3.2.1函数的单调性教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

《函数的单调性》教学设计 一、教材分析 函数的单调性是高中数学人教A版必修第一册第三章第二节第一课时的内容，本节课的主要内容是函数单调性的概念和用图像和定义判断函数的单调性，函数的单调性是函数的基本性质之一，它既是函数的概念的延伸，也是接下来要学习的基本初等函数的基础，起到承上启下的作用，同时，它在导数、极限以及它们的综合问题中受到十分广泛的应用。在这个过程中涉及到的数学思想有数形结合和特殊到一般，它们起着启示和示范的作用，除此之外，它还是高考常考的考点之一。 二、学情分析 1. 学生在初中阶段已经学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数的基本性质和简单应用； 2. 学生能够直观地观察函数上升和下降的趋势； 3. 学生缺乏用数学语言抽象函数单调性概念的能力，逻辑思维能力不高，代数推理论证能力弱。 三、教学目标 1.知识与技能：理解函数单调性的概念，基本掌握判断和证明函数单调性的方法； 2.过程与方法：通过观察、归纳、抽象、概括，自主构建函数单调性的概念的过程，领会数形结合的数学思想方法，提高发现、分析、解决问题的能力，培养数学抽象这一核心素养； 3.情感态度与价值观：在函数单调性的学习过程中，让学生体会数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 四、教学重难点 1. 函数单调性概念的理解和应用； 2. 函数单调性的判定及证明。 5、 教法、学法分析 1.教法: 本节课通过直观呈现函数图像，学生观察分析，将函数的增减性用图形语言、自然语言描述，最后抽象概括出符号语言。以问题驱动课堂，教师不断启发学生自主探究，充分发挥学生的积极性、主动性；在课堂上，教师有效地渗透数学思想方法，发展学生数学素养。采用如下的教学方法： （1） 引导发现法：通过观察分析、抽象概括函数单调性的定义，培养学生观察分析的能力，发展数形结合的数学素养； （2） 讲授法：教师总结函数单调性的证明方法，加深学生对函数单调性的理解， 培养学生的逻辑推理能力。 2.学法： 本节课注重调动学生仔细观察、积极思考、主动探究。在教学过程中，教师从实际出发，不断创设问题，引导学生积极地观察和分析，激发学生的求知欲和 学习积极性，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间。 （1）探究学习法：学生通过观察分析函数图像，抽象概括出函数单调性的定义；（2）自主学习法：以问题驱动课堂，通过问题串，引导学生进一步理解函数单调性： （3）反馈练习法：通过练习检验学生函数单调性证明的情况，找出学生存在的 问题，进而帮助学生解决问题，从而充分发挥学生的主观能动性。 6、 教学过程 过程一：情境导入 (问题情境)下图是某地区一天的温度变化，观察温度的变化。 问题一：你能用语言描述这一天气温的变化吗？ 问题二：气温随着时间变化可以作为一个函数图象吗？ 问题三：该图象的定义域是多少？ 问题四：如何用数学语言来刻画温度随着时间变化的趋势呢？ （学生）：温度在0时到4时下降，在4时到14时上升，在14时到24时下降 （老师）：用函数的观点来看，将时间看作自变量，将温度看作因变量，这张图反映的就是因变量（温度）随着自变量（时间）的变化趋势 过程二：问题探究 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质.今天我们先学习函数从左到右图象上升或下降的这种变化规律——函数的单调性。 同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们首先就是建立函数单调性的严格定义。 问题五：我们在初中学过哪几种函数？ （学生）：一次函数、二次函数、反比例函数 问题六：请同学们分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律？ （学生）： （1）函数，在整个定义域内随的增大而增大. （2）函数，在整个定义域内随的增大而减小. （3）函数，在（0，+∞）上随的增大而增大，在(-∞，0)上随的增大而减小. （4）函数，在（0，+∞）上随的增大而减小，在(-∞，0)上随的增大而减小. （老师）： 如果函数在某个区间上随自变量的增大，越来越大，我们说函数在该区间上为增函数； 如果函数在某个区间上随自变量的增大，越来越小，我们说函数在 该区间上为减函数. 以为例，在区间[0，+∞）上是增函数，[0，+∞）称作函数的单调递增区间. 【设计意图】：引导学生进行分类描述（增函数、减函数），同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间面言的，是函数的局部性质，这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识，完成对函数单调性的第一次认识. 例1 如图是定义在[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数？ 解：的单调区间有[-5，-2），[-2，-1），[1，3），[3，5]. 在[-5，-2），[1，3）上是减函数；在[-2，-1），[3，5]上是增函数. 问题七：如果是函数的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？ 【教学预设】 学生的困难是难以确定分界点的确切位置，通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化的研究. 【设计意图】：使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性. 问题八：如何从解析式的角度说明在[0，+∞）上为增函数？ 【生成预设】 （1） 在给定区间内取两个数，例如2和3，因为，所以在[0，+∞）上为增函数. （2） 仿（1），取多组数值验证均满足，所以在[0，+∞）上为增函数. （3） 在区间[0，+∞）上，任取两个自变量的值，得到因为，即所以当时，有，因此在[0，+∞）上为增函数. 【设计意图】：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量. （老师）：将其推广到一般情况，试给出增函数的定义，并类比得出减函数的定义. （学生）：设函数的定义域为I，对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是增（减）函数. （老师）：如果函数在区间D上是增函数或减函数，就说函数在 区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做函数的单调区间. 【设计意图】：把对单调性的认识由感性认识上升到理性认识的高度，完成对概念的第二次认识，事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫. 过程三：巩固提升 问题九：下面图中的①、②、③依次是定义在[-5，5]上的函数，，的图象，根据图象分别说出这三个函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它们分别是增函数还是减函数? 【师生活动】 （学生）：①中的函数的单调区间为[-5，-2)，[-2，1)，[1，5].其中函数在区间[-5，-2)上是减函数，在[-2，1)，[1，5]上是增函数、②③与①相同. （学生）：②中的函数的单调这间为[-5，-2)，[-2，5].其中函数在区间[-5，-2)上是减函数，在[-2，5]上是增函数，③与②相同. （老师）：同学把②与③中的区间[-2，1)，[1，5]取了并集，能否取并集呢？ （学生）：能，把区间[-2，1)，[1，5]取了并集后，书写更为简单明了，并且函数在区间[-2，5]上满足增函数的定义. 例2 判断正误. ①若函数满足，则函数在[2，3]上为增函数. ②因为函数在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，所以 在（-∞，0)U（0，+∞）上是减函数. ③若对于定义域内任意的当时，都有，则在定义域内是增函数. 【师生活动】 （学生）：①错误.例如满足，但函数在[2, 3]上不是增函数. （学生）：②错误，例如，取如得.此时，对但，不满足减函数定义. （学生）：③正确，因为，不妨设，由得，所以在定义域内是增函数. （老师）：由③，我们可以得到类似的结论； 若对于定义域内任意的，当时，都有则在定义域内是减函数. 若对于定义域内任意的，当时，，则在定义域内是增（减）函数. 【设计意图】：通过判断正误，特别是③，是定义的等价形式，帮助学生透过现象看本质，完成对函教单调性定义的第三次深化理解. 例3 证明函数在上是增函数. 证明：任取且， ，即 所以函数在上是增函数 过程四：归纳总结 1. 小结 （1）函数单调性的概念 （2）利用定义证明函数单调性的步骤: ①取值.设任意属于给定区间，且; ②作差、变形.变形的常用方法：因式分解、配方、有理化等; ③定号.确定的正负号； （3）数学思想方法：数形结合，特殊到一般 【设计意图】：教师注意暴露学生的思维过程，抓住学生的易错点、模糊点进行辨析，对证明过程纠正、完善，完成对函数单调性定义的第四次深化理解. 2. 作业 必做题：课本39-40页习题2.3的1-5题 选做题：研究函数的单调性. 【设计意图】：尊重学生的差异性，布置差异性作业. 学科网（北京）股份有限公司 $$