6.3　特殊的平行四边形学案 2024-2025学年 青岛版数学八年级下册

第5课时　正方形的性质与判定 课时学习目标 素养目标达成 1.理解正方形的概念,明确正方形和菱形以及矩形的区别和联系 抽象能力 2.探索并证明正方形的性质和判定,会用其解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念 基础主干落实　　起步起势 向上向阳 新知要点 对点小练 1.正方形的性质 (1)四个角都是 ;  (2)四条边都 ;  (3)对角线 且 ,每一条对角线平分一组对角;  (4)是轴对称图形,有四条对称轴,两条对角线及对边中点的连线所在的直线是它的对称轴. 1.(1)正方形、矩形、菱形都具有的性质是 ( ) A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角 (2)如图,在正方形ABCD中, ①若对角线的长为2,则其面积为 .  ②若点E是对角线AC上一点,且AE=AB,则∠EBA的度数是 .  2.正方形的判定 2.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,再添加一个条件,使得四边形ABCD是正方形,这个条件可以是 (写出一个条件即可).  重点典例研析　　学贵有方 进而有道 重点1正方形的性质(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材溯源·P26例2拓展·2023·黄石中考)如图,正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=CN,AN与DM相交于点P. (1)求证:△ABN≌△DAM; (2)求∠APM的大小. 【举一反三】 1.如图,四边形ABCD是正方形,点E在AD上,连接BE,过点A作BE的垂线交CD于点F,点G为垂足,下列选项中的结论,不正确的是 ( ) A.AE=DF B.∠DFA=∠AEB C.AG=GF D.S△ABG=S四边形EGFD 2.(2024·北京期中)如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分别为点E,F,连接AP,EF,若AP=2,则EF= .  【技法点拨】 正方形性质应用的分析方法 已知条件 分析思路 已知只有正方形时 从正方形的边、角入手分析:分析哪些边相等,哪个内角等于90° 已知中出现正方形的“对角线”时 从正方形的对角线性质入手分析: ①对角线互相垂直、互相平分,相等,特别注意每条对角线平分一组内角. ②对角线所在的直线是正方形的对称轴 重点2正方形的判定(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P28T11拓展)如图,四边形AECF是菱形,对角线AC,EF交于点O,点D,B是对角线EF所在直线上两点,且DE=BF,连接AD,AB,CD,CB,∠ADO=45°. (1)求证:四边形ABCD是正方形; (2)若四边形ABCD的面积为72,BF=4,求菱形AECF的面积. 【举一反三】 1.下列说法正确的是 ( ) A.对角线相等的菱形是正方形 B.有一组邻边相等的平行四边形是正方形 C.有一个角是直角的平行四边形是正方形 D.各边都相等的四边形是正方形 2.(2024·鼓楼区校级二模)已知:如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接DF. (1)求证:AB=AF; (2)当△ABC满足 时,四边形ACDF为正方形.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　矩形的判定 课时学习目标 素养目标达成 探索并证明矩形的判定,会用矩形判定解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念 基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势 新知要点 对点小练 矩形的判定方法: 1.定义:有一个角是　直角　的平行四边形.  2.三个角都是　直角　的四边形.  3.对角线　相等　的平行四边形.  　要判断一个四边形门框是否为矩形,在下面四个初拟的方案中,可行的是 (D) A.测量对角线是否互相平分 B.测量两组对边是否相等 C.测量对角线是否相等 D.测量其中三个角是否为直角 重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒 重点1 矩形的判定(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P22补充例题拓展) 如图,在▱ABCD中,DE平分∠ADB,交AB于点E,BF平分∠CBD,交CD于点F. (1)求证:DE=BF; (2)若AD=BD,求证:四边形DEBF是矩形. 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠ADB=∠CBD, ∵DE平分∠ADB,BF平分∠CBD, ∴∠EDB=∠ADB,∠DBF=∠CBD, ∴∠EDB=∠DBF,∴DE∥BF, 又∵AB∥CD,∴四边形DEBF是平行四边形.∴DE=BF. (2)∵AD=BD,DE平分∠ADB, ∴DE⊥AB,∴∠DEB=90°, 又∵四边形DEBF是平行四边形, ∴四边形DEBF是矩形. 举一反三 　(2024·长春中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,O是边AB的中点,∠AOD=∠BOC. 求证:四边形ABCD是矩形. 【证明】∵O是边AB的中点,∴OA=OB, 在△AOD和△BOC中,, ∴△AOD≌△BOC(ASA),∴DA=CB, ∵∠A=∠B=90°,∴DA∥CB, ∴四边形ABCD是平行四边形, 又∵∠A=90°, ∴平行四边形ABCD是矩形. 