精品解析：福建省南平市建阳第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024-2025（上）建阳二中高二数学期中考试卷 一、单选题 1. 直线与直线平行，则两平行直线的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 四边相等的四边形一定是平面图形 B. 空间一个点与一条直线可以确定一个平面 C. 一个平面的面积可以为 D. 相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面 3. 已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为(　　) A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 4. 已知函数在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. －2 B. －1 C. 2 D. 3 5. 若某几何体的三视图如图所示，此几何体的体积为 A. 144 B. 112 C. 114 D. 122 6. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，正确命题的序号为 ①平行于同一平面的两个平面平行； ②垂直于同一平面的两条直线平行； ③垂直于同一直线的两平面平行； ④平行于同一平面的两平面平行； ⑤垂直于同一平面的两个平面平行； ⑥如果两个平面垂直，过一个平面内一点作交线的垂线，则它就垂直于另一个平面； ⑦如果一个平面内的相交直线平行另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行； ⑧如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． A. ①②③④⑦⑧ B. ①③⑤⑥ C. ①②④⑥ D. ①④⑦ 8. 如图，长方体中，，，是侧棱上靠近点的三等分点，则三棱锥的体积为 A. B. C. D. 1 二、多选题 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 正四棱柱一定是正方体 B. 圆柱的母线和它的轴不一定平行 C. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 10. (多选)已知,是两条不同的直线,,是两不同的平面,是一个点,其中正确的是( ) A. 若,,则; B. 若,,则; C. 若,,,,则; D. 若,,,,,则. 11. 金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有，若正四面体ABCD的棱长为2，则正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知圆锥的母线长3，高为，则圆锥的表面积为____________. 13. 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面四边形的面积等于______． 14. 某空间几何体的三视图(单位：cm),如图所示，则此几何体侧视图的面积为______，此几何体的体积为________. 四、解答题 15. 如图，已知空间四边形，连接，，，，分别是，，的中点，请化简： （1）； （2），并在图中标出化简结果的向量. 16. 如图所示，已知几何体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体． （1）化简结果用表示并在图上标出该结果（点明E，F的具体位置）； （2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C11B，设，试求α，β，γ的值． 17. 如图，一个圆柱形的纸篓（有底无盖），它的母线长为40cm，底面的半径长为10cm． （1）求纸篓的容积； （2）求该纸篓的表面积． 18. 如图，在正方体中，为其中心． （1）化简； （2）若，则可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？（至少写出两个） 19. 已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体． (1)化简； (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BC C′ B′对角线B C′上的分点，设，试求α，β，γ的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025（上）建阳二中高二数学期中考试卷 一、单选题 1. 直线与直线平行，则两平行直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用两直线平行求出实数的值，然后利用两平行线间的距离公式可求出这两平行直线之间的距离. 【详解】由于直线与直线平行，则，得， 直线的方程为，化简得， 因此，两平行线间的距离为. 故选：C. 【点睛】本题考查两平行线间距离的计算，考查计算能力，属于基础题. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 四边相等的四边形一定是平面图形 B. 空间一个点与一条直线可以确定一个平面 C. 一个平面的面积可以为 D. 相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面图形的定义以及公理2的推论可判断ABC三个选项，由两条相交直线确定一个平面，分析四条直线相交的情况，可求出最多可以确定平面的个数. 【详解】四边相等的四边形可以为平面图形，也可以为空间四边形，故A为假命题； 空间一条直线与直线外一点可以确定一个平面，故B为假命题； 平面是无限延展的，所以平面不计算面积，故C为假命题； 相交于同一点的四条直线，当任三条直线不共面时，可以确定6个平面，故D为真命题． 故选：D． 3. 