来计算。已知足球48元/个，数量是198个，把48看作50，把198看作200，根据总价＝单价×数量，算出总价的近似值，即可解答。 【详解】48×198 ≈50×200 ＝10000（元） 即他大约要准备10000元。 故答案为：B 考点7：和与差的变化规律及应用 【典型例题】两个数相减，被减数增加15，要使差增加29，减数应（ ）。 【答案】减少14 【分析】根据题意，被减数增加15，减数不变，差也增加15，现在差增加29，那么减数应该减少29－15＝14，据此解答即可。 【详解】29－15＝14 答：减数应该减少14。 故答案为：减少14 【变式训练1】，如果增加30，不变，那么差是（ ）；如果增加30，不变，那么差是（ ）。 【答案】 80 20 【分析】减法算式中，被减数增加30，减数不变，则差增加30。 减数增加30，被减数不变，则差减少30。 【详解】（1） （2） 【变式训练2】如果★－8＝☆，◆－5＝☆，那么下面的说法正确的是（    ）。 A．★比◆多13 B．★比◆多3 C．★比◆少3 D．◆比★少13 【答案】B 【分析】观察两个算式可知，两个减法算式的差相等，第一个算式的减数是8，第二个算式的减数是5，8比5多3，那么第一个算式的被减数就比第二个算式的被减数多3，据此解答。 【详解】8－5＝3 所以★比◆多3。 故答案为：B 考点8：积的变化规律及应用 【典型例题1】淘气包丁丁在计算一道乘法题时，把其中的一个因数扩大到了原来的4倍，结果积是28，想一想这道题原来的积应是多少？ 【答案】7 【分析】根据一个因数扩大到原来的几倍，积也扩大相同的倍数，所以28是扩大到原来的4倍后的积。那么原来的积就是把28缩小到原来的。 【详解】 答：这道题原来的积应是7。 【典型例题2】下面算式中，积最小的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据积的变化规律，两数相乘，一个因数乘几，另一个因数除以相同的数，积不变，可以将D选项240×0.038转化成24×0.38。再根据小数乘法法则，判断积的小数位数即可，积的小数位数越多，积越小。 小数乘法法则：（1）按整数乘法的法则先求出积；（2）看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 【详解】A．的因数中一共有一位小数，积是一位小数； B．的因数中一共有四位小数，积是四位小数； C．的因数中一共有三位小数，积是三位小数； D．＝ 24×0.38，因数中一共有两位小数，积是两位小数。 积最小的是。 故答案为：B 【变式训练1】一个圆锥的底面积扩大到原来的2倍，高也扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的（    ）倍。 A．2 B．4 C．8 【答案】B 【分析】积的变化规律：如果一个因数扩大到原来的几倍，另一个因数不变，那么积也扩大到原来的几倍；如果一个因数缩小到原来的几分之一，另一个因数不变，那么积也缩小到原来的几分之一。 圆锥的体积＝底面积×高×，据此解答。 【详解】通过分析可得： 一个圆锥的底面积扩大到原来的2倍，高也扩大到原来的2倍，2×2＝4，则它的体积扩大到原来的4倍。 故答案为：B 【变式训练2】小红正在设计一张海报，她决定将海报的长和宽都扩大到原来的3倍。她想知道这样做后，海报的面积会扩大（    ）倍。 A．3 B．6 C．9 【答案】C 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，以及积的变化规律“一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几”可知，把长方形的长、宽都扩大到原来的3倍，那么面积扩大到原来的（3×3）倍，据此解答。 【详解】3×3＝9 海报的面积会扩大9倍。 故答案为：C 【变式训练3】两个因数的积是360，其中一个因数扩大到原来的4倍，另一个因数不变，积是（    ）。 A．360 B．1240 C．1440 D．2880 【答案】C 【分析】根据积的变化规律：当因数乘或除以一个数（不为0），积也随着乘或除以这个数。当一个因数扩大到原来的4倍，即一个因数乘4，积也随着乘4，据此解答。 【详解】 两个因数的积是360，其中一个因数扩大到原来的4倍，另一个因数不变，积是1440。 故答案为：C 考点9：商的变化规律及应用 【典型例题】两个数的商是35，被除数扩大到原来的4倍，除数扩大到原来的5倍，现在的商是多少？ 【答案】28 【分析】先将被除数扩大到原来的4倍，商也扩大到原来的4倍；再将除数扩大到原来的5倍，商就缩小到原来的五分之一；原来的商是35，则现在的商就是35×4÷5，计算出结果即可。 