重点2 矩形性质和判定的综合应用 (几何直观、推理能力) 【典例2】如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF,DE,AF与DE交于点O. (1)求证:四边形AEFD为矩形; (2)若AB=3,OE=2,BF=5,求DF的长. 【自主解答】(1)∵BE=CF, ∴BE+CE=CF+CE,即BC=EF, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∴AD=BC=EF,又∵AD∥EF, ∴四边形AEFD为平行四边形, ∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°, ∴四边形AEFD为矩形; (2)由(1)知,四边形AEFD为矩形, ∴DF=AE,AF=DE=2OE=4, ∵AB=3,AF=4,BF=5, ∴AB2+AF2=BF2, ∴△BAF为直角三角形,∠BAF=90°, ∴S△ABF=AB·AF=BF·AE, ∴AB·AF=BF·AE, 即3×4=5AE,∴AE=, ∴DF=AE=. 举一反三 　如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°. (1)求证:四边形ABCD是矩形. (2)DE⊥AC垂足为点E,交BC于点F,若∠ADF∶∠FDC=2∶1,则∠BDF的度数是多少? 【解析】(1)∵AO=CO,BO=DO, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ABC=∠ADC, ∵∠ABC+∠ADC=180°, ∴∠ABC=∠ADC=90°, ∴平行四边形ABCD是矩形; (2)由(1)得∠ADC=90°,四边形ABCD是矩形, ∵∠ADF∶∠FDC=2∶1, ∴∠FDC=30°, ∵DF⊥AC,∴∠DCO=90°-30°=60°, ∵AO=CO,BO=DO,AC=BD, ∴OC=OD, ∴∠ODC=∠DCO=60°, ∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=30°. 素养当堂测评　　(10分钟·16分) 1.(4分·推理能力、几何直观)下列各图中,是矩形的是 (D) 　　　　　　　　　　　　　　　 2.(4分·推理能力)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=6,若要使平行四边形ABCD为矩形,则OB的长度应为　3　.  3.(8分·推理能力、几何直观)如图,在▱ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD, ∴∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE, ∵E为BC的中点,∴EB=EC, ∴△ABE≌△FCE(AAS), ∴AB=CF. ∵AB∥CF,∴四边形ABFC是平行四边形, ∵BC=AF,∴平行四边形ABFC是矩形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课时　菱形的性质 课时学习目标 素养目标达成 1.理解菱形的概念,明确菱形和平行四边形的区别和联系 抽象能力 2.探索并证明菱形的性质,会用菱形性质解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念 3掌握菱形的面积公式,会求菱形的面积 几何直观、模型观念 基础主干落实　　九层之台 起于累土 新知要点 对点小练 1.菱形的定义与性质: (1)定义:有一组　邻边相等　的平行四边形.  (2)性质:①具有平行四边形所有的性质. ②边:　四条边　都相等.  ③对角线互相　垂直　,并且每一条对角线　平分　一组对角.  ④是轴对称图形,有两条对称轴,它的对角线所在的直线是它的对称轴. 1.如图,在菱形ABCD中, (1)∠A=100°,BD是菱形ABCD的一条对角线,则∠BDC的度数是　40°　.  (2)若∠A=120°,AB=3,则BD=　3　;AC=　3　.  2.菱形面积: S菱形=底×高=两条对角线乘积的　一半　  2.一个对角线长分别为6 cm和8 cm的菱形,这个菱形的面积为　24 cm2　.  重点典例研析　　循道而行 方能致远 重点1 菱形的性质(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材溯源·P28习题6.3T6·2023·嘉兴中考)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF. (1)求证:AE=AF; (2)若∠B=60°,求∠AEF的度数. 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,∠B=∠D, 又∵AE⊥BC,AF⊥CD, ∴∠AEB=∠AFD=90°. 在△AEB和△AFD中,, ∴△ABE ≌△ADF(AAS), ∴AE=AF. (2)∵四边形ABCD是菱形, ∴∠B+∠BAD=180°, ∵∠B=60°, ∴∠BAD=120°. 又∵∠AEB=90°,∠B=60°,∴∠BAE=30°. 由(1)知△ABE ≌△ADF, ∴∠BAE=∠DAF=30°, ∴∠EAF=120°-30°-30°=60°. ∵AE=AF, ∴△AEF是等边三角形,∴∠AEF=60°. 举一反三 　(2024·菏泽质检)如图,在菱形ABCD中,点E,F是对角线BD上的两点,DF=BE,连接AE,AF,CE. (1)求证:△ADF≌△CBE; (2)若BD=6,∠BAD=120°,且△AEF是等边三角形,求CE的长. 【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=BC,AD∥BC, ∴∠ADF=∠CBE, 在△ADF和△CBE中, , ∴△ADF≌△CBE(SAS); (2)∵AD∥BC,∠BAD=120°, ∴∠ABC=60°, ∵四边形ABCD是菱形, ∴∠ABE=∠CBE=30°,AB=BC, ∵BE=BE, ∴△ABE≌△CBE(SAS),∴AE=CE, ∵△AEF为等边三角形, ∴∠AEF=60°,AE=EF=AF, ∴∠BAE=60°-∠ABE=30°, ∴∠BAE=∠ABE, ∴BE=AE, 同理AF=DF,∴BE=EF=DF, ∵BD=6,∴AE=BE=BD=2, ∴CE=AE=2. 