1.7 平面向量的应用举例 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

§1.7　平面向量的应用举例 第1章　平面向量及其应用 学习目标 1.会用向量方法解决计算或证明几何中的相关问题，体会向量在解决数学和实际问题中的 作用. 2.会用向量法解决力学问题，体会向量在解决物理问题中的作用. 向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具.物理中的力、速度、位移都属于向量.故向量与物理中的力学、运动学有着千丝万缕的联系，若将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题的解答更便捷. 导语 内容索引 一、平面向量中的最值与范围问题 二、用向量解决平面几何中的证明问题 课时对点练 三、向量在物理中的应用 随堂演练 一 平面向量中的最值与范围问题 例1　如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，若点E为CD上的动点，求　　　 的最小值. 6 如图，取AB的中点F，连接EF， 分别过F，B作CD的垂线，垂足分别为H，G， 当点E与H重合时，EF取得最小值， 7 易知HF为梯形DABG的中位线， 8 向量集“数”与“形”于一身，在解决与最值有关的问题时，既可以从数出发，建立平面直角坐标系解题，又可以从形出发，利用向量的几何性质解题. 反思感悟 9 √ 10 以A为原点，以AB所在的直线为x轴，过点A作AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 11 设f(x)＝(x－2)2－1，可得f(x)在[1,2)上单调递减，在[2,5]上单调递增， 所以f(x)min＝f(2)＝－1，f(x)max＝f(5)＝8， 12 二 用向量解决平面几何中的证明问题 14 15 16 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算所得结果转化为几何问题. 反思感悟 17 (2)向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③利用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题. 反思感悟 18 跟踪训练2　设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB. 19 20 所以PQ∥AB. 21 三 向量在物理中的应用 例3　帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向. 23 建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20 km/h， 设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2. 24 所以α＝30°， 25 利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基，将题中涉及的向量用基表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算；第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算. 反思感悟 26 跟踪训练3　已知河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 km/h，求小船的实际航行速度. 27 设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度， ∴小船的实际航行速度大小为20 km/h，按北偏东30°的方向航行. 28 1.知识清单： (1)平面向量中的最值与范围问题. (2)用向量解决平面几何中的证明问题. (3)向量在物理中的应用. 2.方法归纳：转化法、坐标法. 3.常见误区：不能将几何或物理问题转化为向量问题. 课堂小结 随堂演练 四 A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 3.在平面直角坐标系中，力F＝(2,3)作用于一物体，使物体从点A(2,0)移动到点B(4,0)，则力F对物体作的功为____. 4 根据题意， 又F＝(2,3), 1 2 3 4 1 2 3 4 建立如图所示的平面直角坐标系，易知A(0,0)， 因为AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1， 课时对点练 五 1.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知F3＝－(F1＋F2)， 2.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用的时间为 A.2　　　 B.3 　　　 C.4　　　 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设BC的中点是O， 所以动点M在线段BC的中垂线上， 所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，延长AG交BC于D， ∵G是△ABC的重心， ∴AD为△ABC的中线. 即AD⊥BC，故△ABC是等腰三角形，且AB＝AC， 则△ABC外接圆圆心在直线AD上，设为O，则OA＝OC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴△OAC是等边三角形， ∴OA＝OC＝AC＝AB＝1， 即△ABC外接圆的半径为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵WG＝G·s＝|G||s|cos(90°－θ)＝20×1×cos(90°－θ)＝10 (J)， 7.一个重20 N的物体从倾斜角为θ，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10 J，则θ＝_____. 30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)，∴C(2,1). ∵E，F分别为BC，CD的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0). (1)求F1，F2分别对质点所做的功； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3. (2)求F1，F2的合力F对质点所做的功. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 F＝F1＋F2＝(3,4)＋(6，－5)＝(9，－1)， ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102. ∴合力F对质点所做的功为－102. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则|a|＝|b|，a·b＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2， 则A(0，0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，过D作DE∥AC交AB于E，作DF∥AB交AC于F， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是 A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小 C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大. ∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以A为原点，AB所在直线，垂直于AB所在的直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴当λ∈[0,1]时，λ2＋λ－3∈[－3，－1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记P(a，b).若斜坐标系中坐标原点为O，x轴正方向和y轴正方向的夹角θ＝60°，点M(2,1)，N(1,2)，则△OMN的 面积为________. 设与x轴方向相同的单位向量为e1，与y轴方向相同的单位向量为e2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设t h后，台风中心移动到Q处， 此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得12≤t≤24. ∴12小时后该城市开始受到台风的侵袭.  · 则·＝·＝(＋)·(－) ＝2－2＝2－. 可知当||最小时·取最小值， 由已知得|BG|＝，|AD|＝1， 则|EF|＝(|BG|＋|AD|)＝， 故·的最小值为. 跟踪训练1　在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠A＝，点P在边CD上，则·的取值范围是 A.[－1,8] B.[－1，＋∞) C.[0,8] D.[－1,0] 所以＝(－x，－)，＝(4－x，－)， 所以·＝x(x－4)＋3＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 由题意，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠A＝， 则A(0,0)，B(4,0)，D(1，)， 设P(x，)，则1≤x≤5， 所以·的取值范围是[－1,8]. 例2　如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上. ＝－m＋(m＋n)＝m＋n， ＝＋＝＋ 设＝m，＝n， 由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点， 所以＝＋＝＋ ＝(m＋n)－m＝m＋n. 所以＝. 又点O为和的公共点，故点E，O， F在同一直线上. ＝＋[(－)－(＋)] ＝＋(－) 设＝λ(λ＞0且λ≠1)， 因为＝－＝＋－ ＝＋(－) ＝(＋)＝(－λ＋1)， 所以∥，又P，Q，A，B四点不共线， 由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10，10)，向量v2＝(20,0)， 则v＝v1＋v2＝(10,10)＋(20,0)＝(30,10)， 所以|v|＝＝20(km/h). 因为tan α＝＝(α为v和v2的夹角，α为锐角)， 所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为 20 km/h. 则＝a＋b，且即为小船的实际航行速度. ∴||＝＝＝20(km/h)， tan∠AOC＝＝，∴∠AOC＝60°， 过平面内一点O作＝a，＝b， 以，为邻边作矩形OACB， 连接，如图， 即||＝||，∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形. 1.在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC ∵(＋)·(－)＝2－2＝0， 2.一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为 A.5 N B.5 N C.5 N D.5 N 两个力的合力的大小为|F1＋F2|＝＝5(N). 所以W＝F·＝2×2＋3×0＝4. 力F对物体作的功为W＝F·， 因为A(2,0)，B(4,0)，则＝(4－2,0－0)＝(2,0)， 4.在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1，若点  M在线段BD上，则·的最小值为________. － 设＝λ，0≤λ≤1，则M(2－2λ，λ)， 所以＝(2－2λ，λ)，＝(1－2λ，λ－1)， 所以·＝(2－2λ)(1－2λ)＋λ(λ－1)＝5λ2－7λ＋2＝52－， 当λ＝时，·的最小值为－. 所以B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，＝(－2,1)， A.6 　　　B.2 　　　 C.2 　　 　D.2 所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2F1·F2＝4＋16＝20， ∴|F3|＝2. ∵|v|＝＝， ||＝＝3， ∴时间t＝＝3. 3.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于 A. B.2 C.3 D.2 设||＝a(a>0)，则A(0,0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2,0)， 所以＝(2，－a)，＝(4，a). 因为⊥，所以·＝0， 所以a＝2，所以＝(2，－2)， 所以||＝＝2. 4.在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M的轨迹必通过△ABC的 A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 则2－2＝(＋)·(－)＝2·＝2·， 即(－)·＝·＝0， 所以⊥， 5.在△ABC中，∠A＝，AB＝1，G为△ABC的重心，若·＝·，则△ABC外接圆的半径为 A. B.1 C.2 D.2  ·＝·⇒·－·＝0⇒·＝0⇒·＝0， ∵∠OAC＝， 6.已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是 A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 由题意知，·(－)＋·(－)＝0， 即·＋·＝0， 即·＝0， 则⊥，∠ACB＝90°，故△ABC的形状为直角三角形. ∴cos(90°－θ)＝，∴θ＝30°. 8.已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点， 则(＋)·＝________. － ∴E，F(1,1)， ∴＋＝，＝(－2,1)， ∴(＋)·＝3×(－2)＋×1＝－.  ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)， W1＝F1·＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99， W2＝F2·＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3. W＝F·＝(F1＋F2)· 方法一　设＝a，＝b， 又＝＋＝－a＋，  ＝＋＝b＋， 所以·＝· ＝－－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 则＝(2,1)，＝(1，－2). 因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 11.在△ABC中，∠A＝60°，∠A的角平分线AD交边BC于点D，已知  AB＝3，且＝＋，则AD的长为 A. B.3 C.2 D.3 则＝＋，又＝＋， 所以＝，＝， 所以＝＝，即＝， 又AD是∠BAC的平分线，所以＝＝，而AB＝3，所以AC＝6，  ·＝cos∠BAC＝3×6×cos 60°＝9，  2＝2＝2＋·＋2 ＝×62＋×9＋×32＝12， 所以||＝2. 设水的阻力为f，绳的拉力为F，绳AB与水平方向的夹角为θ， 则|F|cos θ＝| f |，∴|F|＝. 13.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝2，AD＝1，若M， N分别是边AD，CD上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0,1]，则·的取值范围是 A.[－3，－1] B.[－3,1] C.[－1,1] D.[1,3] 则B(2,0)，A(0,0)，D，  ＝，＝(2,0). ∵满足＝＝λ，λ∈[0,1]， ∴＝＋＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)(2,0)＝， ＝＋＝－＋(1－λ)＝(－2,0)＋(1－λ)＝，  ·＝· ＝＋×(1－λ)＝λ2＋λ－3＝2－. ∵λ∈[0,1]，二次函数的对称轴为λ＝－， 14.在四边形ABCD中，若＝(1,2)，＝(－4,2)，则向量与的夹 角为______，四边形ABCD的面积为_____. 由·＝1×(－4)＋2×2＝0，知⊥，夹角为. 又∵||＝，||＝＝2， ∴S＝||||＝××2＝5. 则＝2e1＋e2，＝e1＋2e2， 则＝－＝e1－e2， 所以||2＝(e1－e2)2＝e＋e－2e1·e2＝1，所以MN＝1， 因为||2＝(2e1＋e2)2＝4e＋4e1·e2＋e＝7， ||2＝(e1＋2e2)2＝e＋4e1·e2＋4e＝7， 所以OM＝，ON＝，故S△OMN＝×1×＝. 16.如图所示，在某海滨城市O附近海面有台风，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南θ方向，距点O 300 km的海 参考数据：cos(θ－45°)＝. ∵＝＋， ∴2＝(＋)2 ＝2＋2＋2· ＝2＋2－2||||cos(θ－45°) ＝3002＋(20t)2－2×300×20t×＝100(4t2－96t＋900). 依题意得2≤(60＋10t)2， $$