第1章 3 线段的垂直平分线-【勤径学升】2024-2025学年八年级下册数学同步练测（北师大版）

八年级数学·北师版（下册） 3线段的垂直平分线 课时1线段垂直平分线的性质与判定 [客案PIO] “基础明固练· 知圆①线段垂直平分线的性质定理 如限胞③尺规作图 ①在△ABC中，∠A=100°，AB,AC的垂直平分线 了（湖北宜昌中考）如图，点E,F,G,Q,H在一条直线 交BC于点E,F,则∠EAF的度数是( 上，且EF=GH,我们知道按如图所作的直线I为线 A.80° B.60° C.40° D.20° 段FG的垂直平分线.下列说法正确的是 ( 2如图，四边形ABCD中，对角线AC垂直平分BD, 垂足为点E,下列结论不一定成立 A.I是线段EH的垂直平分线 的是 ( B.1是线段EQ的垂直平分线 c0币 A.AB=AD C.1是线段FH的垂直平分线 B.CA平分∠BCD D.EH是I的垂直平分线 7题图 C.AB=BD 2题图 8已知△ABC(AC<BC),用圆规作图的方法在BC D.△BEC≌△DEC 上确定一点P,使PA+PC=BC,则符合要求的 3(东丽区期末)如图，在△ABC中，DE是AC的垂 作图痕迹是 】 直平分线，AE=4cm,△ABD的周长为16cm,则 △ABC的周长是 A.20 cm B.24 cm C.26 cm D.28 cm 人个合 ⑨（河北保定曲阳期中）如图，已知直线I及直线外 /D 一点P,观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论 3题图 4题图 ④如图，在△ABC中，边AB,AC的垂直平分线分别 不一定成立的是 ·(填序号)】 交BC于点E,F.若BC=I0,则△AEF的周长是 ①PQ为直线I的垂线：②CA=CB:③PO=Q0: ④∠APO=∠BPO. 知思息②线段垂直平分线的判定定理 ⑤（河北石家庄期中）如图，将△ABC放在每个小 正方形边长均为1的网格中， 点A,B,C均落在格点上，若点 B的坐标为(2，-1)，则到 9题图 △ABC三个顶点距离相等的点 0如图，点A,B表示两个仓库，要在A,B一侧的河 的坐标为 5题图 6如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD,点 岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相 E在线段AD上，且∠1=∠2，∠3=∠4.求证： 等，码头应建造在什么位置？ AD垂直平分BC A. 10题图 6题图 见色图标眼林音/假信扫码领取配套资源稳步捉升成绩 第一章三角形的证明 《能力提升练 [答案P11] ①（江苏雅安中考）如图，在△ABC中，AB的垂直t (1)若∠C=35°，求∠DBA的度数： 平分线分别交AB,BC于点D,E,连接AE,若AE (2)若△ABD的周长为30，AC=18,求AB的长 =4,EC=2,则BC的长是 A.2 B.4 C.6 D.8 分 ㄧ题图 1题图 2题图 2(安微莞湖一中月考)如图，在△ABC中，AB= 2(题型2变式)如图，在四边形ABCD中，AD∥ AC,AD是△ABC的中线，则下列说法不正确 BC,E为CD的中点，连接AE,BE,BE⊥AE,延长 的是 AE交BC的延长线于点F. A.AD垂直平分BC 求证：(1)FC=AD: B.直线AD是△ABC的对称轴 (2)AB=BC +AD. C.点B和点C关于直线AD对称 D.BC垂直平分AD 3(山东烟台一中期中)如图， AD⊥BC,BD=CD,点C在 AE的垂直平分线上，若AB 3题图 2题图 =5cm,BD=3cm,则BE的 长为 3(题型3变式)如图，在△ABC中，∠ACB=90°， 4(安撒芜湖期末)如图，在△ABC中，DM,EN分 D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线 别垂直平分AC和BC交AB于点M,N 与AB的交点，DE交AC于点F,求证：点E在 (1)若AB=12cm,求△MCN的周长； AF的垂直平分线上. (2)若∠ACB=118,求∠MCN的度数. 3题图 4题图 4(题型4变式)如图，已知△ABC,请用尺规过点 A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两 部分.（不写作法，保留作图痕迹） ②题型变式 讲本9答案P1 ①（题型1变式）如图，在△ABC中，∠A=90°，边 4题图 BC的垂直平分线DE交BC于点E,交AC于点 D,连接BD. 见此图标胆科音/微体扫码领取配套资源稳步提升成绩 a15 八年级数学·北师版（下册） 课时2三角形三边垂直平分线的性质及应用 《基础明固练→ [答案P中] 细阅息©三角形三边垂直平分线的性质 如织点（②尺规作图 ①（河北保定期中）在正方形网格中，△ABC的位 ④拟在新竣工的长方形广场的内部修建一个音乐 置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC内部有 喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A,B E,F,G,H四个格点，到△ABC三个顶点距离相 的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A 等的点是 和B之间距离的一半，A,B,C的位置如图所示. A.点E B.点F C.点G D.点H 请在原图上利用尺规作出音乐喷泉M的位置 *G 4题图 1题图 2题图 2(辽宁铁岭期末)如图，∠A=80°，0是AB,AC垂 直平分线的交点，则∠BOC的度数是 3如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线1，交BC 于点D,AC边的垂直平分线2交BC于点E, 与l2相交于点O,连接OB,OC,OA.若△ADE的 周长为6cm,△OBC的周长为16cm.求线段OA ⑤某市在园艺博览会期间要修建一处公共服务设 的长 施，使它到三个展馆A,B,C的距离相等 (1)若三个展馆A,B,C的位置如图所示，请你在 图中确定公共服务设施（用点P表示）的位 置：（不写作法，保留作图痕迹） (2)若∠BAC=68°，求∠BPC的度数 3题图 B. 5题图 ⑦题型变式 讲本P10答案P12 ①（题型5支式）如图，在△ABC 中，∠BAC=100°，直线EF MN分别为AB,AC的垂直平 1题图 分线，若BC=12cm,则△FAW 的周长是 ,∠FAN= 16g 见色图标眼林音/筱信扫码领取配套资源稳步捉升成绩八年级数学·北师版（下册） ∴.RI△BCD≌Rt△BED(HL),∴.CD=ED, 3.B[解析]：DE是AC的垂直平分线，AE=4cm, 即AD+DE=AD+DC=AC=8cm,故答案为8cm. ∴，AC=2AE=8cm,AD=DC.:△ABD的周长为 3.12[解析]连接BE.∠C=90°，DE⊥AB,在 16 cm,.'.AB +BD +AD =AB BD CD =AB BC= R△BCE和△BDE中，{BC=BD, 「BE=BE, 16(cm),.△ABC的周长为AB+BC+AC=16+8 .Rt△BCE≌ =24(cm)故选B. Rt△BDE(HL),∴.CE=DE.设BC=BD=x 4.10[解析]在△ABC中，边AB,AC的垂直平分线 △ABC的周长为36，△ADE的周长为12，BC+ 分别交BC于点E,F,∴.AE=BE,AF=CF.BC=BE BD+CE+AD+AE BC+BD+DE+AD+AE=x+ +EF+CF=AE+EF+AF=IO,,△AEF的周长 x+12=36,解得x=12,即BC=12.故答案为12. 是10. 4.证明：：AD,AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的 5.(0,0)[解析]平面直角坐标系如答图所示，AB与 高，且AC=AE,AD=AF, AC的垂直平分线的交点为，点O,∴到△ABC三个顶 .Rt△ADC≌RI△AFE,∴.CD=EF 点距离相等的点的坐标为(0,0).故答案为(0,0). 4 ,AB=AB,AD=AF,,Rt△ABD≌Rt△ABF, ∴BD=BF,∴.BD-CD=BF-EF,即BC=BE. 5.解：：∠ABC=∠BAC=45°，∴.∠ACB=90°，AC=BC ∠DAC+∠ACD=90°，∠ECB+∠ACD=90°. ∴.∠DAC=∠ECB. ,∠DAC=∠ECB, 5题答图 在△ACD和△CBE中， ∠ADC=∠CEB, 6.证明：∠1=∠2， LAC CB, ∴EB=EC ∴.△ACD≌△CBE(AAS),∴.BE=CD=2. ∴.点E在线段BC的垂直平分线上 又.∠3=∠4. 