技法点拨 菱形的边和对角线的应用 1.菱形“边”的应用:菱形的四条边相等,可以知一边求菱形的周长,也可以求证线段相等. 2.菱形“对角线”的应用:菱形对角线互相垂直,可求证垂直(直角三角形等),可计算菱形的边长、周长、对角线的长以及面积问题. 重点2菱形性质的实际应用(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P28习题6.3T10拓展)蜜蜂采蜜时,如果蜜源很远它就会跳起“8字舞”,告诉同伴蜜源的方向.如图所示,两个全等菱形的边长为1 cm,一只蜜蜂由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,飞行2 020 cm后停下,则这只蜜蜂停在　E　点.  举一反三 　如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的,根据实际需要可以调节A,E间的距离.若A,E间的距离调节到90 cm,菱形的边长AB=30 cm,则∠DCB的度数是(C) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.80° B.100° C.120° D.140° 技法点拨 　利用菱形的性质解决问题的方法 利用菱形的性质,可解决实际问题中有关菱形边角的计算(或证明线段、角的相等)问题.一般是根据菱形的性质,将有关的边、角的求解问题,转化到三角形中(或证明三角形的全等),再利用学过的知识进行求解(或证出线段、角的相等),从而解决问题. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(4分·模型观念)下列性质中菱形不一定具有的性质是 (C) A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.既是轴对称图形又是中心对称图形 2.(4分·运算能力)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若菱形ABCD的面积是12,则△AOB的面积为 (A) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.6 C.24 D.48 3.(4分·推理能力)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,点E在对角线BD上,且BE=BA,那么∠AEB的度数是　70°　.  4.(8分·推理能力)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上,且BE=DF. 求证:∠BAE=∠DAF. 【证明】∵四边形ABCD是菱形, ∴∠B=∠D,AB=AD, 在△ABE和△ADF中,, ∴△ABE≌△ADF(SAS),∴∠BAE=∠DAF. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5课时　正方形的性质与判定 课时学习目标 素养目标达成 1.理解正方形的概念,明确正方形和菱形以及矩形的区别和联系 抽象能力 2.探索并证明正方形的性质和判定,会用其解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念 基础主干落实　　起步起势 向上向阳 新知要点 对点小练 1.正方形的性质 (1)四个角都是　直角　;  (2)四条边都　相等　;  (3)对角线　相等　且　互相垂直平分　,每一条对角线平分一组对角;  (4)是轴对称图形,有四条对称轴,两条对角线及对边中点的连线所在的直线是它的对称轴. 1.(1)正方形、矩形、菱形都具有的性质是 (A) A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角 (2)如图,在正方形ABCD中, ①若对角线的长为2,则其面积为　4　.  ②若点E是对角线AC上一点,且AE=AB,则∠EBA的度数是　67.5°　.  2.正方形的判定 2.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,再添加一个条件,使得四边形ABCD是正方形,这个条件可以是　AB=AD(答案不唯一)　(写出一个条件即可).  重点典例研析　　学贵有方 进而有道 重点1正方形的性质(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材溯源·P26例2拓展·2023·黄石中考)如图,正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=CN,AN与DM相交于点P. (1)求证:△ABN≌△DAM; (2)求∠APM的大小. 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD=BC,∠DAM=∠ABN=90°, ∵BM=CN, ∴BC-CN=AB-BM,即BN=AM, 在△ABN和△DAM中, ∴△ABN≌△DAM(SAS); (2)由(1)知△ABN≌△DAM, ∴∠MAP=∠ADM, ∴∠MAP+∠AMP=∠ADM+∠AMP=90°, ∴∠APM=180°-(∠MAP+∠AMP)=90°. 【举一反三】 1.如图,四边形ABCD是正方形,点E在AD上,连接BE,过点A作BE的垂线交CD于点F,点G为垂足,下列选项中的结论,不正确的是 (C) A.AE=DF B.∠DFA=∠AEB C.AG=GF D.S△ABG=S四边形EGFD 2.(2024·北京期中)如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分别为点E,F,连接AP,EF,若AP=2,则EF=　2　.  