【详解】35×4÷5 ＝140÷5 ＝28 答：现在的商是28。 【变式训练1】小芳同学在计算一道除法算式时，不小心把被除数写成了原来的5倍，再除以6，结果是。请算出这道除法算式正确的被除数是多少？ 【答案】 【分析】先根据错误的计算求出错误的被除数，因为错误的被除数是原来的5倍，所以再除以5就能得到正确的被除数。 【详解】错误的被除数为：×6＝，因为这个错误的被除数是原来被除数的5倍，所以正确的被除数为：÷5＝×＝ 答：这道除法算式正确的被除数是。 【变式训练2】一个除法算式的商是62.6，如果被除数扩大到原来的10倍，除数缩小到原来的。那么商是（    ）。 A．6.26 B．62.6 C．626 D．6260 【答案】D 【分析】根据商的变化规律：除数不变，被除数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，商就扩大到相同的倍数或缩小到原来的几分之一（0除外）；被除数不变，除数扩大则商反而缩小，除数缩小则商就扩大，由此解答。 【详解】一个除法算式的商是62.6，如果被除数扩大到原来的10倍，那么商就扩大到原来的10倍，如果除数缩小到原来的，商就又扩大了10倍，那么商是：。 故答案为：D 考点10：商不变的规律及应用 【典型例题】26÷5＝5……1，如果被除数和除数同时扩大到原来的100倍，那么余数是（    ）。 A．1 B．10 C．50 D．100 【答案】D 【分析】根据商的变化规律可知：在有余数的除法中，被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变，被除数和除数同时乘或除以几，余数也应同时乘或除以几，据此即可求解。 【详解】由分析可知： 1×100＝100 被除数和除数同时扩大到原来的100倍，那么余数是100。 故答案为：D 【变式训练1】已知27÷8＝3……3，如果被除数、除数都扩大到原来的10倍，那么它的结果是（    ）。 A．商3余3 B．商30余3 C．商3余30 【答案】C 【分析】被除数和除数，同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，余数跟着乘或除以相同的数，据此分析。 【详解】3×10＝30 已知27÷8＝3……3，如果被除数、除数都扩大到原来的10倍，那么它的结果是商3余30，即270÷80＝3……30。 故答案为：C 【变式训练2】两数相除，商50余30，如果被除数和除数同时缩小到原来的，所得的商和余数是（    ）。 A．商5余3 B．商50余3 C．商5余30 D．商50余30 【答案】B 【分析】根据商的变化规律：被除数和除数同时扩大相同倍数或缩小为原来的几分之一，商不变，余数也同时扩大相同倍数或缩小为原来的几分之一。据此解答即可。 【详解】 两数相除，商50余30，如果被除数和除数同时缩小到原来的，所得的商是50余数是3。 故答案为：B 一、选择题 1．（2024·四川成都·小升初真题）如图所示能用“表示或解决”的是（    ）。 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①把大正方形平均分成4份，取3份，用分数表示，再这3份平均分成4份，取1份，据此列式。 ②小时走了千米，求1小时走多少千米？根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。 ③25%相当于，观察可知，把总面积看作单位“1”，求它的是多少，用乘法计算。 ④观察可知，把m看作单位“1”，求它的是多少，用乘法计算。 【详解】①据分析可列式：，符合题意； ②据分析可列式：，不符合题意； ③据分析可列式：，符合题意； ④据分析可列式：符合题意； 能用“表示或解决”的是①③④。 故答案为：C 2．（2024·四川绵阳·小升初真题）为了得到的结果，下面三位同学用不同的方法表达了自己的想法，想法合理的是（    ）。 小东：＝2÷3，＝2÷2÷3； 小西：＝（2×3）÷（×3）； 小北： A．小东和小西 B．小东和小北 C．小西和小北 【答案】C 【分析】小东：运用分数与除法的关系：分数可以看作是两个数相除的商，分数中的分子相当于被除数，分母相当于除数。 小西：运用商不变的规律：被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。 小北：运用分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数；分母是平均分的总份数，分子是取的其中的几份。 