精品解析：江西省宜春中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

2027届高一年级上学期第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：“”，则为（ ） A. B. C. 不存在 D. 3. 下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 某学校举办运动会，比赛项目包括田径､游泳､球类，经统计高一年级有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛，有人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有人；同时参加三项比赛的有人.则高一年级参加比赛的同学有（ ） A. 98人 B. 106人 C. 104人 D. 110人 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，，，则M，N，P的关系（ ） A.  B.  C.  D.  8. 若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）；（2）对于的任意子集，当且时，有；（3）对于的任意子集当且时，有，则称是集合的一个“——集合类”例如：是集合的一个“——集合类”.已知，则所有含的“——集合类”的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（ ） A. 集合C的所有非空真子集个数是2 B. 集合C的所有非空真子集个数是6 C. 集合C的所有子集个数是4 D. 集合C的所有子集个数是8 10. 若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的解集为 D. 的最小值为 11. 已知均为正实数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的最大值为8 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解是__________. 13. 函数的值域为_______． 14. 已知函数，且不等式的解集中有且仅有两个正整数，若关于的不等式的解集是，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若或，求m的取值范围． 16. （1）求的最小值； （2）已知，，，求的最小值． 17. 已知，命题p：关于x的方程在有两个不相等的实数根；命题q：函数的定义域为R． （1）若命题p为真，求实数m的取值范围； （2）若命题p与命题q恰有一个为真，求实数m的取值范围． 18. 汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、.当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，） 阶段 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 时间 秒 秒 距离 米 米 （1）请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间.（精确到0.1秒） （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？ 19. 设A是正整数集的非空子集，称集合，且为集合A的生成集． （1）当时，写出集合A的生成集B； （2）若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高一年级上学期第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合，再结合集合的混合运算，即可求解. 【详解】由题意，集合，， 可得，所以. 故选：C. 2. 已知命题：“”，则为（ ） A. B. C. 不存在 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】命题：“”， 则为 故选:B 3. 下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系分析判断. 【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以是的真子集，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 综上所述：正确的个数为2. 故选：B. 4. 某学校举办运动会，比赛项目包括田径､游泳､球类，经统计高一年级有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛，有人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有人；同时参加三项比赛的有人.则高一年级参加比赛的同学有（ ） A. 98人 B. 106人 C. 104人 D. 110人 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦恩图可求高一年级参加比赛的同学的人数. 【详解】 由上述韦恩图可得高一年级参加比赛的同学的人数为： ， 故选：B. 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】举出反例即可判断A；根据不等式的性质即可判断BD；利用作差法即可判断C. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于C，， 由，得，所以，故C正确； 对于D，由，得，又，所以，故D正确． 故选：A． 6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出的定义域，结合函数列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意可知函数的定义域为，即， 故，则的定义域为， 则对于，需满足， 即的定义域为， 故选：C 7. 已知集合，，，则M，N，P的关系（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【解析】 【分析】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系. 【详解】由， 又，， 而为偶数，和为整数，所以⫋. 故选：B. 8. 若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）；（2）对于的任意子集，当且时，有；（3）对于的任意子集当且时，有，则称是集合的一个“——集合类”例如：是集合的一个“——集合类”.已知，则所有含的“——集合类”的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】确定中一定含有，再分类讨论，一一列举出能含有的其他元素，综合即可得答案. 【详解】的子集有， 由题意知中一定含有， 则中可以含有的其他元素从剩余的5个集合中选取； 当剩余的5个集合都不选时，，共1个； 当只取1个时，或， 或，满足题意，此时有3个； 当取2个时，或， 或，满足题意，此时有3个； 当取3个时，或， 或，或，满足题意，此时有4个； 当取4个时，没有符合题意的情况； 当5个全选时，，共1个， 故所有含的“—集合类”的个数为， 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（ ） A. 集合C的所有非空真子集个数是2 B. 集合C的所有非空真子集个数是6 C. 集合C的所有子集个数是4 D. 