【技法点拨】 正方形性质应用的分析方法 已知条件 分析思路 已知只有正方形时 从正方形的边、角入手分析:分析哪些边相等,哪个内角等于90° 已知中出现正方形的“对角线”时 从正方形的对角线性质入手分析: ①对角线互相垂直、互相平分,相等,特别注意每条对角线平分一组内角. ②对角线所在的直线是正方形的对称轴 重点2正方形的判定(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P28T11拓展)如图,四边形AECF是菱形,对角线AC,EF交于点O,点D,B是对角线EF所在直线上两点,且DE=BF,连接AD,AB,CD,CB,∠ADO=45°. (1)求证:四边形ABCD是正方形; (2)若四边形ABCD的面积为72,BF=4,求菱形AECF的面积. 【自主解答】(1)∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O, ∴AC⊥EF,OA=OC,OE=OF, ∵DE=BF,∴OE+DE=OF+BF, ∴BO=DO.又∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形, ∵∠ADO=45°,∴∠DAO=∠ADO=45°, ∴AO=DO,∴AC=BD, ∴菱形ABCD是正方形; (2)∵正方形ABCD的面积为72, ∴AC·BD=72, ∴×4BO2=72, ∴BO=DO=CO=AO=6,∴AC=12, ∵BF=4,∴OF=2, ∵四边形AECF是菱形, ∴EF=2EO=2OF=4,AC⊥EF, ∴S菱形AECF=AC·EF=24. 【举一反三】 1.下列说法正确的是 (A) A.对角线相等的菱形是正方形 B.有一组邻边相等的平行四边形是正方形 C.有一个角是直角的平行四边形是正方形 D.各边都相等的四边形是正方形 2.(2024·鼓楼区校级二模)已知:如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接DF. (1)求证:AB=AF; (2)当△ABC满足　　　　时,四边形ACDF为正方形.  【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD,∴∠AFG=∠GCD, ∵点G是AD的中点,∴AG=DG, 在△AGF和△DGC中,, ∴△AGF≌△DGC(AAS), ∴AF=CD,∴AB=AF; (2)当AB=AC,∠BAC=90°时,四边形ACDF是正方形. 由(1)知,AF=CD, 又∵AB∥CD,∴AF∥CD, ∴四边形ACDF是平行四边形, 由(1)知,AB=AF, ∵AB=AC,∴AF=AC, ∴四边形ACDF是菱形, ∵∠BAC=90°,∴∠CAF=90°, ∴四边形ACDF是正方形. 答案:AB=AC,∠BAC=90° 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课时　菱形的判定 课时学习目标 素养目标达成 探索并证明菱形的判定定理,会用判定定理解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念 基础主干落实　　博观约取 厚积薄发 新知要点 对点小练 菱形的判定方法: (1)定义:有一组 的平行四边形. (2)边: 都相等的四边形.  (3)对角线互相 的平行四边形.  如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件: ,使四边形ABCD成为菱形.  重点典例研析　　精钻细研 学深悟透 重点1菱形的判定(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材溯源·P28T9)(2023·怀化中考)如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F. (1)证明:△BOF ≌△DOE; (2)连接BE,DF,证明:四边形EBFD是菱形. 【举一反三】 (2024·菏泽模拟)如图,在▱ABCD中,点E是CD的中点,连接AE并延长交直线BC于点F. (1)求证:△ADE≌△FCE; (2)连接AC,DF,请添加一个条件,使得四边形ACFD是菱形.(不需要写理由) 【技法点拨】 菱形的常用判定方法的选择 已有条件 需要条件 平行四边形 邻边相等 对角线互相垂直 每条对角线平分一组对角 一般四边形 四条边都相等 对角线互相垂直平分 对角线互相平分,且每一条对角线平分一组对角 重点2菱形性质和判定的综合应用(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材溯源·P28T7·2023随州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD. (1)求证:四边形OCED是菱形; (2)若BC=3,DC=2,求四边形OCED的面积. 【举一反三】 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,E为AD的中点.过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F,连接BF. (1)求证:四边形ADBF为菱形; (2)若AB=8,菱形ADBF的面积为40,求AC的长. 【技法点拨】 计算菱形面积的两种方法 (1)如果已知菱形两条对角线长分别为a,b,选择S=ab. (2)已知菱形一边长(或周长)和一内角度数(30°,45°,60°)时,选择S=底边×高. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(4分·模型观念) 如图,要使▱ABCD成为菱形,需要添加的条件可以是( ) A.AB=AC B.AC⊥BD C.∠BAC=90° D.AC=BD 2.(4分·推理能力)依据所标识的数据,下列平行四边形一定为菱形的是 ( ) 3.(4分·推理能力) 如图,在等腰三角形ABC中,CB=CA,将其沿AB折叠使点C与点D重合,延长AB至点F,DB至点E,∠EBF=55°,则∠C的度数是 .  4.(8分·几何直观、推理能力)(2023·湘西中考)如图,四边形ABCD是平行四边形,BM∥DN,且分别交对角线AC于点M,N,连接MD,BN. (1)求证:∠DMN=∠BNM; (2)若∠BAC=∠DAC.求证:四边形BMDN是菱形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3　特殊的平行四边形 第1课时　矩形的性质 课时学习目标 素养目标达成 1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系;探索并证明矩形的性质,会用矩形性质解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念 2.理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要结论 推理能力、模型观念 基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 新知要点 对点小练 1.矩形的定义及性质 (1)定义:有一个角是 的平行四边形.  (2)性质:①具有平行四边形的所有性质. ②角:四个角都是 .  ③对角线:对角线 .  1.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, (1)若∠ACB=70°,则∠AOB= .  (2)若∠BAC=30°,BC=3,则BD= .  2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .  2.(2023·郴州中考)在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则AB边上的中线CD= .  重点典例研析　　启思凝智 教学相长 重点1矩形的性质(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材溯源·P20T1改编·2024陕西中考)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF,求证:AF=DE. 举一反三 如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F在BC的延长线上,且EF=BC. 求证:△ABE≌△DCF. 技法点拨 矩形性质的三点应用 　(1)证明线段平行、相等或倍分关系. (2)证明角相等或求角的度数. (3)解决与全等有关的问题. 重点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(几何直观、推理能力) 【典例2】已知:如图,∠ABC=∠ADC=90°,点O是线段AC的中点. (1)求证:OB=OD; (2)若∠CAD=60°,OB=6,求△AOD的周长. 举一反三 1.如图,点C为线段AB的中点,∠AMB=∠ANB=90°,则△CMN是 三角形.  2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,∠B=30°,点E在BC上,且CE=AC,则∠CDE的大小为 .  技法点拨 　直角三角形斜边上中线的性质及其拓展 (1)性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,在Rt△BAC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,则AD=BC. (2)拓展:①∠1=∠2,∠3=∠4;②∠ADB=2∠3=2∠4,∠ADC=2∠1=2∠2. 素养当堂测评　　(10分钟·16分) 1.(4分·推理能力、运算能力)将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上,∠EGF=90°,∠FEG=30°,∠1=130°,则∠BFG的度数为 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.130° B.120° C.110° D.100° 2.(4分·推理能力、运算能力)如图,在四边形AECD中,∠EAD=90°,AD∥EC,F为DE的中点,∠DEC=25°,则∠FAD的大小是 .  3.(8分·几何直观、推理能力)(2024·无锡中考)如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,连接AE,DE.求证: (1)△ABE≌△DCE; (2)∠EAD=∠EDA. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3　特殊的平行四边形 第1课时　矩形的性质 课时学习目标 素养目标达成 1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系;探索并证明矩形的性质,会用矩形性质解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念 2.理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要结论 推理能力、模型观念 基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 新知要点 对点小练 1.矩形的定义及性质 (1)定义:有一个角是　直角　的平行四边形.  (2)性质:①具有平行四边形的所有性质. ②角:四个角都是　直角　.  ③对角线:对角线　相等　.  1.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, (1)若∠ACB=70°,则∠AOB=　140°　.  (2)若∠BAC=30°,BC=3,则BD=　6　.  2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的　一半　.  2.(2023·郴州中考)在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则AB边上的中线CD=　5　.  重点典例研析　　启思凝智 教学相长 重点1矩形的性质(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材溯源·P20T1改编·2024陕西中考)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF,求证:AF=DE. 【自主解答】∵四边形ABCD为矩形, ∴AB=CD,∠B=∠C=90°, ∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF. 即BF=CE, 在△ABF和△DCE中,, ∴△ABF≌△DCE(SAS),∴AF=DE. 举一反三 如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F在BC的延长线上,且EF=BC. 求证:△ABE≌△DCF. 【证明】∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD,∠ABC=∠DCB=∠DCF=90°, ∴∠ABE=∠DCF=90°,∵EF=BC, ∴BC-EC=EF-EC,∴BE=CF, 在△ABE和△DCF中,, ∴△ABE≌△DCF(SAS). 技法点拨 矩形性质的三点应用 　(1)证明线段平行、相等或倍分关系. (2)证明角相等或求角的度数. (3)解决与全等有关的问题. 重点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(几何直观、推理能力) 【典例2】已知:如图,∠ABC=∠ADC=90°,点O是线段AC的中点. (1)求证:OB=OD; (2)若∠CAD=60°,OB=6,求△AOD的周长. 【自主解答】(1)∵∠ABC=∠ADC=90°,点O是AC的中点,∴OB=AC,OD=AC,∴OB=OD; (2)∵OB=6,OD=OB, ∴OD=6, ∵∠ADC=90°,点O为AC的中点, ∴OA=OD, ∵∠CAD=60°, ∴OA=AD=OD=6, ∴△AOD的周长是OA+AD+OD=6+6+6=18. 举一反三 1.如图,点C为线段AB的中点,∠AMB=∠ANB=90°,则△CMN是　等腰　三角形.  2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,∠B=30°,点E在BC上,且CE=AC,则∠CDE的大小为　75°　.  技法点拨 　直角三角形斜边上中线的性质及其拓展 (1)性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,在Rt△BAC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,则AD=BC. (2)拓展:①∠1=∠2,∠3=∠4;②∠ADB=2∠3=2∠4,∠ADC=2∠1=2∠2. 素养当堂测评　　(10分钟·16分) 1.(4分·推理能力、运算能力)将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上,∠EGF=90°,∠FEG=30°,∠1=130°,则∠BFG的度数为 (C) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.130° B.120° C.110° D.100° 2.(4分·推理能力、运算能力)如图,在四边形AECD中,∠EAD=90°,AD∥EC,F为DE的中点,∠DEC=25°,则∠FAD的大小是　25°　.  3.(8分·几何直观、推理能力)(2024·无锡中考)如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,连接AE,DE.求证: (1)△ABE≌△DCE; (2)∠EAD=∠EDA. 【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠B=∠C=90°, ∵E是BC的中点,∴BE=CE, 在△ABE和△DCE中, , ∴△ABE≌△DCE(SAS) (2)∵△ABE≌△DCE, ∴AE=DE, ∴∠EAD=∠EDA. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　矩形的判定 课时学习目标 素养目标达成 探索并证明矩形的判定,会用矩形判定解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念 基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势 新知要点 对点小练 矩形的判定方法: 1.定义:有一个角是 的平行四边形.  2.三个角都是 的四边形.  3.对角线 的平行四边形.  　要判断一个四边形门框是否为矩形,在下面四个初拟的方案中,可行的是 ( ) A.测量对角线是否互相平分 B.测量两组对边是否相等 C.测量对角线是否相等 D.测量其中三个角是否为直角 重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒 重点1 矩形的判定(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P22补充例题拓展) 如图,在▱ABCD中,DE平分∠ADB,交AB于点E,BF平分∠CBD,交CD于点F. (1)求证:DE=BF; (2)若AD=BD,求证:四边形DEBF是矩形. 举一反三 　(2024·长春中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,O是边AB的中点,∠AOD=∠BOC. 求证:四边形ABCD是矩形. 