【详解】小东：＝2÷3是根据分数与除法的关系得到的； 2÷＝2÷（2÷3）＝2÷2×3＝3 小东的想法“2÷＝2÷2÷3”错误，在去掉括号后里面的除号没有变成乘号，计算结果错误，所以小东的想法不合理； 小西：根据商不变的性质可得： 2÷＝（2×3）÷（×3）＝6÷2＝3 运用的是商不变的规律，所以小西的想法合理； 小北：把1米长的线段看作单位“1”，平均分成3份，其中的2份表示米；2米里面有3个米，用算式表示为2÷＝3，所以小北的想法合理。 综上所述，小西和小北想法合理。 故答案为：C 3．（2024·四川乐山·小升初真题）如果★代表一个非零自然数，那么下列式子中，结果最大的是（    ）。 A．★× B．★÷ C．÷★ D．★×1 【答案】B 【分析】采用赋值法进行分析，假设★＝1，分别代入各选项中的算式，计算求值并比较即可。 【详解】假设★＝1 A.★×＝1×＝ B.★÷＝1÷＝ C.÷★＝÷1＝ D.★×1＝1×1＝1 ＞1＞，结果最大的是★÷。 故答案为：B 4．（2024·四川绵阳·小升初真题）一根绳子被剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，这两段绳子相比，（    ）。 A．第一段长 B．第二段长 C．两段一样长 D．无法比较 【答案】B 【分析】将这根绳子看作单位“1”，用单位“1”减去第二段的分率，求出第一段的分率，从而比较出哪一段更长。 【详解】第一段占全长的1－＝，因为＜，所以第二段长。 故答案为：B 5．（2024·福建莆田·小升初真题）下面四个算式中的“7”和“3”可以直接相加减的是（    ）。 A．467＋385 B． C．4.79－1.3 D． 【答案】C 【分析】根据整数、小数、分数加减法的计算法则，计算整数加减法，相同数位对齐，从个位算起，也就是把相同数位上数相加减；计算小数加减法，小数点对齐，也就是相同数位上的数对齐，从最低位算起，也就是把相同数位上数相加减；计算分数加减法，先通分，然后按照同分母分数加减法的计算法则计算，也就是只把分子相加减，分母不变。据此解答。 【详解】A．467＋385中，因为7是个位上，3是百位上，所以“7”和“3”不可以直接相加； B．中，因为两个分数的分母不同，所以“7”和“3”不可以直接相加； C．4.79－1.3中，因为7在十分位，3在十分位，所以“7”和“3”可以直接相减； D．因为7是整数，3是分数的分子，所以“7”和“3”不可以直接相加。 故答案为：C 6．（2024·四川成都·小升初真题）在a÷b＝5……3中，如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，商和余数分别是（    ）。 A．5和3 B．50和30 C．50和3 D．5和30 【答案】D 【分析】在有余数的除法算式里，被除数和除数同时扩大到原来的10倍，那么商不变，余数也要扩大到原来的10倍，依此选择。 【详解】3×10＝30 在a÷b＝5……3中，如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，则商依然是5，余数是30。 故答案为：D 二、填空题 7．（2024·广西柳州·小升初真题）一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的（ ）倍，体积扩大到原来的（ ）倍。 【答案】 4 8 【分析】根据正方体的表面积公式S＝6a2以及积的变化规律可知，一个正方体棱长扩大到原来的2倍，则它的表面积扩大到原来的（2×2）倍； 根据正方体的体积公式V＝a3以及积的变化规律可知，一个正方体棱长扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（2×2×2）倍。 【详解】2×2＝4 2×2×2＝8 一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。 8．（2024·四川乐山·小升初真题）一个数的是，这个数是（ ）。 【答案】 【分析】根据题意，是已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算即可。 【详解】 ＝ ＝ 9．（2024·四川成都·小升初真题）比45千克重是（ ）千克；（ ）千克比45千克轻千克。 【答案】 54 【分析】把45千克看作单位“1”，已知比45千克重，即这个数是45千克的（1＋），用乘法计算即可；求比45千克轻千克的数，用45千克减去千克即可。 【详解】45×（1＋） ＝45× ＝54（千克） 45－＝（千克） 比45千克重是54千克；千克比45千克轻千克。 10．（2024·福建莆田·小升初真题）比8吨多吨是（ ）吨，35千克比（ ）千克少30%。 