集合C的所有子集个数是8 【答案】BD 【解析】 【分析】计算得，根据题意得到，考虑和这两种情况，分别计算再结合子集及非空真子集即可. 【详解】由题意，， 因为， 所以， 当时，，合题意， 当时，，， 因为， 所以或，所以或， 故． 集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误， 集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误. 故选：BD. 10. 若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的解集为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】题意说明的两根为,代入法1得的值，从而可逐项判断. 【详解】根据题意，关于的不等式的解集为， 所以的两根为， 则，解得， 所以，即A错误，B正确； 且为，解得或， 所以的解集为，C正确； ， 所以的最大值为，D错误. 故选：BC 11. 已知均为正实数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的最大值为8 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用重要不等式判断A，利用基本不等式判断B，利用‘1’的代换判断C，利用换元法结合二次函数性质判断D即可. 【详解】对于A，因为，当且仅当时取等， 所以，故A正确， 对于B，因为，当且仅当时取等， 而，所以，解得， 则的最小值为8，故B错误， 对于C，因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时，故C正确， 对于D，因为，所以， 因为， ， 令，所以新函数为， 由题意得若取得最小值，则取得最大值， 由二次函数性质得，当时，取得最大值， 且其最大值为， 所以最小值为，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解是__________. 【答案】 【解析】 【分析】移项通分化为整式不等式求解即可. 【详解】由可得：， 即，解得：. 故答案为：. 13. 函数的值域为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法将问题转化为二次函数的值域求解，即可得答案. 【详解】令，，则， 则，即为， 其图象对称轴为，则该函数在上单调递减， 故， 故函数的值域为， 故答案为： 14. 已知函数，且不等式的解集中有且仅有两个正整数，若关于的不等式的解集是，则的最大值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】先利用已知求得的范围，再结合方程与不等式的关系，韦达定理及基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为有且仅有两个正整数解，所以两个正整数解为1和2， 所以，即，所以． 因为，即， 因为不等式的解集为， 所以为的两根， 所以， 所以， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以的最大值为4． 故答案为：4． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若或，求m的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用交集、并集、补集的定义求解即得. （2）利用交集的结果，借助集合的包含关系建立不等式并求解即得. 【小问1详解】 依题意，，或，当时，， 所以，. 【小问2详解】 若或，则或， 当时，，解得； 当时，若，则，解得， 若，则，无解，因此， 所以m的取值范围为. 16. （1）求的最小值； （2）已知，，，求的最小值． 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，，然后结合基本不等式即可求解； （2）由已知得，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为3； （2）因为，，， 所以， ， 当且仅当且，即，时取等号， 故的最小值为． 17. 已知，命题p：关于x的方程在有两个不相等的实数根；命题q：函数的定义域为R． （1）若命题p为真，求实数m的取值范围； （2）若命题p与命题q恰有一个为真，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由关于x的方程在有两个不相等的实数根，列出不等式组求解即可. （2）命题p与命题q恰有一个为真，分别有p真q假，p假q真，列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意知， ， 【小问2详解】 命题q为真， 对恒成立， ①当时成立 ②当，即 ． 当p真q假时 ， 当p假q真时 ， 综上，或. 18. 汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、.当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，） 阶段 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 时间 秒 秒 距离 米 米 （1）请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间.（精确到0.1秒） （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？ 【答案】（1），3.1（秒） （2）汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得的表达式，利用基本不等式即可求出所求最短时间； （2）由题意可列出相应不等式，化为一元二次不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由题意得，， 当时，， 若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶， 则汽车撞上固定障碍物的时间（秒）， 即最短时间为3.1秒； 【小问2详解】 根据题意，要求对于任意，恒成立， 即对于任意，，即恒成立， 由得，，即， 解得，（米/秒），（千米/小时）， 汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时． 19. 设A是正整数集的非空子集，称集合，且为集合A的生成集． （1）当时，写出集合A的生成集B； （2）若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 【答案】（1）； （2）4； （3） 不存在，理由如下： 假设存在4个正整数构成的集合，使其生成集， 不妨设，则集合A的生成集由组成， 又， 所以， 若，又，则，故， 若，又，则，故， 所以，又，则，而， 所以不成立， 所以假设不成立， 故不存在4个正整数构成的集合A，使其生成集. 【解析】 【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解； （2）设，且，利用生成集的定义即可求解； （3）假设存在集合，可得，，，，然后结合条件说明即得. 【小问1详解】 因为，所以， 所以； 【小问2详解】 设，不妨设， 因为， 所以中元素个数大于等于4个， 又，则，此时中元素个数等于4个， 所以生成集B中元素个数的最小值为4； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $