2025年中考数学备考专题训练5四边形

2025中考备考专题训练5四边形 （考查范围：平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定及性质的应用） 一、基础训练 1．如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线上的两点，．连接．求证：四边形ABDF是平行四边形； 2．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点在对角线上，且，连接．求证：四边形AECF是平行四边形．    3．如图，在四边形ABCD中，．求证：四边形ABCD是平行四边形．    4．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，依次顺序连接各边中点得到四边形EFGH． (1)猜想四边形EFGH是什么特殊四边形？ (2)对你的猜想给予证明． 5．如图，在△ABC中，点F是的中点，点E是线段的延长线上的一动点，连接，过点C作，与线段的延长线交于点D，连接． (1)求证：四边形DBEC是平行四边形； (2)若，，在点E的运动过程中，当______时，四边形DBEC是菱形． 6．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，那么当四边形为菱形时的长是多少？ 7．如图，E，F是平行四边形的对角线上两点，． (1)求证：； (2)连接，，请判断四边形的形状，并说明理由． 8．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为20，求的长． 9．如图，在菱形中，对角线交于点O，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，求四边形的周长． 10．如图，已知E、F分别是的边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，且，求的长． 11．如图，在矩形中，点在边上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)连结，若平分，求证四边形的为菱形． 12．已知：如图，．，与相交于点，且．．求证：四边形为矩形． 13．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于N，连接，求证：四边形是菱形． 14．如图，在矩形中，，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 15．如图，在矩形中，点分别在上，直线分别交的延长线于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，，，求的长． 16．如图，在中，∠B=90°，，，作菱形，使点D，E，F分别在，，上．点P在线段上，点R在线段上，且，交于点Q．    (1)求菱形的边长． (2)求证：四边形是平行四边形． (3)当的邻边之比为时，求的长． 17．已知：如图，在平行四边形中，和是平行四边形的高． (1)求证：； (2)若，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论． 18．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则___________时，四边形是菱形． 19．如图，平行四边形的两条对角线与相交于点是线段上的两点，连接，已知．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求证：四边形为菱形． 20．如图，在中，，是边上的中线，过点作，过点作，求证：四边形是菱形． 二、巩固训练 21．如图，O为矩形对角线的交点，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的周长． 22．如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在上的点处，折痕为，过点作交于点.     (1)求证：四边形为菱形； (2)当折痕的点与点重合时（如图2），求菱形的边长. 23．如图，点是边上一点，且，分别过点作的平行线交于点，求证：四边形是菱形． 24．如图，在四边形中，与相交于点O，且，点E在上，且    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 25．如图，已知四边形和都是正方形，在上截取，延长到点，使，求证：四边形是正方形， 26．如图，中，过点作，交的延长线点；过点作，交的延长线于点，交于点，连接，． (1)求的长； (2)求证：四边形为菱形． 27．在矩形中，对角线，相交于点E，延长到C，使得，延长到D，使得，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 28．如图，点，分别在的边，上，且，过点作交的平分线交于点，连接．求证：四边形是菱形．    29．如图，点O为矩形对角线的交点，过点D作于点E，延长，使，连接并延长，使，连接．    (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的长． 30．如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，求的长． 31．如图，在矩形中，，分别为，的中点，连接，，，，与 交于点，与交于点．求证：四边形为菱形．    32．如图，O是四边形两条对角线和的中点，E为四边形外一点，连接，四边形是矩形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的面积为12，周长为，求四边形的周长． 33．如图，矩形的顶点E，G分别在的边，上，顶点F，H在的对角线上． (1)求证：； (2)若E为的中点，，求证：四边形是菱形． 34．如图，在中，E，F分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，当满足什么条件时，四边形为菱形？（不需要说明理由） 35．在矩形中，连接，延长至E，使，过点E作交延长线于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求菱形的面积． 36．如图，已知是矩形的对角线，的垂直平分线分别交、于点和，交于点． (1)求证：四边形是菱形： (2)若，，求四边形的周长． 37．如图，在△ABC中，分别为的中点，过点作交DE的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接BE，若，，则的长为__________． 38．在中，，分别是，的中点，连接，，，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则四边形的面积为__________． 39．如图，在△ABC中，，分别是边，上的中线，与相交于点O，连接．    (1)若，求线段的长； (2)线段与线段有怎样的数量关系，并证明． 40．如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025中考备考专题训练5四边形 参考答案 1．见解析 【分析】先推导，得到，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 2．详见解析 【分析】求出，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关性质与判定定理是解题的关键． 3．见解析 【分析】根据分别得到，，根据平行四边形的定义即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义是解题的关键． 4．(1)菱形 (2)见解析 【分析】（1）四边形ABCD是矩形，依次顺序连接各边中点得到四边形EFGH是菱形； （2）连接AC，BD，根据中位线的性质得出且EF＝GH，从而四边形EFGH是平行四边形，再根据EF＝EH得出四边形EFGH是菱形． 【详解】（1）四边形ABCD是矩形，依次顺序连接各边中点得到四边形EFGH是菱形， ∴猜想四边形EFGH是菱形； （2）证明：如图，连接AC，BD， ∵E，F分别是AD，AB中点，∴EF是的中位线， ∴且， 同理，且， ∴且EF＝GH， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵E，H分别是AD，CD的中点，∴EH是的中位线， ∴且，而四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC， ∴EF＝EH， ∴四边形EFGH是菱形． 【点睛】本题考查中位线和矩形的性质以及平行四边形、菱形的判定定理，熟记平行四边形、菱形、矩形的性质和判定是解题的关键． 5．(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）证明得到，再由即可证明四边形是平行四边形； （2）根据，可以得到，若四边形是菱形，则，即可证明是等边三角形，由此即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定，菱形的性质，等边三角形的性质与判定等等，熟知菱形的性质和平行四边形的判定是解题的关键 6．(1)见解析 (2)3 【分析】（1）证明，即可得，问题随之得解； （2）当四边形是菱形时，，根据，可得，再证明是等边三角形，即可得解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）当四边形是菱形时，， ， ， ，， 是等边三角形， ， 当四边形是菱形时，的长是 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定以及菱形的性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 7．(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，见解析 【分析】 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质； （1）根据平行四边形的性质可得，，则，然后可证； （2）根据全等三角形的性质可得，，根据平行线的判定证明，再根据平行四边形的判定定理得出结论． 【详解】（1）证明：∵在平行四边形中，，， ∴， 又∵， ∴； （2）四边形是平行四边形； 证明：连接，， 由（1）得， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 8．(1)见详解 (2)10 【分析】（1）利用平行线的性质可得，，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得菱形的面积的面积，再根据点是的中点，可得的面积的面积，进而可得菱形的面积的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． 本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ，， 点是的中点， ， ， ， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， 菱形的面积的面积， 点是的中点， 的面积的面积， 菱形的面积的面积， ， ， ， 的长为10． 9．(1)见解析 (2)22 【分析】（1）由菱形的性质可得，进而结论得证； （2）证明四边形是平行四边形，则，然后进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形周长为， ∴四边形的周长为22． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 10．(1)见解析 (2)5 【分析】该题主要考查了平行四边形的判定与性质和菱形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用平行四边形的性质得出，从而得出，进而求解即可． （2）利用菱形的性质以及三角形内角和定理得出，可求得，再利用直角三角形的性质得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，且， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识． （1）根据证明即可． （2）先证明四边形是平行四边形，再证明，可得结论． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ，， ， ； （2）证明：如图，连接． ， ，， ∴， 四边形是平行四边形． 平分， ， ∵， ， ， ， 四边形是菱形． 12．见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．先证四边形是菱形，得出，再由平行线的性质得出，则，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． 13．见解析 【分析】本题考查菱形的判定，矩形的性质，证明，得到，即可得证． 【详解】证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵是对角线的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是菱形． 14．(1)见解析 (2)20 【分析】（1）先由得到，进而得到四边形是平行四边形，再由得到即可证明； （2）设菱形的边长为x，则，在中使用勾股定理解出x，即可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：设菱形的边长为x，则， ， 在中， ，即， 解得：， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理等知识点，解题的关键是运用数学结合思想转化、表示各线段． 15．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由矩形的性质可得，，进而由得到，即可证明四边形是平行四边形； （）由菱形的性质得到，由勾股定理可得，即得到，解之即可求解； 本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，四边形是菱形， ∴， ∵ 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即的长为． 16．(1)2 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据菱形性质可得，从而得到，进而得到，即可求出； （2）由（1）得：，和可得是等边三角形，设，则，， 从而可求出，即可证明； （3）分别表示出的长，分两种情况讨论：ⅰ）当时，ⅱ）当时， 【详解】（1）解：在菱形中，，，， 在中，，，， ∴，， ∴， ∴，即菱形的边长为2． （2）解：∵在中，，， ∴， 由（1）得：， ∴是等边三角形，， ∴， 设，则，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设与交点为G，如图，    ∴ ， 由（1）得：菱形的边长为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （3）解：由（2）得：，， ∵，，， ∴， 由（1）得：菱形的边长为2， ∴， ∵的邻边之比为， ∴有两种情况． ⅰ）当时，，解得． ⅱ）当时，，解得． ∴的长为或． 【点睛】本题考查了几何问题，涉及到等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键． 17．(1)见解析 (2)时，四边形是菱形，见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． （2）解：时，四边形是菱形．理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故时，四边形是菱形． 18．(1)见详解 (2)4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）首先证明，易得，，结合三角形外角的定义和性质证明，可知，根据“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可证明结论； （2）首先根据题意可得，当四边形是菱形时，可有，结合可知为等边三角形，进而可得，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解： ∵，， ∴， ∴， 当四边形是菱形时，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴时，四边形是菱形． 故答案为：4． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定等知识点；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由平行四边形的性质得，再证明，得，进而得，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）证明平行四边形是菱形，得，再由菱形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ． 在和中， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形． （2）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形， ． 由（1）可知，四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形． 20．证明见解析． 【分析】本题考查直角三角形的性质、平行四边形的判定及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据直角三角形的性质可得，即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形． 21．(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形和菱形的性质． (1)由题意可证四边形是平行四边形，由矩形的性质可得可得结论； (2)由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴四边形是菱形． （2）解：在中， ， ， ∴菱形的周长． 22．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、勾股定理等知识；掌握基础知识是解本题的关键． （1）根据一组对边平行且相等可证得：四边形为平行四边形，再加上可得结论； （2）先由折叠得：，利用勾股定理得：，设，则，，中，由勾股定理得：，解出即可； 【详解】（1）证明：由题意可知： ∵点与点关于对称， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：如图，当点与点重合时， 由折叠可知：， ∵在直角中，， ∴， ∴， 设，则，， 中，由勾股定理得：， 解得：， 即菱形的边长 23．证明见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，先根据平行四边形的定义证明四边形是平行四边形，再根据等角对等边得到，即可由菱形的定义求证，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 24．(1)见解析 (2) 【分析】（1）证 得 再由即可得出结论; （2）由等腰三角形的性质得则平行四边形是菱形，再由勾股定理求出 则 即可得出答案. 【详解】（1）证明:∵， ∴， 在和 中, ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2） ， ∴平行四边形是菱形， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ∴菱形的面积 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质 以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键. 25．证明见解析 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，掌握特殊四边形的判定是解题关键．根据正方形的性质，易证，得到，，推出四边形是菱形，再得出，即可证明结论． 【详解】解：四边形和都是正方形， ，，， ， ， ， ，， 在、、、中， ， ， ，， 四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形 26．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定； （1）证明四边形是平行四边形，得出，求出即可得解； （2）证明，可得，然后证明，根据菱形的判定定理可得结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，即， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ； （2）证明：∵， ∴，， 由（1）得， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． 27．(1)见解析 (2)96 【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，证明四边形是菱形即可； （2）根据矩形，，得到，，结合，得到，利用勾股定理，得到，求得k值， 利用菱形面积公式解答即可． 本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴四边形 是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）∵矩形，， ∴，， ∵， 设， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形面积是， 故四边形面积是96． 28．见解析 【分析】根据四条边相等的四边形是菱形进行证明即可． 【详解】证明：∵是的平分线， ∴ 又， ∴ ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∴ ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，证明是解答本题的关键． 29．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质和菱形的判定解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为菱形； （2）∵ ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和菱形的判定解答． 30．(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，再根据， ，即可求证； （2）先通过菱形的性质及勾股定理求解到的长，再通过勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． （2）解：连接，如图： ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 31．见解析 【分析】连接，先根据矩形的性质，得到四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质，得出，同理可得：，进而得出四边形为平行四边形，易知，且，再根据平行四边形的判定，得出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理，得出四边形是矩形，再根据菱形的判定定理，即可得出四边形为菱形． 【详解】解：如图，连接，   四边形是矩形， ，且， 又∵，分别是，的中点， ，， ，且， 四边形是平行四边形， ， 同理可得：， 四边形是平行四边形． 易知，且， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点并运用数形结合思想． 32．(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了菱形的判定、菱形的性质、矩形的性质等知识点，灵活运用特殊四边形的性质和判定定理成为解题的关键 （1）先证明四边形是平行四边形，再由证明对角线互相垂直可平行四边形为菱形即可证明结论； （2）根据矩形面积和周长关系可得，易得菱形的边长，然后求周长即可． 【详解】（1）证明：∵O是四边形两条对角线和的中点， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ，即， ∴四边形为菱形． （2）解：∵矩形的面积为12，周长为14， ，， ， ，即， 由（1）知四边形为菱形， ， 四边形的周长为． 33．(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，求得，根据平行四边形性质得到，得，证明即可得到结论； （2）连接，根据中点的性质求得，在证四边形是平行四边形，得，求得，根据．得，即可得出结论． 【详解】（1）四边形是矩形， ，， ，得， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中 ， ． （2）连接， E为的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ． ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 34．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，证出，即可得出四边形是平行四边形； （2）由直角三角形斜边上的中线性质得，再由菱形的判定即可得出结论． 本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． 、分别是、的中点， ，， ． 四边形是平行四边形； （2）解：当满足时，四边形是菱形， 连接 证明如下：，点是的中点， ， 平行四边形是菱形． 35．(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识点， （1）利用矩形的性质得到，结合已知证明平行四边形，再利用即可证明菱形； （2）根据矩形和菱形的性质求出，再利用面积公式计算； 解题的关键是掌握菱形的判定方法，灵活运用菱形的性质． 【详解】（1）∵平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）∵平行四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为． 36．(1)见解析； (2)四边形的周长为． 【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，菱形的判定，矩形的性质和勾股定理，解题关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. （1）根据垂直平分，得到，，即可得到再根据，得到即可得到则从而可以证明； （2）设菱形的边长为由题意得：，，再利用勾股定理进行计算即可解答. 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）设，则 在中，， 即， 解得：， 所以四边形的周长． 37．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，，可证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）过点E作，由四边形是菱形，可得从而得出，根据直角三角形性质得出 ，然后由勾股定理得的长． 【详解】（1）证明：点、分别是边、的中点， 是的中位线，， ，， 又， 四边形是平行四边形， ，， ． 平行四边形是菱形； （2）解：如图，过点E作， 四边形是菱形， ， ， ， 由（1）得， ，， ， ． 故答案为：． 38．(1)见解析 (2)96 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出BE∥DF，AB=DC，结合中点的定义，得出BE=DF， 则可证明四边形BEDF为平行四边形； （2）连接AN，EF和MN，取EF和MN的交点为O,利用（1）的结论，再证明四边形EMFN是平行四边形，结合连接AN，，得出四边形EMFN是菱形，根据三角形中位线定理和平行线的公理推出F、N、A三点共线，利用ASA证明△AEN≌△EBM，推出S△AEN=S△AND=S△EBM，同理得到S△FCB=2S△BEM=2S△DFN ，再证明四边形EBMN为平行四边形，求出MN的长，则可得出OM长，根据勾股定理求出OE的长，然后求出菱形EMFN的面积，最后根据面积的和差关系求出四边形ABCD的面积即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BE∥DF，AB=DC， 又∵E、F分别为AB和CD的中点， ∴BE=DF， ∴四边形BEDF为平行四边形； （2）解：如图，连接AN，EF和MN，取EF和MN的交点为O, 由（1）得四边形BEDF为平行四边形， ∴BF∥DE，BF=DE， 即MF∥DN， 由M、N分别是BF和DE的中点， ∴MF=EN， ∴四边形EMFN是平行四边形， ∵， ∴四边形EMFN是菱形， ∵E为AB的中点， 在△BAF中，EM为中位线， ∴EM∥AF， 又EM∥NF， ∴F、N、A三点共线， 又EN=ND， ∴S△AEN=S△AND， ∵ME∥AF， ∠BEM=∠EAM， ∵EN∥BF， ∴∠AEN=∠EBM， 又AE=BE， ∴△AEN≌△EBM（ASA）， ∴S△AEN=S△AND=S△EBM， 同理S△FCB=2S△BEM=2S△DFN ， ∵菱形EMFN与△BEM等底同高， ∴S菱形EMFN=2S△BEM， ∵AB=12, ∴BE=AB=6， 连接MN， ∵EN∥BM， ∴EN=BM， ∴四边形EBMN为平行四边形， ∴EB∥MN， 且EB=MN=6， 连接EF， ∵MN=6， ∴ ， 又EN=5， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，菱形的判定和性质，以及面积的和差关系和转换，解题的关键根据题意作出辅助线，借助等底同高的性质找出三角形和平行四边形的关系． 39．(1)5； (2)，证明见解析． 【分析】本题考查三角形中位的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握三角形中位的性质是解题的关键． （1）证明是的中位线，利用三角形中位线的性质即可求解； （2）分别取线段，的中点M，N，连接，，，则是的中位线，利用中位线的性质证明，，从而证得四边形是平行四边形，利用平行线的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，分别是边，上的中线， 点D，点E分别是边，上的中点， 是的中位线， ， ， ． （2）解：． 证明：如图，分别取线段，的中点M，N，连接，，，则是的中位线，   ，， ∵是的中位线， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ． 40．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，证明四边形是平行四边形，再利用三角形中位线定理得到，，利用矩形的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）利用三角形中位线定理和菱形性质得到，利用lx 面积公式得到，再利用完全平方公式结合勾股定理进行变形求解即可得到． 【详解】（1）解：连接，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形中，点、、、分别是各边的中点， ，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形中，点、、、分别是各边的中点， ，， 矩形的周长为22， ， 四边形是菱形， 即， 四边形的面积为10， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，矩形的性质和判定，三角形中位线定理，菱形的性质和判定，菱形面积公式，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握相关性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$