【答案】 50 【分析】求比8吨多吨的数，用8吨加上吨即可； 已知一个数的（1－30%）是35千克，求这个数，用35千克除以（1－30%）即可。 【详解】8＋＝（千克） 35÷（1－30%） ＝35÷0.7 ＝50（千克） 比8吨多吨是吨，35千克比50千克少30%。 11．（2024·浙江湖州·小升初真题）如图，“a”表示（ ）；两种粽子一共有（ ）箱。 ​ 【答案】 肉粽比甜粽多的箱数 a 【分析】观察图形可知：甜粽a箱，肉粽比甜粽多。则a表示肉粽比甜粽多的箱数；肉粽的箱数为：a＋a，然后加上甜粽可以得到答案。 【详解】“甜粽a箱，肉粽比甜粽多”，则a表示：肉粽比甜粽多的箱数。 两种粽子一共有：a＋a＋a＝2a（箱） 12．（2024·陕西西安·小升初真题）比9米多是（ ）米；（ ）吨比20吨少20%；54比30多（ ）%。 【答案】 15 16 80 【分析】（1）求比9米多是多少米，把9米看作单位“1”，则要求的米数是9米的（1＋），单位“1”已知，根据分数乘法的意义求解； （2）求多少吨比20吨少20%，把20吨看作单位“1”，则要求的吨数是20吨的（1－20%），单位“1”已知，根据百分数乘法的意义求解； （3）求54比30多百分之几，先用减法求出54比30多的量，再除以30即可。 【详解】（1）9×（1＋） ＝9× ＝15（米） （2）20×（1－20%） ＝20×（1－0.2） ＝20×0.8 ＝16（吨） （3）（54－30）÷30×100% ＝24÷30×100% ＝0.8×100% ＝80% 填空如下： 比9米多是（15）米；（16）吨比20吨少20%；54比30多（80）%。 13．（2024·四川宜宾·小升初真题）在乘积1×2×3×…×98×99×100中，末尾有（ ）个0。 【答案】24 【分析】因为2×5＝10，产生一个末尾的零，末尾的零也只能由以上乘式中的一个质因数2与一个质因数5相乘得到，所以只需考虑把以上乘式分解成质因数连乘以后，有多少个质因数2，有多少个质因数5，其中哪个质因数的个数少，以上乘式的末尾0的个数就和那个质因数的个数相等。 【详解】从1开始前100个自然数中有20个5的倍数，它们是5，10，15，20，25，…，95，100；在这20个数中，有4个能被25整除，它们是25，50，75，100，所以以上乘式中含有质因数5的个数：20＋4＝24（个），含有2的个数有50个。 因此在乘积1×2×3×…×98×99×100中，末尾有24个0。 14．（2024·四川绵阳·小升初真题）小明在计算13个自然数的平均数时，四舍五入后得到的答案是＝12.43，老师说最后一位数字错了，其他的数字都对，那么正确的答案应该是（ ）。 【答案】12.46 【分析】自然数都是整数，所以这13个自然数的和一定是一个整数；又因为12.40×13＝161.2，12.49×13＝162.37，所以可以知道这13个自然数的和是一个大于161.2小于162.37的整数，那这个数就是162。再用求出正确的平均数，结果保留两位小数。 【详解】12.4×13＝161.2，12.49×13＝162.37， 13个自然数的和是162 162÷13≈12.46 所以正确答案是12.46。 15．（2024·四川巴中·小升初真题）在下面括号里填上适当的数。 0.5公顷＝（ ）平方米   2.15时＝（ ）时（ ）分 【答案】 5000 2 9 【分析】1公顷＝10000平方米   1时＝60分钟 高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率。据此解答。 【详解】1公顷＝10000平方米   0.5×10000＝5000 0.5公顷＝5000平方米 1时＝60分    0.15×60＝9 2.15时＝2时9分 16．（2024·浙江湖州·小升初真题）观察数轴：若A表示0.1，则C表示（ ）；若B表示，则A表示（ ）。 【答案】 0.9 【分析】若A表示0.1，则表示该数轴上每一个小格代表0.1，数一数从0到C点共有多少个小格，则C表示就是（0.1×9）；若B表示，从0到点B之间被平均分成3份，求出每一份是多少，也就是点A表示的是多少；据此解答。 【详解】0.1×9＝0.9 因此若A表示0.1，则C表示0.9；若B表示，则A表示。 三、计算题 17．（2024·福建莆田·小升初真题）直接写出得数。 4.5＋5.5＝      0.62＝      4÷25%＝       1÷÷1＝ 2.06－0.6＝     ＝      ＝     ×10＝ 【答案】10；0.36；16；；1.46；；；100 18．（2024·四川绵阳·小升初真题）直接写出得数。 873＋199＝      0.64÷0.4＝     ＝      20×5÷20×5＝ ＝        ＝        ＝     ＝ 【答案】1072；1.6；；25；20；；；0 19．