题型变式 ∠I+∠3=∠2+∠4，即∠ABC=∠ACB. 1.证明：，AE⊥BC,DF⊥BC, ..AB=AC, ∴.∠AEB=∠DFC=90, .点A在线段BC的垂直平分线上， [AB=DC. 在Rt△ABE和R△DCF中， .AD垂直平分BC. AE =DF. 7.A[解析]如答图，A选项，：直线I为线段FG的 ÷.R△ABE≌Rt△DCF(HL). 垂直平分线，.FO=GO,ILFG.:EF=GH,∴.EF+ .∠ABE=∠DCF. F0=OG+GH,即E0=OH,∴.I为线段EH的垂直平 AB=DC. 分线，故此选项正确；B远项，：E0≠OQ,1不是 在△ABC和△DCB中. ∠ABC=∠DCB, 线段EQ的垂直平分线，故此选项错误；C选项， BC CB. ,FO≠O川，，I不是线段FH的垂直平分线，故此 ∴△ABC≌△DCB(SAS),∴，AC=DB. 选项错误：D选项，：1为直线，EH不能平分直线， 3线段的垂直平分线 故此选项错误.故选A 课时1 线段垂直平分线的性质与判定 【基础巩固练】 1.D 龙FGQi 2.C[解析]对角线AC垂直平分BD,∴.AB=AD, BC=DC,BE=DE,故A一定成立：在R1△BEC和 7题容图 RI△DEC中，BE=DE,BC=DC,∴，RI△BEC≌8.D[解析]A作图能得到BA=BP,无法得出AP= RI△DEC,,∠BCE=∠DCE,即CA平分∠BCD,故 BP,故不能得出PA+PC=BC,故此选项错误：B.作 B,D一定成立.根据已知条件无法得出AB=BD,故 图能得到PA=PC,无法得出AP=BP,故不能得出 C符合题意. PA+PC=BC,故此选项错误：C.作图能得到CA= ·10· 参考答案及解析 CP,无法得出AP=BP,故不能得出PA+PC=BC, .,∠ADB=∠C+∠CBD=70°， 故此选项错误：D.作图能得到BP=AP,故能得出 ∠A=90°.∠DBA=90°-∠ADB=20 PA+PC=BC,故此选项正确 (2):△ABD的周长为30，CD=BD 9.③[解析]由作图法可得出PQ是线段AB的垂直 .AB +AD+BD=AB +AD+CD=AB +AC=30. 平分线，则PQ为直线I的垂线，故①成立，不合题 AC=18.,AB=30-18=12. 意：CA=CB(线段垂直平分线上的点与这条线段两2.证明：(I),AD∥BC,,∠ADC=∠FCD 个端点的距离相等)，故②成立，不合題意；无法得 ·E是CD的中点，.DE=CE. 出P0=Q0,故③不一定成立，特合题意；由题意可 又：∠AED=∠FEC. 得PA=PB,PQ⊥AB,易证Rt△APO≌Rt△BPO,则 ∴.△ADE≌△FCE.∴.FC=AD. ∠APO=∠BPO,故④成立，不合题意.故答案为③. (2)△ADE≌△FCE,∴.AE=FE,AD=FC 10.解：连接AB,码头应建在线段AB的垂直平分线与 :BE⊥AE,∴，BE是线段AF的垂直平分线， A,B一侧的河岸边的交汇点处 .AB BF BC+FC. 如答图，码头应建在点P的位置. AD=FC,∴AB=BC+AD, 3.证明：E是BD的垂直平分线上的一点， 公 ∴EB=ED,∴.∠B=∠D. 又∠ACB=90°， .∠A=90°-∠B.∠2=90a-∠D. 10题答图 “.∠2=∠A 【能力授升练】 又∠1=∠2，.∠1=∠A, 1.C[解析]DE是AB的垂直平分线，AE=4, .EF=EA, ,.EB=EA=4,..BC=EB+EC=4+2=6,故选C. .点E在AF的垂直平分线上. 2.D【解析]：AB=AC,AD是△ABC的中线，，AD 4.解：如答图，直线AD即所求. 垂直平分BC,直线AD是△ABC的对称轴，点B和 点C关于直线AD对称，故选项A,B,C正确，选项 D错误.故选D. 3.11Cm[解析]AD⊥BC,BD=DC,,AB=AC.又 点C在AE的垂直平分线上，AC=EC,AC= CE =AB=5 em..BD CD =3 cm,..BE BD CD 4题答图 +CE=3+3+5=11(cm), 课时2三角形三边垂直平分线的性质及应用 4.解：(1)DM,EN分别垂直平分AC和BC交AB于 【基础巩固练】 点M,N,.AM=CM,BN=CY AB =12 cm, 1.B[解析]分别作线段AB,AC,BC的垂直平分线， ∴.△MCN的周长是CM+MN+CN=AM+MN+BW 它们的交点即为到△ABC三个顶点距离相等的点， =AB =12 cm. 作图易知它们的交点是点F.故选B (2),∠ACB=118°， 2.160°[解析]如答图，连接OA.∠BAC=80°， ∴.∠A+∠B=180°-∠ACB=62 ∴.∠ABC+∠ACB=100°.O是AB,AC垂直平分 AM CM,BN CN, 线的交点，∴.0A=OB,OA=OC,∴.∠0AB=∠OBA. .∠A=∠ACM,∠B=∠BCN. ∠0CA=∠OAC,0B=0C,∴∠OBA+∠0CA=80°， ,.∠ACM+∠BCN=∠A+∠B=62 ∴.∠0BC+∠0CB=100°-80°=20°，∴.∠B0C=180° .·∠ACB=118°， -∠0BC-∠0CB=160°，故答案为160. ∴.∠MCN=∠ACB-(∠ACM+∠BCN)=II8°- 620=56. 题型变式 1.解：(1)DE是BC的垂直平分线， CD=BD,则∠CBD=∠C=35°， 2题答图 ·11 八年级数学·北师版（下册） 3.解：：(1是AB边的垂直平分线， 2.B .DA DB,OA =OB. 3.D[解析]作DF⊥AC于F,如答图.：AD是△ABC l2是AC边的垂直平分线， 中∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,,DF=DE ∴.EM=EC.OA=OC,∴.OB=OC=OA. =4Sm+Sae=S…x4x7+7x4× .BC BD DE EC DA +DE +EA =6 cm. OB+OC+BC =16 cm, AC=24,AC=5.故选D. ,∴.OB+OC=10cm, .OA =OB =OC=5 cm. 4.解：连接AB,作AB的垂直平分线，以点C为圆心， 以AB长的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于 D 3题答图 点M,如答图所示，点M即为所求。 4.6cm[解析]如答图，过点P作PN⊥BC,PQ⊥AB, 垂足分别为点N,Q.:BP,CP分别是∠HBC与 ∠BCM的平分线，∴PQ=PN,PN=PM,.PQ= PM.PM=6em,∴，PQ=6cm,即，点P到AB的距 离为6cm.故答案为6cm. 4题答图 5.解：(1)如答图，连接AB,BC,CA,分别作边AB和BC 的垂直平分线，两直线交于点P,侧点P即为所求 (2)如答图，连接AP,BP,CP 由(1)可知，AP=BP=CP 4题答图 ∴.∠BAP=∠ABP,∠CAP=∠ACP 5.解：BD为∠ABC的平分线， .∴.∠ABP+∠ACP=∠BAP+∠CAP=∠BAC ·∠ABD=∠CBD. 又.：∠BAC=68°，.∠ABP+∠ACP=68, 在△ABD和△CBD中， ∴.∠PBC+∠PCB=18O°-∠BAC-(∠ABP+ rAB CB, ∠ACP)=180°-68°-68°=44. ∠ABD=∠CBD, .∠BP℃=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-44 BD =BD. =136. ∴.△ABD≌△CBD(SAS), .∠ADB=∠CDB,即DB平分∠ADC 点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD, .PM PN. 6.A7.B B 8.证明：在R△PFD和R△PGE中， 5题答图 [PF=PG. 题型变式 DF =EG. .Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),PD=PE. 1.12cm20 又P是OC上一点，PD⊥OA,PE⊥OB, 4角平分线 ∴.OC是∠AOB的平分线。 课时1角平分线的性质与判定 【能力拔升练】 【基础现固练】 1.A[解析]：∠B=90°，.DB⊥AB.又：AD平分 1.B[解析]在△OPC和△OPD中， ∠BAC,DE⊥AC,∴.DE=BD=3.故选A. r∠POC=∠POD, 2.150°[解析]BD⊥AE,DC⊥AF,且DB=DC,∴.AD ∠PC0=∠PD0=90°.∴.△OPC≌△OPD(AAS), 是∠BAC的平分线：∠BAC=40°，.∠CAD= LOP=OP ∴.PC=PD,OC=OD,∠CPO=∠DPO,∴.选项A、C 2∠BAC=20°，∠DGF=∠CAD+LADG=20°+ D正确.故选B. 130°=150°.故答案为150 ·12·