第17章 一元二次方程（大单元期考整合复习）（单元复习课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

大单元期考整合复习 主讲： 沪科版八年级数学下册 第17章 一元二次方程 一、一元二次方程的基本概念 1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 2.一般形式： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 考点1 两个概念 考点梳理 3.项数和系数： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 一次项： ax2 一次项系数：a 二次项： bx 二次项系数：b 常数项：c 4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程． 二、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫方程的根. 考点梳理 概念1 一元二次方程 1.已知是关于 的一元二次方程，则 的值为____. 概念2 一元二次方程的根 2.[2024南充模拟] 已知关于 的一元二次方程的一个根为 ，则关于 的方程 的两个根分别为 . 1和2025 【点拨】 ， ，即方程有根 . 一元二次方程的一个根为 ， ， ， 关于的方程 的两个根分别为1和2025. 考点梳理 4 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0 各种一元二次方程的解法及使用类型 考点2 一个解法——一元二次方程的解法 考点梳理 3.解下列一元二次方程： （1） ； 【解】 可变形为 ， ， 或 ， 解得， . （2） . ,, ， ， ， 解得， . 考点梳理 6 (1),当 时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根. (2)若一元二次方程的两个根是 和， 则， . 考点3 两个关系 考点梳理 关系1 一元二次方程根的判别式与系数的关系 4.[2024泰安校级期中] 关于 的一元二次方程 的根的情况是 ( ) A A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.实数根的个数与实数 的取值有关 5.[2024南通] 已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根. 请写出一个满足题意的 的值：_________________. 0（答案不唯一） 考点梳理 8 关系2 一元二次方程的根与系数的关系 6.[2024杭州期中] 已知关于 的方程 . （1）求证：该方程总有两个实数根； 【证明】 ， 该方程总有两个实数根. （2）记该方程的两个实数根为, 求代数式 的值； 【解】根据韦达定理可得，, ， . （3）若,，比较与 的大小. 【解】 ， . 考点梳理 9 考点4 两个应用 应用1 配方法的应用 7.阅读下面材料： 我们知道可以分解因式,结果为 ,其实 也可以通过 配方法分解因式,其过程如下： . 考点梳理 10 （1）请仿照上述过程填空： （____）］ （___）］; （____）］ （____）］; （___）］ （____）］. 5 1 （2）请观察（1）中横线上所填的数,每道题所填的两个数与一次项系数、常数项有 什么关系？ 【解】所填的两个数的和等于一次项系数,积等于常数项. 考点梳理 11 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 检 答 （1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法． （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． （4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 考点梳理 应用2 一元二次方程的应用 1.建立一元二次方程解决几何图形问题应注意的三点： 一是图形的面积公式是基本的等量关系式； 二是利用平移的性质（图形的面积不变）将零散的图形拼聚在一起； 三是取舍根时,注意条件中对图形边长的限制. 2.增长率问题的规律：设某数为<m></m>,平均增长率为<m></m>,则一次增长后的值为<m></m>,两次增长后的值为<m></m>. 3.