（2024·四川乐山·小升初真题）直接写出下面各题的得数。 133＋284＝      5－＝       276÷3＝       －＝ ÷＝       9.7－4.45＝     39×＝       ＋×9＝ 【答案】417；；92；；；5.25；； 20．（2024·浙江湖州·小升初真题）直接写出得数。 2＋3.7＝       －＝      16×0.5＝       ÷×0＝ 210－98＝       1.2÷＝      ×＝        1－＋＝ 【答案】5.7；；8；0；112；3.2；； 21．（2024·四川成都·小升初真题）直接写出得数。 0.99＋0.1＝    14.4－9.95＝           75%÷＝        分∶30秒＝   47.5÷6.1≈  （估算） 【答案】1.09；4.45；0.3；1；；；4：5；8 22．（2023·广西柳州·小升初真题）直接写出得数。 26＋72＝     7.8－5.1＝      ×＝         ÷＝ 0.72÷0.8＝     0.22＝       1.8×＝        25×a×4＝ 【答案】98；2.7；；；0.9；0.04；0.3；100a 24．（2024·四川宜宾·小升初真题）直接写出得数。 19＋2.1＝      0.06×1000＝      240÷80＝       ＝ 0÷1.7＝      ＝         ＝         ＝ 【答案】21.1；60；3；；0；；； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【复习讲义】2025年小升初数学复习讲练测（通用版） 第二章、数的运算 专题05：四则运算的意义与法则 （10大考点典例讲解+知识总结+易错点拨+变式训练+真题演练） 【考点一】整数的四则运算 【考点二】小数的四则运算 【考点三】分数的四则运算 【考点四】百分数的的四则运算 【考点五】四则运算各部分之间的关系 【考点六】估算 【考点七】和与差的变化规律及应用 【考点八】积的变化规律及应用 【考点九】商的变化规律及应用 【考点十】商不变的规律及应用 知识点01：分数的意义及读写 1、四则运算的意义：加、减、乘、除四种运算统称四则运算。 知识点02：四则运算的法则 1、加法和减法法则 2、乘法法则 3、除法法则 知识点03：四则运算各部分之间的关系 1、加法和减法通过逆运算可以互相转换： 一个加数＋另一个加数＝和 一个加数＝和－另一个加数 被减数－减数＝差 被减数＝减数＋差 减数＝被减数－差 2、乘法和除法通过逆运算也可以互相转换： 一个因数×另一个因数＝积 一个因数＝积÷另一个因数 被除数÷除数＝商 被除数＝除数×商 除数＝被除数÷商 3、在有余数的除法中，余数要比除数小。 被除数＝除数×商＋余数 除数＝（被除数－余数）÷商。 知识点04：估算 1、估算时，一般是将其中的大数看作整十、整百、整千……的数，使原式通过口算便可求出得数。由于得数是近似值，所以计算时要用“≈”连接。 2、估算的方法： （1）去尾法：把每个数的尾数去掉，取整十或整百数进行计算； （2）进一法：在每个数的最高位上加1，取整十整百数进行计算； （3）四舍五入法：当尾数小于或等于4的舍去，当尾数等于或大于5的便进1，取整十或整百数进行计算。 知识点05：0和1在四则运算中的特殊性 1、“0”与一个数相加，和仍是这个数。a＋0＝a 2、一个数减去“0”，仍得这个数；相同的两数相减，差为0。 a－0＝a；a－a＝0 3、“0”与任何数相乘，积为0。a×0＝0 4、“0”除以任何数，商为0；“0”不能做除数。0÷a＝0 5、“1”与一个数相乘，积仍是这个数。1×a＝a 6、“1”除一个数，商仍是这个数；相同的两个数相除，商为1。a÷1＝a；a÷a＝1 知识点06：和、差、积、商的变化规律 1、和的变化规律 （1）如果一个加数加上（或减去）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也加上（或减去）这个数。 （2）如果一个加数加上（或减去）一个数，另一个加数反而减去（或加上）这个数，那么它们的和不变。 2、差的变化规律 （1）如果被减数加上（或减去）一个数，减数不变，那么它们的差也加上（或减去）这个数。 （2）如果被减数不变，减数加上（或减去）一个数，那么它们的差反而减去（或加上）这个数。 （3）如果被减数和减数同时加上（或减去）同一个数，那么它们的差不变。 3、积的变化规律 （1）如果一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数不变，那么它们的积也乘（或除以）这个数。 （2）如果一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数反而除以（或乘）这个数，那么它们的积不变。 4、商的变化规律 （1）没有余数的除法：①如果被除数乘（或除以）一个数（0除外），除数不变，那么它们的商也乘（或除以）这个数；②如果被除数不变，除数乘（或除以）一个数（0除外），那么它们的商反而除以（或乘）这个数；③如果被除数和除数同时乘（或除以）同一个数（0除外），那么它们的商不变。 （2）有余数的除法：在有余数的除法中，如果被除数和除数同时乘（或除以）同一个数（0除外），那么它们的商不变，余数也同时乘（或除以）这个数。 易错点01：乘法中末尾有0 计算，容易漏写0。 【举例】如250×40，先算25×4＝100，然后忘记在积的末尾添上两个0，结果写成100而不是10000。 【点拨】计算整数乘法末尾有0时，先把0前面的数相乘，再看因数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。 易错点02：小数加减法中，小数点对齐问题。 【举例】如3.25＋1.5，可能会出现将末尾数字对齐，算成3.25＋1.5＝3.40，而正确结果应该是4.75。 【点拨】小数加减法要把小数点对齐，也就是相同数位对齐，再按照整数加减法的方法进行计算。 易错点03：异分母分数加减法，忘记通分直接分子分母分别相加减。 【举例】计算，错误计算为，正确的应该是先通分。 【点拨】异分母分数相加减，先通分转化为同分母分数，再按照同分母分数加减法的法则进行计算。 易错点04：百分数与小数、分数互化错误。 【举例】把0.35化成百分数，可能会写成3.5%，正确的应该是35%。 【点拨】小数化成百分数，把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；百分数化成小数，把百分号去掉，同时小数点向左移动两位。 易错点05：估算时取值不合理，导致结果偏差较大。 【举例】估算32×48，把32估成30，48估成50，得到30×50＝1500，但如果把32估成20，48估成50，得到20×50＝1000，与准确值偏差就较大。 【点拨】估算时一般根据 “四舍五入” 法把数看成接近的整十、整百数等，要使估算值尽量接近准确值。 易错点06：应用商不变规律时，余数处理错误。 【举例】90÷20＝4…10，如果将被除数和除数同时缩小10倍变为9÷2＝4……1，但余数实际上应该是1×10＝10。 【点拨】商不变规律是被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，但余数会随着被除数和除数的变化而变化，要根据变化还原余数。 考点1：整数的四则运算 【典型例题1】用竖式计算。（带☆要验算） 450×71＝          304×25＝          ☆865×46＝ 660÷12＝          768÷32＝          ☆650÷25＝ 【典型例题2】学校舞蹈社团准备购买12个手鼓，每个手鼓14元。在竖式中，虚线框画出部分对应的是点子图中的第（    ）部分。 A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练1】列竖式计算。（带※的题目需要验算） ※483＋517＝     802－392＝     ※500－199＝ 356×5＝       909×6＝          580×6＝ 【变式训练2】在算式4□1÷□□＝9……17，除数是（    ）。 A．15 B．36 C．46 D．49 考点2：小数的四则运算 【典型例题】竖式计算。 3.2＋4.5＝        6.9－0.8＝        12.1－6.3＝ 5.8＋0.9＝        10.3＋5.9＝        23.4－19.7＝ 【变式训练1】一个长方体木块，横截面的面积是16平方厘米，长3分米，它的体积是（    ）立方分米。 【变式训练2】蓝天小区用24m3的沙子铺一条宽4m的道路，沙子铺12cm厚，这条道路长（ ）m。 A．50 B．5 C．500 D．0.5 考点3：分数的四则运算 【典型例题】下列各图能表示的有（    ）。 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【典型例题2】直接写得数。 ＋＝   －＝   2－＝    －＝    －＝   －＝ －＝   －＝   －＝    ＋＝    －＝   －＝ ×10＝   ×＝   ×＝   ×＝    ×6＝   －＝ 【变式训练1】30千克减少千克后是（ ）千克，比米多是（ ）米。 