7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章 复数 7.2 复数的四则运算 7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 1.掌握复数代数表示式的加、减运算法则及其运算律 2.了解复数代数表示式的加、减运算的几何意义． 3.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“ 数形结合”的思想解题． 学习目标 复习回顾 1. 复数的几何意义 复数z＝a＋bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 一一对应 平面向量 3. 共轭复数 z＝a＋bi， ＝a-bi. 2. 复数的模 在上一节，我们把实数集扩充到了复数集.引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算.下面就来讨论复数集中的运算问题. 情景导入 在将实数集扩充到复数集的时候，遵循了数系扩充的规则，那你知道这个规则是什么吗？ 数集扩充后，在复数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且运算律也相应成立. 我们知道实数有加、减、乘、除等运算，且有运算律，那么，复数是否也具有这些运算及其运算律呢？ 新知讲解——复数的加法运算 我们规定，复数的加法法则如下∶ 设z1=a + bi，z2= c + di (a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的和为 (a + bi) + (c + di )=(a + c)+(b + d)i. 显然，两个复数的和实质上就是将两个复数的实部与实部相加，虚部与虚部相加，其结果仍然是一个复数. 追问 复数的加法运算和多项式的加法运算有什么共性？ 两个复数相加，类似于两个多项式相加，即“合并同类项”. 新知讲解——复数加法运算的运算律 思考 若z1，z2，z3复数的加法满足交换律、结合律吗? 设z1=a1+b1i， z2=a2+b2i， z3=a3+b3i . 因为 z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i) =(a1+a2)+(b1+b2)i, z2+z1= (a2+b2i) + (a1+b1i) =(a1+a2)+(b1+b2)i, 所以满足（交换律） z1 + z2 = z2 + z1 因为 (z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i)=(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i, z1+ (z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i, 所以满足（结合律） (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 新知讲解——复数加法运算的几何意义 探究 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应．而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ Z O x y 如图，设 分别与复数a+bi，c+di 对应，则 说明复数的加法可以按照向量的加法来进行. ——复数加法的几何意义 新知讲解——复数的减法运算 思考 实数的减法是加法的逆运算．类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法? 我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足 的复数x+yi(x, y∈R)叫做复数a+bi(a, b∈R)减去复数c+di(c, d∈R)的差. 记作 (a+bi)-(c+di) 根据复数相等的含义，可得 即 这就是复数的减法法则，即两个复数的差是一个确定的复数. 两个复数相减，类似于两个多项式相减. 思考 类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗? 新知讲解——复数减法运算的几何意义 如图，设 分别与复数a+bi，c+di 对应，则 说明向量 的差就是与复数(a-c)-(b-d)i 对应的向量. ——复数减法的几何意义 x o y Z1(a,b) Z2(c,d) 典例分析——复数的加减运算 例1： 解： 巩固练习——复数的加减运算 【变式】 巩固练习——复数的加减运算 P77 T1 1. 计算： 解： 新知讲解——复数减法的模的几何意义 例2： x O y 解： 新知讲解——复数减法的模的几何意义 复数减法的模|z1-z2|的几何意义： |z1-z2|表示复平面上两点Z1，Z2的距离. 如：|z+(1+2i)|表示：______________________. 点Z 到点(-1,-2)的距离 |z+1+2i|=|z-(-1-2i)| |z|表示： _________________. 点Z与原点间的距离 新知讲解——复数减法的模的几何意义 复数减法的模|z1-z2|的几何意义： |z1-z2|表示复平面上两点Z1，Z2的距离. 练习： 下列各式表示的几何意义。 典例分析——复数减法的模的几何意义 P77T4 4. 求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离: 解： 典例分析——复数减法的模的几何意义 P77T2 解：(1) (2) (3) Z(a,b) A(1,0) B(a+1,b) 2. 如图，向量 对应的复数是z，分别作出下列运算的结果对应的向量： （1）z＋1； （2）z－i； （3）z＋(－2＋i) . Z(a,b) C(-2,1) D(a-2,b+1) Z(a,b) B(0,1) 新知讲解——复数的几何意义 思考 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复平面是一一对应的。你能用平面向量来表示复数吗？ a b z=a＋bi 复数z＝a＋bi 平面向量OZ 一一对应 如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ 显然向量OZ由点Z唯一确定;反过来，点Z也可以由向量OZ唯一确定.因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系(实数0与零向量对应)，即 课堂总结 1. 复数的加减运算: 复数可以求和差，虚实各自相加减. 2.复数加减运算的几何意义: 复数加减 一一对应 一一对应 一一对应 平面向量加减 复平面的点坐标运算 【答案】C 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】利用复数的加法求解即可. 【详解】 故选：C � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 复数z1＝2－ ，z2＝ －2i，则z1＋z2等于（    ） A．0 B． C． D． � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� $$