已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为(　　) A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，直线l的斜率等于，设出直线的倾斜角，由倾斜角和斜率的关系及倾斜角的范围可求直线的倾斜角. 【详解】直线l的斜率的绝对值等于， 线l的斜率等于，设直线的倾斜角为，则， 则或， 60°或120°. 故选：C. 【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，注意倾斜角的取值范围，体现了分类讨论的数学思想. 4. 已知函数在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. －2 B. －1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，解方程即可得到所求值. 【详解】函数的导数为， ∴，即函数在处的切线斜率为， 由切线与直线垂直， 可得， 解得. 故选：B. 5. 若某几何体的三视图如图所示，此几何体的体积为 A. 144 B. 112 C. 114 D. 122 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由三视图知该几何体是一个组合体，上面是底面边长为，高为的正四棱柱，体积为；下面是上下底面棱长分别为和，高为的正四棱台，体积为，所以几何体体积为，故选A. 考点：1、几何体的三视图；2、几何体的体积. 【方法点睛】本题主要考查三视图及空间几何体的体积，属于中档题. 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；（2）求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解；（3）求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解. 6. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，，， 因此异面直线与所成角的余弦值等于. 故选：D. 7. 下列命题中，正确命题的序号为 ①平行于同一平面的两个平面平行； ②垂直于同一平面的两条直线平行； ③垂直于同一直线的两平面平行； ④平行于同一平面的两平面平行； ⑤垂直于同一平面的两个平面平行； ⑥如果两个平面垂直，过一个平面内一点作交线的垂线，则它就垂直于另一个平面； ⑦如果一个平面内的相交直线平行另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行； ⑧如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． A. ①②③④⑦⑧ B. ①③⑤⑥ C. ①②④⑥ D. ①④⑦ 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面关系逐一判断 【详解】①平行于同一平面的两个平面平行； ②垂直于同一平面的两条直线平行； ③垂直于同一直线的两平面平行； ④平行于同一平面的两平面平行；与①相同 ⑤垂直于同一平面的两个平面可以平行，也可以相交；所以⑤错误 ⑥如果两个平面垂直，过一个平面内一点作交线的垂线，当这个垂线在其中一个平面内时才垂直于另一个平面；所以⑥错误 ⑦如果一个平面内的相交直线平行另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行； ⑧如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 综上正确命题的序号为①②③④⑦⑧，选A. 【点睛】本题考查线面平行与垂直关系判定，考查基本分析判断能力，属中档题 8. 如图，长方体中，，，是侧棱上靠近点的三等分点，则三棱锥的体积为 A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】连接作，证明平面则为点E到平面的距离，再计算体积即可 【详解】连接作，因为平面则又，故平面则为点E到平面的距离，因为 又为直角三角形，则 ，故 故选：B 【点睛】本题考查线面垂直的应用，考查等体积转化 ，考查计算能力，是中档题 二、多选题 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 正四棱柱一定是正方体 B. 圆柱的母线和它的轴不一定平行 C. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正四棱柱的定义，圆柱母线的定义，正棱锥的定定义，以及圆锥的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：正方体一定是四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故A错误， 对B：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故B错误； 对C：由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确； 对D：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故D错误． 故选：ABD． 10. (多选)已知,是两条不同的直线,,是两不同的平面,是一个点,其中正确的是( ) A. 若,,则; B. 若,,则; C. 若,,,,则; D. 若,,,,,则. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据点线面位置关系,逐项判断,即可求得答案. 【详解】对于A,若,,可不在直线,故A错误; 对于B,若,,可知上有一点在内,根据两点确定一条直线可知,不一定在内,故B错误; 对于C, ,,, ,故C正确; 对于D, ,,,, ,故D正确. 故选:CD. 【点睛】本题考查了判断点线面的位置关系,解题关键是掌握点线面基础知识和定理,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 11. 