传播问题： （1）一般由基数往外分,解题的关键在于每一轮（次）是在前一轮（次）的基础之上进行的. （2）设开始的基数为1,每轮传播的数量为<m></m>,经过<m></m>轮传播后的数量为<m></m>,则所列方程为<m></m>. （3）解方程后,还要考虑方程的解是否符合实际意义. 考点梳理 4.解决利润问题常用的关系式： （1）售价<m></m>进价<m></m>（<m></m>利润率）； （2）总利润<m></m>单个利润×销售量<m></m>总收入-总支出. 考点梳理 5.解分式方程时，由于我们在去分母时可能引入了增根（即满足最简公分母为0的解），因此我们需要将求得的解代入原方程进行检验，确保它们不是增根. 8.[2024合肥期中] 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干 长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支.已知1个主干长出的支 干和小分支的总数是56，则这种植物每个支干长出小分支的个数是( ) C 【点拨】设这种植物每个支干长出的小分支的个数是 ，依题意得 ， 解得（不合题意，舍去）， ， 这种植物每个支干长出的小分支的个数是7. A.9 B.8 C.7 D.6 考点梳理 15 9.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月 份游客人数为2.5万人. （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率. 【解】设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 ， 由题意得 ，解得 （负值已舍去）. 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 . （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均 增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待 游客人数最多是多少万人？ 设5月份后10天日均接待游客人数是 万人，由题意得， 解得 .答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人. 考点梳理 16 10.某路段需要铺轨，先由甲工程队单独做2天后，再由乙工程队单独做3天，刚好 完成这项任务，已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多 用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天. 考点梳理 【解】设甲工程队单独完成这项任务需要 天，则乙工程队 单独完成这项任务需要 天， 由题意，得 ， 化为整式方程，得 ， 解得（不合题意，舍去）， . 经检验， 为原方程的根. . 故甲、乙工程队单独完成这项任务各需要4天、6天． 17 11.[2024安庆期中] 如图，某学校开辟一块长方形的蔬菜种植基地，该基地两边 靠着一个直角围墙（围墙的长足够长），另两边和 由总长为80米长的篱笆 组成. 考点梳理 （1）若蔬菜种植基地的面积为1 200平方米，求 的长. 【解】设的长为米，则 的长为 米， 根据题意，得 ， 整理，得 ，解得 . 答： 的长为20米或60米. 18 （2）能围成面积为1 800平方米的蔬菜种植基地吗？若能，求出 的长；若不能， 请说明理由. 不能，理由如下： 根据题意，得 ， 整理，得 . 该方程无实数根， 不能围成面积为1 800平方米的蔬菜种植基地. 19 12.[2024淄博期中] 小李大学毕业后自主创业，在网上创办了一个微店，销售一款 节能灯，该灯的成本是40元/盏.通过调研发现，若按50元/盏的价格销售，一个月 可售500盏；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盏. （1）写出月销售量（盏）与销售单价 （元/盏）之间的函数关系式. 【解】根据题意，得 . 考点梳理 （2）若想让节能灯的月销售利润达到8 000元，且尽快减少库存，则节能灯的销售 单价应定为多少？ 根据题意，得 ， 解得或 （舍去）， 节能灯的销售单价应定为60元/盏. 20 （3）在解决数学问题中，借助“配方”的方法可以求某些代数式的最大值，例如： . ， ， 当时，取得最大值 ， 即代数式的最大值为，此时 . 请利用题中的条件，结合上述代数式的“配方”的方法，求出这种节能灯的销售单价 定为多少时，月销售利润能取得最大值，最大利润是多少元？ 