重点2 矩形性质和判定的综合应用 (几何直观、推理能力) 【典例2】如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF,DE,AF与DE交于点O. (1)求证:四边形AEFD为矩形; (2)若AB=3,OE=2,BF=5,求DF的长. 举一反三 　如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°. (1)求证:四边形ABCD是矩形. (2)DE⊥AC垂足为点E,交BC于点F,若∠ADF∶∠FDC=2∶1,则∠BDF的度数是多少? 素养当堂测评　　(10分钟·16分) 1.(4分·推理能力、几何直观)下列各图中,是矩形的是 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 2.(4分·推理能力)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=6,若要使平行四边形ABCD为矩形,则OB的长度应为 .  3.(8分·推理能力、几何直观)如图,在▱ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课时　菱形的性质 课时学习目标 素养目标达成 1.理解菱形的概念,明确菱形和平行四边形的区别和联系 抽象能力 2.探索并证明菱形的性质,会用菱形性质解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念 3掌握菱形的面积公式,会求菱形的面积 几何直观、模型观念 基础主干落实　　九层之台 起于累土 新知要点 对点小练 1.菱形的定义与性质: (1)定义:有一组 的平行四边形.  (2)性质:①具有平行四边形所有的性质. ②边: 都相等.  ③对角线互相 ,并且每一条对角线 一组对角.  ④是轴对称图形,有两条对称轴,它的对角线所在的直线是它的对称轴. 1.如图,在菱形ABCD中, (1)∠A=100°,BD是菱形ABCD的一条对角线,则∠BDC的度数是 .  (2)若∠A=120°,AB=3,则BD= ;AC= .  2.菱形面积: S菱形=底×高=两条对角线乘积的 2.一个对角线长分别为6 cm和8 cm的菱形,这个菱形的面积为 .  重点典例研析　　循道而行 方能致远 重点1 菱形的性质(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材溯源·P28习题6.3T6·2023·嘉兴中考)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF. (1)求证:AE=AF; (2)若∠B=60°,求∠AEF的度数. 举一反三 　(2024·菏泽质检)如图,在菱形ABCD中,点E,F是对角线BD上的两点,DF=BE,连接AE,AF,CE. (1)求证:△ADF≌△CBE; (2)若BD=6,∠BAD=120°,且△AEF是等边三角形,求CE的长. 技法点拨 菱形的边和对角线的应用 1.菱形“边”的应用:菱形的四条边相等,可以知一边求菱形的周长,也可以求证线段相等. 2.菱形“对角线”的应用:菱形对角线互相垂直,可求证垂直(直角三角形等),可计算菱形的边长、周长、对角线的长以及面积问题. 重点2菱形性质的实际应用(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P28习题6.3T10拓展)蜜蜂采蜜时,如果蜜源很远它就会跳起“8字舞”,告诉同伴蜜源的方向.如图所示,两个全等菱形的边长为1 cm,一只蜜蜂由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,飞行2 020 cm后停下,则这只蜜蜂停在 点.  举一反三 　如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的,根据实际需要可以调节A,E间的距离.若A,E间的距离调节到90 cm,菱形的边长AB=30 cm,则∠DCB的度数是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.80° B.100° C.120° D.140° 技法点拨 　利用菱形的性质解决问题的方法 利用菱形的性质,可解决实际问题中有关菱形边角的计算(或证明线段、角的相等)问题.一般是根据菱形的性质,将有关的边、角的求解问题,转化到三角形中(或证明三角形的全等),再利用学过的知识进行求解(或证出线段、角的相等),从而解决问题. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(4分·模型观念)下列性质中菱形不一定具有的性质是 ( ) A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.既是轴对称图形又是中心对称图形 2.(4分·运算能力)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若菱形ABCD的面积是12,则△AOB的面积为 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.6 C.24 D.48 3.(4分·推理能力)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,点E在对角线BD上,且BE=BA,那么∠AEB的度数是 .  4.(8分·推理能力)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上,且BE=DF. 求证:∠BAE=∠DAF. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课时　菱形的判定 课时学习目标 素养目标达成 探索并证明菱形的判定定理,会用判定定理解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念 基础主干落实　　博观约取 厚积薄发 新知要点 对点小练 菱形的判定方法: (1)定义:有一组邻边相等的平行四边形. (2)边:　四条边　都相等的四边形.  (3)对角线互相　垂直　的平行四边形.  如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件:　AD∥BC(AB=CD或OB=OD或∠ADB=∠CBD等)　,使四边形ABCD成为菱形.  重点典例研析　　精钻细研 学深悟透 重点1菱形的判定(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材溯源·P28T9)(2023·怀化中考)如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F. (1)证明:△BOF ≌△DOE; (2)连接BE,DF,证明:四边形EBFD是菱形. 【自主解答】(1)如图所示, ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∵O是BD的中点, ∴BO=DO, 在△BOF与△DOE中,, ∴△BOF ≌△DOE(AAS); (2)∵△BOF ≌△DOE, ∴ED=BF, 又∵ED∥BF, ∴四边形EBFD是平行四边形, ∵EF⊥BD,∴四边形EBFD是菱形. 【举一反三】 (2024·菏泽模拟)如图,在▱ABCD中,点E是CD的中点,连接AE并延长交直线BC于点F. (1)求证:△ADE≌△FCE; (2)连接AC,DF,请添加一个条件,使得四边形ACFD是菱形.(不需要写理由) 【解析】(1)∵点E是CD的中点, ∴DE=CE, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠DAE=∠F, 在△ADE与△FCE中, , ∴△ADE≌△FCE(AAS); (2)添加CA=CF(答案不唯一). 【技法点拨】 菱形的常用判定方法的选择 已有条件 需要条件 平行四边形 邻边相等 对角线互相垂直 每条对角线平分一组对角 一般四边形 四条边都相等 对角线互相垂直平分 对角线互相平分,且每一条对角线平分一组对角 重点2菱形性质和判定的综合应用(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材溯源·P28T7·2023随州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD. (1)求证:四边形OCED是菱形; (2)若BC=3,DC=2,求四边形OCED的面积. 【自主解答】(1)∵DE∥AC,CE∥BD, ∴四边形OCED是平行四边形, ∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD,OC=AC,OD=BD, ∴OC=OD,∴平行四边形OCED是菱形; (2)矩形ABCD的面积为BC·DC=3×2=6, ∴△OCD的面积为×6=, ∴菱形OCED的面积为2×=3. 【举一反三】 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,E为AD的中点.过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F,连接BF. (1)求证:四边形ADBF为菱形; (2)若AB=8,菱形ADBF的面积为40,求AC的长. 【解析】(1)∵AF∥BC, ∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE, ∵E为AD的中点,∴AE=DE, ∴△AFE ≌△DCE(AAS),∴EF=EC, ∵D为BC的中点,∴AD∥FB, ∵AF∥BC,∴四边形AFBD是平行四边形, ∵∠BAC=90°,D是BC的中点, ∴AD=BD=BC, ∴四边形ADBF是菱形; (2)∵四边形ADBF是菱形,∴S菱形ADBF=2S△ABD, ∵点D是BC的中点, ∴S△ABC=2S△ABD,∴S菱形ADBF=S△ABC=40, ∴AB·AC=40,∴×8·AC=40, ∴AC=10,∴AC的长为10. 【技法点拨】 计算菱形面积的两种方法 (1)如果已知菱形两条对角线长分别为a,b,选择S=ab. (2)已知菱形一边长(或周长)和一内角度数(30°,45°,60°)时,选择S=底边×高. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(4分·模型观念) 如图,要使▱ABCD成为菱形,需要添加的条件可以是(B) A.AB=AC B.AC⊥BD C.∠BAC=90° D.AC=BD 2.(4分·推理能力)依据所标识的数据,下列平行四边形一定为菱形的是 (C) 3.(4分·推理能力) 如图,在等腰三角形ABC中,CB=CA,将其沿AB折叠使点C与点D重合,延长AB至点F,DB至点E,∠EBF=55°,则∠C的度数是　70°　.  4.(8分·几何直观、推理能力)(2023·湘西中考)如图,四边形ABCD是平行四边形,BM∥DN,且分别交对角线AC于点M,N,连接MD,BN. (1)求证:∠DMN=∠BNM; (2)若∠BAC=∠DAC.求证:四边形BMDN是菱形. 【解析】(1)连接BD,交AC于点O, ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD, ∵BM∥DN,∴∠MBO=∠NDO, 又∠BOM=∠DON,∴△BOM ≌△DON, ∴BM=DN,∴四边形BMDN为平行四边形, ∴BN∥DM,∴∠DMN=∠BNM; (2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD, ∴∠BCA=∠DAC, ∵∠BAC=∠DAC,∴∠BAC=∠BCA, ∴AB=BC,∴四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,∴MN⊥BD, ∴平行四边形BMDN是菱形. 学科网（北京）股份有限公司 $$