【变式训练2】直接写得数。                                            【变式训练3】在研究如何计算÷的过程中，下列表达不正确的是（    ）。 A．根据商不变的性质，可以得到：（×）÷（×） B．根据分数与除数的关系，可以得到：÷＝÷3÷4 C．把它们化成计数单位相同的分数，可以得到：÷＝÷＝8÷15 D．把分数化成小数，可以得到÷＝0.4÷0.75 【变式训练4】小刚认为“两个数的商一定比被除数小。”下面的算式（    ）说明他的想法是错误的。 A． B． C． D． 考点4：百分数的四则运算 【典型例题1】直接写出得数。                                     【典型例题2】15是40的（ ）%；150是120的（ ）%。 【变式训练1】计算比赛中，小芳做对15道题，做错了5道题，小芳这次计算的正确率是（ ）%。 【变式训练2】是的（ ）%；增加它的后是（ ）t；60m比（ ）少。 考点5：四则运算各部分之间的关系 【典型例题1】在一个有余数的除法算式里，除数是35，则余数最大为（ ）；如果这个算式的商是9，此时余数是7，则被除数是（ ）。 【典型例题2】把一个减法算式的被减数、减数、差相加，和是72，其中减数是差的3倍，减数是（ ）。 【变式训练1】打开知识大门的密码是■△■，请你根据算式破译密码。那么知识大门的密码是（    ）。 A．868 B．767 C．898 【变式训练2】有关0的运算下列说法错误的是（    ）。 A．0除任何数还得0 B．一个数和0相乘，仍得0 C．一个数加上0，还得原数 D．被减数等于减数，差是0 考点6：估算 【典型例题1】估算。                 【典型例题2】一套课桌椅售价398元，学校需要购买49套这样的桌椅。李老师估算了一下，大约需要准备（    ）元。 A．15000 B．16000 C．20000 D．25000 【变式训练1】估算598÷36时，可以把598估成（ ），把36估成（ ），商大约是（ ）。 【变式训练2】下面算式（    ）的得数大约在直线上的“”处。 A． B． C． D． 【变式训练3】足球48元/个，杨老师要给学校足球队买198个足球，他大约要准备（    ）。 A．8000元 B．10000元 C．100000元 考点7：和与差的变化规律及应用 【典型例题】两个数相减，被减数增加15，要使差增加29，减数应（ ）。 【变式训练1】，如果增加30，不变，那么差是（ ）；如果增加30，不变，那么差是（ ）。 【变式训练2】如果★－8＝☆，◆－5＝☆，那么下面的说法正确的是（    ）。 A．★比◆多13 B．★比◆多3 C．★比◆少3 D．◆比★少13 考点8：积的变化规律及应用 【典型例题1】淘气包丁丁在计算一道乘法题时，把其中的一个因数扩大到了原来的4倍，结果积是28，想一想这道题原来的积应是多少？ 【典型例题2】下面算式中，积最小的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练1】一个圆锥的底面积扩大到原来的2倍，高也扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的（    ）倍。 A．2 B．4 C．8 【变式训练2】小红正在设计一张海报，她决定将海报的长和宽都扩大到原来的3倍。她想知道这样做后，海报的面积会扩大（    ）倍。 A．3 B．6 C．9 【变式训练3】两个因数的积是360，其中一个因数扩大到原来的4倍，另一个因数不变，积是（    ）。 A．360 B．1240 C．1440 D．2880 考点9：商的变化规律及应用 【典型例题】两个数的商是35，被除数扩大到原来的4倍，除数扩大到原来的5倍，现在的商是多少？ 【变式训练1】小芳同学在计算一道除法算式时，不小心把被除数写成了原来的5倍，再除以6，结果是。请算出这道除法算式正确的被除数是多少？ 【变式训练2】一个除法算式的商是62.6，如果被除数扩大到原来的10倍，除数缩小到原来的。那么商是（    ）。 A．6.26 B．62.6 C．626 D．6260 考点10：商不变的规律及应用 【典型例题】26÷5＝5……1，如果被除数和除数同时扩大到原来的100倍，那么余数是（    ）。 A．1 B．10 C．50 D．100 【变式训练1】已知27÷8＝3……3，如果被除数、除数都扩大到原来的10倍，那么它的结果是（    ）。 A．商3余3 B．商30余3 C．商3余30 【变式训练2】两数相除，商50余30，如果被除数和除数同时缩小到原来的，所得的商和余数是（    ）。 A．商5余3 B．商50余3 C．商5余30 D．