考点梳理 21 根据题意，得 . ， ， 当时， 取得最大值9 000. 销售单价定为70元/盏时，月销售利润能取得最大值，最大 利润是9 000元. 22 1．解下列方程: （1）x2 = 64； （2）x2 = 8； （3）(3x + 2)2 = 4(x – 3)2；（4） y2 – 3y = 0； （5）(2x + 1)2 = 2x + 1. 解：（1）x1 = 8，x2 = – 8. （2）x1 = 2 ，x2 = – 2 . （3）x1 = – 8，x2 = . （4）y1 = 0，y2 = . （5）x1 = 0，x2 = – . 课本复习题 A组 2．用配方法解下列方程： （1）x2 – x – 1 = 0； （2）3x2 = – 1 – 5x； （3）5y – 84 + y2 = 0；（4）2x2 + x = 3. 解：（1）x1 = ，x2 = . （2）x1 = ，x2 = . （3）y1 = ，y2 = . （4）x1 = ，x2 = – . 3．用公式法解下列方程： （1）x2 + 2 = 2 x； （2）9x2 + 4 = 12x； （3）(2x – 1)2 – 5 = x(x – 5)；（4）y – = 1. 解：（1）x1 = x2 = . （2）x1 = x2 = . （3）x1 = 1，x2 = – . （4）y1 = y2 = 1. 4．用适当方法解下列方程： （1）x2 + 6x – 5 = 0； （2）(x + 3)(x – 3) = 2； （3）(t – )2 + 4 t = 0；（4）3x(x – 1) = 2 – 2x. 解：（1）x1 = – 3 + ，x2 = – 3 – . （2）x1 = ，x2 = – . （3）t1 = t2 = – . （4）x1 = 1，x2 = – . 5．已知关于 x 的方程 2x2 – 5x + k = 0 的一个根是 1． （1）求 k 的值． （2）解这个方程． 解：（1）将 x = 1 代入原方程得 2 – 5 + k = 0， ∴ k = 3. （2）由（1）知 k = 3，故 2x2 – 5x + 3 = 0． 解得 x1 = 1，x2 = ． 6．设 x1，x2 是方程 2x2 + 5x – 7 = 0 的两个根，不解方程，求下列式子的值． （1） ； （2） . 解：由韦达定理得 x1 + x2 = – ，x1x2 = – ． （1）原式 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = + 7 = ． （2）原式 = = ×(– ) = – ． 7．有一块长 25 cm，宽 15 cm 的长方形硬纸板，如果在纸板的四个角上各截去一个相同大小的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面积为 231 cm2 的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长． 解：设截去的小正方形边长是 x cm，由题意得 (25 – 2x)(15 – 2x) = 231， 整理得 x2 – 20x + 36 = 0， 解得 x1 = 18（不合题意，舍去），x2 = 2． 答：截去的小正方形的边长为 2 cm． 8．某商厦 10 月份的营业额是 50 万元，第四季度的营业额是 182 万元，问第四季度后两个月的月平均营业额的增长率是多少？ 解：设第四季度后两个月的月平均营业额的增长率为 x， 根据题意得 50(1 + x)2 + 50(1 + x) + 50 = 182， 整理得 50x2 + 150x – 32 = 0， 解得 x1 = 0.2 = 20%，x2 = – 3.2（舍去）． 答：第四季度后两个月的月平均营业额的增长率是 20%. 1．已知 y = x2 – 2x – 3． （1）x 是什么数时，y = 0？ （2）x 是什么数时，y = – 4？ 解：（1）令 x2 – 2x – 3 = 0，解得 x1 = 3，x2 = – 1， ∴当 x = 3 或 – 1 时，y = 0； （2）令 x2 – 2x – 3 = – 4，解得 x1 = x2 = 1， ∴当 x = 1 时，y = – 4． B组 2．有三个连续奇数，已知它们的平方和等于251，求这三个数． 解：设这三个奇数依次为 n – 2，n，n+2（其中 n 为奇数）， 则依题意得 (n – 2)2 + n2 + (n + 2)2 = 251， 解得 n1 = 9，n2 = – 9． 当 n = 9 时，n – 2 = 7，n + 2 = 11； 当 n = – 9 时，n – 2 = – 11，n + 2= – 7． 答：这三个连续奇数为 7、9、11 或 – 11、 – 9、 – 7． 3．已知：关于 x 的一元二次方程 (b – c)x2 + (c – a)x + (a – b) = 0 有两个相等的实数根．求证：2b = a + c． 证明：根据题意得 b – c ≠ 0，且 Δ = (c – a)2 – 4(b – c)(a – b) = 0， ∴ c2 + 2ac + a2 – 4ab – 4bc + 4b2 = 0． ∴ (a + c)2 – 4(a + c)b + 4b2 = 0， ∴ (a + c – 2b)2 = 0， ∴ 2b = a + c． 4．要建一个面积为 150 m2 的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为 35 m． （1）若墙足够长，则养鸡场的长与宽各为多少？ （2）若给定墙长为 a m，则墙长 a 对题目的解是否有影响？ 解：（1）设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为 (35 – 2x) m， 依题意，得 x(35 – 2x) = 150， 解得 x1 = 7.5，x2 = 10． ∴ 35 – 2x1 = 20，35 – 2x2 = 15． 答：长为 20 m，宽为7.5 m；或长为15 m，宽为10 m． （2）当 a＜15 时，题目无解； 当 15≤a＜20 时，题目只有一个解； 当 a≥20 时，题目有两个解． 5．如图，OA = OB = 50 cm，OC 是一条射线，OC⊥AB，一小虫由点 A 以 2 cm/s 的速度向 B 爬行，同时另一小虫由点 O 以 3 cm/s 的速度沿 OC 爬行，则在几秒时，两小虫所在位置与点 O 组成的三角形的面积等于 450 cm2？ 解：设两小虫爬行的时间为 t s． ① 当 0≤t＜25 时，令 ×3t(50 – 2t) = 450， 解得 t1 = 10，t2 = 15； ② 当 25＜t＜50 时，令 ×3t(2t – 50) = 450. 解得 t1 = 30，t2 = – 5（不合题意，舍去）. 答：在 10 s 或 15 s 或 25 s 时，两小虫所在位置与点 O 组成的三角形的面积等于 450 cm2． 6．某公司实行年薪工资制，职工的年薪工资由基本工资、工龄工资和岗位工资三项组成，具体规定如下： （1）设基本工资每年增长率为 x，用含 x 的代数式表示第三年的基本工资； 项目 第一年的工资（万元） 一年后的计算方法 基本工资 2 每年的增长率相同 工龄工资 0.08 每年增加 0.08 万元 岗位工资 0.276 8 固定不变 解：第三年的基本工资为 [2(1 + x)2] 万元． （2）某人在公司工作了 3 年，他算了一下这 3 年拿到的工龄工资和岗位工资正好是这 3 年基本工资总额的 18%，问基本工资每年的增长率是多少？ 解：由题意得 0.08×(1 + 2 + 3) + 0.276 8×3 =[2 + 2(1 + x) + 2(1 + x)2]×18%， 整理得 25x2 + 75x – 16 = 0， 解得 x1 = 0.2 = 20%，x2 = – 3.2（舍去）． 答：基本工资每年的增长率是 20%． 7．在一次象棋比赛中，实行单循环赛制（即每个选手都与其他选手比赛一局），每局赢者记 2 分，负者记 0 分，如果平局，两个选手各记 1 分．今有 4 个同学统计了比赛中全部选手的得分总和，结果分别为 2005，2004，2070，2008．经核实确定只有一位同学统计正确，试计算这次比赛中共有多少名选手参赛． 解：设这次比赛的选手共有 x 名，则每局比赛两名选手得分总和均为 2 分，且共比赛了 x(x – 1) 局，∴得分总数为 2× x(x – 1) = x(x – 1)． ∵ x 是正整数，且大于 1，∴ x，x – 1 是两个连续的正整数． ∴ x(x – 1) 的值的末位数字只能是 0，2，6， 即得分总数只能是 2070．∴ x(x – 1) = 2070，解得 x1 = 46，x2 = – 45（舍去）． ∴ x = 46． 答：这次比赛中共有 46 名选手参赛． 8．一小艇顺流航行 24 km 到达目的地，然后逆流回到出发地，航行时间共 6 h．已知水流速度是 3 km/h．求小艇在静水中的速度． 解：设小艇在静水中的速度是 x km/h，由题意得 整理得 x2 – 8x – 9 = 0，解得 x1 = 9，x2= – 1（舍去）． 经检验，x = 9是原分式方程的解． 答：小艇在静水中的速度是 9 km/h． 9．某商店以 2400 元购进一种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加 20% 作为售价，售出 50 盒．第二个月每盒以低于进价 5 元作为售价，售完余下的茶叶．全部售完后共盈利 350 元，求每盒茶叶的进价． 解：设每盒茶叶的进价为 x 元，则有 50x(1 + 20%) + (x – 5)( – 50) – 2400 = 350． 解得 x1 = 40，x2 = – 30． 经检验，40 和 – 30 都是原方程的解，但 x = – 30 不符合题意，应舍去． ∴ x = 40． 答：每盒茶叶的进价为 40 元． 10．一商店用 1800 元买进玩具若干个，其中有 2 个损坏无法出售，剩余的每个以比进价多 5 元的价格出售．若剩余的全部卖完，则这批玩具共赚 400 元．问这批玩具每个进价是多少元？共买进了多少个玩具？ 解：设每个玩具的进价是 x 元，依题意有 ( – 2)(x + 5) – 1800 = 400， 解得 x1 = 20，x2 = – 225． 经检验，20 和 – 225 都是原方程的解，但 x = – 225 不符合题意，应舍去． ∴ x = 20．1800÷ 20 = 90（个）. 答：这批玩具每个的进价是 20 元，共买进了 90 个玩具. 整合1：一元二次方程的相关概念 1.已知关于的方程 . (1)当 ______时，此方程是一元一次方程； (2)当 ______时，此方程是一元二次方程，二次项系数、一次项系数和常数项分别 为_________________； (3)若是该一元二次方程的根，则 ____. ，，0 期考整合练 40 整合2：一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法) 2.选择适当的方法解下列方程： (1) ； 解：因为， 所以， 即 ， 所以, . (2) ； 解：， ， ，， , . 41 (3) ； 解：因为， 所以 . 所以. 所以 . 所以. 所以, . (4) . 解：因为 ， 所以 ， 所以， 所以, . 42 整合3：一元二次方程的根与系数的关系 3.已知实数，满足,若关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为， ，则 ____. 【解析】因为实数，满足 ， 所以,,所以， . 因为关于的一元二次方程 的两个实数根分别为, ， 所以， ， 所以 . 43 4.等腰三角形的三边长分别为，，，其中 .若关于的方程 有两个相等的实数根，求 的周长. 解：因为关于的方程 有两个相等的实数根， 所以 ， 即,解得， (舍去). ①当为底边长，为腰长时，因为 ， 所以不能构成三角形，故此种情况不成立； ②当为底边长， 为腰长时， 因为 ,所以能构成三角形， 此时的周长为 . 综上， 的周长为12. 44 5.已知关于的一元二次方程 . (1)求证：方程有两个不相等的实数根； 证明：因为 ， 所以方程有两个不相等的实数根. (2)如果方程的两个实数根为，，且 ，求 的值. 解：根据一元二次方程根与系数的关系， 得， . 因为 ， 所以 ， 解得， ， 所以 的值为1或2. 45 整合4：一元二次方程的应用 6.如图，把一块长为，宽为 的长方形硬纸板的 四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线 折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸 盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为 ， 则可列方程为______________________________. 46 7.[2024·合肥三模] 某农户种植花生，原来花生的亩产量为，出油率为 (即每 花生可加工成花生油 )，现在种植新品种花生后，每亩收获的花 生可加工成花生油 ，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的 .求新品 种花生亩产量的增长率. (1)这是一个增长率问题，可设所求增长率为 ，依题意填写下列表格： 亩产量/ 出油率 出油量/ 原来 200 100 现在 ___________ _ _____________ 132 (2)求新品种花生亩产量的增长率. 解：根据题意，得 ， 解得， (不合题意，舍去)，所以 . 答：新品种花生亩产量的增长率为 . 47 整合5：数学思想 8.已知 ，则 的值为___. 1 9.[2024汕头期末] 若实数， 满足，求 的值. 【解】令，则原方程变为 ， 即，，解得， . 又， . 思想1 整体思想 48 10.已知，是方程 的两根，则式子 的值 为____. 36 思想2 转化思想 11.[2024崇左模拟] 【阅读材料】各类方程的解法. 解一元一次方程：根据等式的基本性质，把方程转化为 的形式. 解二元一次方程组：把它转化为一元一次方程来解；类似地， 求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解. 解一元二次方程：把它转化为两个一元一次方程来解. 解分式方程：把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式 方程必须检验. 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程. 例如，一元三次方程 可以通过因式分解把它转化为 ，解方程和 ， 可得方程 的根. （1）【问题】方程的根是, ___， ___； 1 （2）【拓展】用“转化”思想解方程： ① ； 【解】 ，，即 ， 解得或 .， . ② . 令，则原方程可变形为 ，即 ，解得或 . 或 ， 解得或 . 返回 51 12.有一边长为3的等腰三角形，它的其他两边长是方程的两根， 则 的值为______. 3或4 【解析】①若等腰三角形的底边长为3， 则方程 的两根为腰长，两根相等， 所以，得，当 时， 方程为，两根为 ，符合要求； 思想3 分类讨论思想 ②若等腰三角形的腰长为3，则方程两根中有一个根为3， 将代入方程，得 ，解得 ， 此时方程为，两根为, ，符合要求. 综合可得或 . 52 13.已知关于的方程 . （1）求证：无论 取任何实数，方程总有实数根. 【证明】①当 时， 方程变形为 ，方程有实数根； ②当时， ， 当 时，方程有实数根. 综上，无论 取任何实数，方程总有实数根. 53 （2）是否存在实数 使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出 的值；若不存在， 请说明理由. 13.已知关于的方程 . 【解】存在. 设方程两根为， ， 则， . ， ，解得 . 故存在实数 使方程两根的倒数和为2. 54 易错1：忽略二次项系数不为0的条件而致错 14.已知关于的一元二次方程 有一个根为， 则 的值为( ) D A.0 B. C.1 D. 15.若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是______________. 且 整合6：易错题 55 易错2：将多项式进行配方时与方程配方相混淆而致错 16.无论取何值，代数式 的值( ) B A.总大于8 B.总不小于8 C.总不小于11 D.总大于11 17.对二次三项式 进行配方，得 . (1)____， ___. 5 (2)当 为何值时，此二次三项式的值为7？ 解：根据题意得，即 ， ， . ，所以 . 所以当 时，此二次三项式的值为7． 56 易错3：方程两边同时除以含有未知数的式子导致失根 18.一元二次方程 的解是_________________. ， 19.解方程: . 解：移项,得 ， 提公因式,得 ， 化简，得 ， 解得， . 57 易错4：利用根与系数的关系时未考虑“ ”而致错 20.若关于的方程 的两根互为倒数，则 ____. 21.已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ， . (1)求实数 的取值范围； 解：因为方程有两个不相等的实数根， 所以, 解得 . 58 (2)若方程的两实数根，满足，求 的值. 因为，所以 . 又因为 ， 所以， ， 所以 . 因为 ， 所以，即 ， 解得， . 又因为，所以 . 59 整合7：聚焦安徽中考 22.[2024·安徽中考] 解方程： . 解：因为，所以 ， 所以，所以， ． 23.[2023·安徽中考] 【观察思考】 【规律发现】请用含 的式子填空： (1)第 个图案中“ ”的个数为____； 60 爱想念 (爱) - (2)第1个图案中“ ”的个数可表示为 ，第2个图案中“ ”的个数可表示为， 第3个图案中“ ”的个数可表示为 ，第4个图案中“ ”的个数可表示为， ，第 个图案中“ ”的个数可表示为_ _______； 【规律应用】 (3)结合图案中“ ”的排列方式及上述规律，求正整数 ，使得连续的正整数之和 等于第 个图案中“ ”的个数的2倍. 61 解： ， 由(1)知第个图案中有 个 ， 所以，解得(舍去)或 ． 62 主讲： 沪科版八年级数学下册 感谢聆听 $$