1.7 平面向量的应用举例课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

湘教版数学必修第二册 第1章 平面向量及其应用 1.7 平面向量的应用举例 首页外框字体为：方正呐喊体 另外使用：方正静蕾简体 1 平面几何中的向量方法 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点 共线等问题 向量共线定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝（x1， y1），b＝（x2，y2），b≠0 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝（x1， y1），b＝（x2，y2），且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝（θ为向量a，b的夹角），其中 a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 ｜a｜＝＝，其中a＝（x，y），a 为非零向量 练习巩固 练习巩固 练习巩固 专项研习--平面几何中的垂直问题 研习 1 平面几何中的垂直问题 [典例1]　如图所示，在正方形 ABCD 中， P 为对角线 AC 上任意一点， PE ⊥ AB ， PF ⊥ BC ，垂足分别为 E ， F ，连接 DP ， EF ，求证： DP ⊥ EF . [证明]　证法一：不妨设正方形 ABCD 的边长为1， AE ＝ a （0＜ a ＜1）， 则 EP ＝ AE ＝ a ， PF ＝ EB ＝1－ a ， AP ＝ a ， ∴ · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ · ＋ · ＋ · ＋ · ＝1× a × cos 180°＋1×（1－ a ）× cos 90°＋ a × a × cos 45°＋ a ×（1－ a ） × cos 45°＝－ a ＋ a 2＋ a （1－ a ）＝0，∴ ⊥ ，即 DP ⊥ EF . 证法二：不妨设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设 P （ x ， x ）， 则 D （0，1）， E （ x ，0）， F （1， x ）， 所以 ＝（ x ， x －1）， ＝（1－ x ， x ）， 由于 · ＝ x （1－ x ）＋ x （ x －1）＝0， 所以 ⊥ ，即 DP ⊥ EF . 练习巩固 [练习1]　如图所示，在正方形 ABCD 中， E ， F 分别是 AB ， BC 的中点，求证： AF ⊥ DE . 证明：证法一：设 ＝ a ， ＝ b ，则｜ a ｜＝｜ b ｜， a · b ＝0. 又 ＝ ＋ ＝－ a ＋ ， ＝ ＋ ＝ b ＋ ， 所以 · ＝（ b ＋ ）·（－ a ＋ ） ＝－ a 2－ a · b ＋ ＝－ ｜ a ｜2＋ ｜ b ｜2＝0. ∴ ⊥ ，即 AF ⊥ DE . 练习巩固 证法二：如图所示，建立平面直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则 A （0，0）， D （0，2）， E （1，0）， F （2，1）， 则 ＝（2，1）， ＝（1，－2）. 因为 · ＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0. 所以 ⊥ ，即 AF ⊥ DE . 专项研习--平面几何中的长度问题 [典例2]　如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AD ＝1， AB ＝2，对角线 BD ＝2，求对 角线 AC 的长. 解：由题意，得 ＝ ＋ ， ＝ － ， 又 BD ＝2， AD ＝1， AB ＝2， ∴ ＝（ － ）2， 即4＝ ＋ －2 · ＝1＋4－2 · ， ∴ · ＝ ， ∴｜ ｜＝ ＝ ＝ ＝ .即 AC ＝ . 专项研习--向量在物理中的应用 研习 3 向量在物理中的应用 [典例3]　如图，在细绳 O 处用水平力 F 2缓慢拉起重力为 G 的物体，绳子与铅垂方向 的夹角为θ，绳子所受到的拉力为 F 1. （1）求｜ F 1｜，｜ F 2｜随角θ的变化而变化的情况； [解]　（1）如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则， 得｜ F 1｜＝ ，｜ F 2｜＝｜ G ｜tan θ， θ∈［0， ）. 当θ从0°趋向于90°时，｜ F 1｜，｜ F 2｜都逐渐变大. 专项研习 （2）当｜ F 1｜≤2｜ G ｜时，求角θ的取值范围. [思路点拨]　对题目中所给的物理量进行分析，转化成向量的平行四边形法则后进行求解. [解]　（2）由（1），得｜ F 1｜＝ . 由｜ F 1｜≤2｜ G ｜，得 cos θ≥ . 又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°. 故θ的取值范围是0°≤θ≤60°. 练习巩固 1. 用力 F 推动一物体水平运动 s m，且 F 与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为 （　D　） A. ｜F｜·s B. F·s· cos θ C. F·s· sin θ D. ｜F｜·s· cos θ 解析： F 在水平方向上的力的大小为｜ F ｜· cos θ，故 W ＝｜ F ｜· s · cos θ. D 2. 如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为 s ，位移 为 a ，则（　A　） A. s＞｜a｜ B. s＜｜a｜ C. s＝｜a｜ D. s与｜a｜不能比大小 解析： s ＝200＋300＝500（km），｜ a ｜＝ ＝100 （km），∴ s ＞｜ a ｜.故选A. A 练习巩固 3. 用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根 绳子的拉力大小都为 ⁠N. 解析：设重力为 G ，每根绳的拉力分别为 F 1， F 2，则由题意得 F 1， F 2与－ G 都成 60°角，且｜ F 1｜＝｜ F 2｜. ∴｜ F 1｜＝｜ F 2｜＝｜ G ｜＝10 N，∴每根绳子的拉力都为10 N. 10　 练习巩固 4. 两个大小相等的共点力 F 1， F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们 的夹角为120°时，合力大小为（　B　） A. 40 N B. 10 N C. 20 N D. 10 N 解析：设夹角90°时，合力为 F ，｜ F 1｜＝｜ F 2｜＝｜ F ｜ cos 45°＝10 ，当θ＝ 120°，由平行四边形法则，知｜ F 合｜＝｜ F 1｜＝｜ F 2｜＝10 （N）. 5. 用力 F 推动一物体 G ，使其沿水平方向运动 s ， F 与 G 的垂直方向的夹角为θ，则 F 对物体 G 所做的功为（　D　） A. F·s cos θ B. F·s sin θ C. ｜F｜｜s｜ cos θ D. ｜F｜｜s｜ sin θ B D 练习巩固 解析：如图， F 与 s 的夹角为 －θ， ∴ W ＝｜ F ｜｜ s ｜ cos （ －θ）＝｜ F ｜｜ s ｜ sin θ. 练习巩固 6. （多选）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变， 那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（　AC　） A. 绳子的拉力不断增大 B. 绳子的拉力不断变小 C. 船的浮力不断变小 D. 船的浮力保持不变 解析：设水的阻力为 f ，绳的拉力为 F ， F 与水平方向的夹角为θ（0＜θ＜ ）. 则｜ F ｜ cos θ＝｜ f ｜，｜ F ｜＝ . ∵θ增大， cos θ减小，∴｜ F ｜增大. ∵｜ F ｜ sin θ增大，∴船的浮力变小. AC 布置作业 练习册对应章节 $$