商50余30 一、选择题 1．（2024·四川成都·小升初真题）如图所示能用“表示或解决”的是（    ）。 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（2024·四川绵阳·小升初真题）为了得到的结果，下面三位同学用不同的方法表达了自己的想法，想法合理的是（    ）。 小东：＝2÷3，＝2÷2÷3； 小西：＝（2×3）÷（×3）； 小北： A．小东和小西 B．小东和小北 C．小西和小北 3．（2024·四川乐山·小升初真题）如果★代表一个非零自然数，那么下列式子中，结果最大的是（    ）。 A．★× B．★÷ C．÷★ D．★×1 4．（2024·四川绵阳·小升初真题）一根绳子被剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，这两段绳子相比，（    ）。 A．第一段长 B．第二段长 C．两段一样长 D．无法比较 5．（2024·福建莆田·小升初真题）下面四个算式中的“7”和“3”可以直接相加减的是（    ）。 A．467＋385 B． C．4.79－1.3 D． 6．（2024·四川成都·小升初真题）在a÷b＝5……3中，如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，商和余数分别是（    ）。 A．5和3 B．50和30 C．50和3 D．5和30 二、填空题 7．（2024·广西柳州·小升初真题）一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的（ ）倍，体积扩大到原来的（ ）倍。 8．（2024·四川乐山·小升初真题）一个数的是，这个数是（ ）。 9．（2024·四川成都·小升初真题）比45千克重是（ ）千克；（ ）千克比45千克轻千克。 10．（2024·福建莆田·小升初真题）比8吨多吨是（ ）吨，35千克比（ ）千克少30%。 11．（2024·浙江湖州·小升初真题）如图，“a”表示（ ）；两种粽子一共有（ ）箱。 ​ 12．（2024·陕西西安·小升初真题）比9米多是（ ）米；（ ）吨比20吨少20%；54比30多（ ）%。 13．（2024·四川宜宾·小升初真题）在乘积1×2×3×…×98×99×100中，末尾有（ ）个0。 14．（2024·四川绵阳·小升初真题）小明在计算13个自然数的平均数时，四舍五入后得到的答案是＝12.43，老师说最后一位数字错了，其他的数字都对，那么正确的答案应该是（ ）。 15．（2024·四川巴中·小升初真题）在下面括号里填上适当的数。 0.5公顷＝（ ）平方米   2.15时＝（ ）时（ ）分 16．（2024·浙江湖州·小升初真题）观察数轴：若A表示0.1，则C表示（ ）；若B表示，则A表示（ ）。 三、计算题 17．（2024·福建莆田·小升初真题）直接写出得数。 4.5＋5.5＝      0.62＝      4÷25%＝       1÷÷1＝ 2.06－0.6＝     ＝      ＝     ×10＝ 18．（2024·四川绵阳·小升初真题）直接写出得数。 873＋199＝      0.64÷0.4＝     ＝      20×5÷20×5＝ ＝        ＝        ＝     ＝ 19．（2024·四川乐山·小升初真题）直接写出下面各题的得数。 133＋284＝      5－＝       276÷3＝       －＝ ÷＝       9.7－4.45＝     39×＝       ＋×9＝ 20．（2024·浙江湖州·小升初真题）直接写出得数。 2＋3.7＝       －＝      16×0.5＝       ÷×0＝ 210－98＝       1.2÷＝      ×＝        1－＋＝ 21．（2024·四川成都·小升初真题）直接写出得数。 0.99＋0.1＝    14.4－9.95＝           75%÷＝        分∶30秒＝   47.5÷6.1≈  （估算） 22．（2023·广西柳州·小升初真题）直接写出得数。 26＋72＝     7.8－5.1＝      ×＝         ÷＝ 0.72÷0.8＝     0.22＝       1.8×＝        25×a×4＝ 24．（2024·四川宜宾·小升初真题）直接写出得数。 19＋2.1＝      0.06×1000＝      240÷80＝       ＝ 0÷1.7＝      ＝         ＝         ＝ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$