金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有，若正四面体ABCD的棱长为2，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由空间向量模的概念，数量积运算对选项逐一判断 【详解】由题意得是四面体外接球的球心， 设是顶点在下底面的射影，AO是四面体的高，OB是的外接圆半径， 则，，， 解得，， 对于A， ，故A错误； 对于B，∵，∴， ∴，∴，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确， 故选：BD 三、填空题 12. 已知圆锥的母线长3，高为，则圆锥的表面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据母线长度以及圆锥的高求出圆锥的底面半径，再圆锥侧面积面积公式以及圆的面积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，由 则， 所以圆锥的表面积. 故答案为： 【点睛】本题考查了圆锥的表面积求法，需熟记圆锥侧面积的公式，属于基础题. 13. 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面四边形的面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积与它的直观图的面积之间的关系是，先求出直观图即正方形的面积，根据比值求出原平行四边形的面积即可． 【详解】—个平面图形的面积与它的直观图的面积之间的关系是，因为直观图的面积，所以原平面四边形的面积为，故答案为. 【点睛】本题主要考查学生灵活运用据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，属于基础题. 14. 某空间几何体的三视图(单位：cm),如图所示，则此几何体侧视图的面积为______，此几何体的体积为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】确定几何体的侧视图的形状并求出面积；确定几何体的形状，进而求出体积. 【详解】由三视图还原几何体，如图： 几何体的侧视图是直角三角形，直角边长为4，，面积为； 由三视图知，该几何体是以正视图即直角梯形ABCD为底面的四棱锥， 其底面面积，棱锥的高， 所以几何体的体积为 故答案为：， 四、解答题 15. 如图，已知空间四边形，连接，，，，分别是，，的中点，请化简： （1）； （2），并在图中标出化简结果的向量. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】根据向量的线性运算直接分别化简. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 如图所示， 连接，因为，，分别是，，的中点， 所以，， 所以. 16. 如图所示，已知几何体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体． （1）化简结果用表示并在图上标出该结果（点明E，F的具体位置）； （2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C11B，设，试求α，β，γ的值． 【答案】 （1）取AA1的中点E，在D1C1上取一点F， 使得D1F＝2FC1，连接EF， 则． （2），，． 【解析】 【分析】（1）取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，连接EF，再根据向量的线性运算计算即可； （2）通过，，表示，根据对应关系求出α，β，γ的值即可． 【详解】解（1）略 （2） （）（） ， 所以，，γ. 17. 如图，一个圆柱形的纸篓（有底无盖），它的母线长为40cm，底面的半径长为10cm． （1）求纸篓的容积； （2）求该纸篓的表面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）根据给定条件，结合圆柱的体积和表面积公式计算即得. 【小问1详解】 依题意，纸篓的容积（）. 【小问2详解】 依题意，纸篓的表面积（）. 18. 如图，在正方体中，为其中心． （1）化简； （2）若，则可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？（至少写出两个） 【答案】（1）；（2）可以是中的任一个． 【解析】 【分析】（1）利用转化后利用向量的加法运算的几何表示运算化简； （2）利用转化后利用向量的加法运算化简已知条件得到，则所有与此相等的向量都可以是. 【详解】解：（1） ， （2）因为，所以 ． 所以，所以． 又因为， 所以可以是中的任一个． 19. 已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体． (1)化简； (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BC C′ B′对角线B C′上的分点，设，试求α，β，γ的值． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】(1)方法一　取AA′的中点为E，取F为D′C′的一个三等分点(D′F＝D′C′)，由空间向量的运算法则可得. 方法二　取AB的三等分点P使得，取CC′的中点Q，由空间向量的运算法则可得. (2)连结BD，则M为BD的中点，由空间向量的结论可得，则. 【详解】(1)方法一　取AA′的中点为E，则＝. 又＝，＝，取F为D′C′的一个三等分点(D′F＝D′C′)， 则＝. ∴＋＋＝＋＋＝. 方法二　取AB的三等分点P使得＝， 取CC′的中点Q，则＋＋ ＝＋＋＝＋＋ ＝＋＋＝. (2)连结BD，则M为BD的中点， ＝＋＝＋＝ (＋)＋ (＋) ＝ (－＋)＋ (＋)＝＋＋. ∴α＝，β＝，γ＝. 【点睛】选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $