6.2　平行四边形的判定 学案 2024-2025学年 青岛版数学八年级下册

6.2　平行四边形的判定 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 1.会证明平行四边形的判定定理1,2 几何直观、推理能力 2.理解平行四边形的判定定理1,2,并学会简单运用 应用意识、模型观念 基础主干落实　　博观约取 厚积薄发 新知要点 对点小练 1.判定定理1 (1)文字叙述:一组对边 的四边形是平行四边形.  (2)符号语言:∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形. 1.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD是平行四边形,下列添加的条件正确的是 ( ) A.AD=BC　 B.∠B=∠C C.∠A=∠D　 D.AB=CD 2.判定定理2 (1)文字叙述:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. (2)符号语言:∵AD=BC, , ∴四边形ABCD是平行四边形. 2.在四边形ABCD中,AB=4,BC=5,当CD= ,DA= 时,四边形ABCD是平行四边形.  重点典例研析　　精钻细研 学深悟透 【重点1】两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念) 【典例1】(教材再开发·P12例1拓展)如图,E,F是▱ABCD对角线AC上的两点,AE=CF. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)连接DE,BF,求证:四边形DEBF是平行四边形. 【举一反三】 (2023·宁夏中考)如图,已知EF∥AC,B,D分别是AC和EF上的点,∠EDC=∠CBE.求证:四边形BCDE是平行四边形. 【技法点拨】 平行四边形判定的方法 1.定义法:两组对边分别平行(无需证明). 2.判定1:两组对边分别相等(利用三角形全等证明). 【重点2】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念) 【典例2】(教材溯源·P15习题6.2T2·2023·广安中考) 如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形. 【举一反三】 1.(2024·深圳质检)四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3,当CD= 时,这个四边形是平行四边形.  2.如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF. (1)求证:△ABC≌△DEF; (2)连接AD,求证:四边形ABED是平行四边形. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(4分·几何直观、模型观念)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是( ) A.AB∥DC,AD=BC B.AB=BC,AD=CD　 C.AD∥BC,AD=BC D.AD=BC,AO=CO 2.(4分·推理能力、运算能力)如图,将两条宽度相同的纸条重叠在一起,使∠BAD=60°,则∠BCD等于 ( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 3.(4分·推理能力、运算能力)如图,四边形ABCD中,对角线BD⊥AD,BD⊥BC,AD=11-x,BC=x-5,则当x= 时,四边形ABCD是平行四边形.  4.(8分·几何直观、模型观念)如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE且AB=DE,AF=DC,求证:四边形BCEF是平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2　平行四边形的判定 第2课时 课时学习目标 素养目标达成 1.能证明对角线互相平分的四边形是平行四边形 几何直观、推理能力 2.理解平行四边形的判定定理3,并学会简单运用 应用意识、模型观念 基础主干落实　　起步起势 向上向阳 新知要点 对点小练 平行四边形的判定定理3 (1)文字叙述:对角线 的四边形是平行四边形.  (2)符号语言:∵AO=OC,BO=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 在四边形ABCD中,已知OA=OC,再添加一个条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是 ( ) A.AB=CD　 B.AD=BC C.OB=OD D.∠BAD+∠ADC=180° 重点典例研析　　学贵有方 进而有道 【重点1】对角线互相平分的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念) 【典例1】(教材溯源·P14例2·2023·杭州中考)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA. (1)求证:四边形AECF是平行四边形. (2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积. 【举一反三】 已知,如图所示,AB,CD相交于点O,AC∥DB,AO=BO,E,F分别是OC,OD的中点. 求证:四边形AFBE是平行四边形. 【技法点拨】 用对角线互相平分判定平行四边形的几种情况 1.当出现线段的中点时; 2.当出现两条线段互相平分时; 3.当要证的平行四边形与已知的平行四边形有一条公共对角线,而另一条对角线在一条直线上时. 【重点2】平行四边形判定定理的综合应用(几何直观、模型观念) 【典例2】如图所示,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点. (1)若AB=CD,只添加一个条件: ,使四边形ABCD为平行四边形;  (2)在(1)的条件下,若BE⊥AC,DF⊥AC,求证:四边形BEDF是平行四边形. 【举一反三】 如图所示,请在下列四个关系中,选出两个恰当的关系作为条件,推出四边形ABCD是平行四边形,并予以证明.(写出一种即可) 关系:①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°. 已知:在四边形ABCD中, , ,  求证:四边形ABCD是平行四边形. 素养当堂测评　　(10分钟·16分) 1.(4分·推理能力、几何直观)如图,已知AB∥CD,增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是 ( ) A.∠1=∠2 B.AD=BC C.OA=OC D.AD=AB 2.(4分·几何直观、模型观念) 在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在下列条件中,①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AB∥CD,AD=BC;④OA=OC,OB=OD;⑤AB∥CD,∠BAD= ∠BCD,能判定四边形ABCD为平行四边形的有 (填序号).  3.(8分·推理能力、几何直观)如图,在▱ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF相交于点O,且AO=CO. (1)求证:△AOF≌△COE; (2)连接AE,CF,则四边形AECF (填“是”或“不是”)平行四边形.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2　平行四边形的判定 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 1.会证明平行四边形的判定定理1,2 几何直观、推理能力 2.理解平行四边形的判定定理1,2,并学会简单运用 应用意识、模型观念 基础主干落实　　博观约取 厚积薄发 新知要点 对点小练 1.判定定理1 (1)文字叙述:一组对边　平行且相等　的四边形是平行四边形.  (2)符号语言:∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形. 1.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD是平行四边形,下列添加的条件正确的是 (D) A.AD=BC　 B.∠B=∠C C.∠A=∠D　 D.AB=CD 2.判定定理2 (1)文字叙述:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. (2)符号语言:∵AD=BC,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 2.在四边形ABCD中,AB=4,BC=5,当CD=　4　,DA=　5　时,四边形ABCD是平行四边形.  重点典例研析　　精钻细研 学深悟透 【重点1】两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念) 【典例1】(教材再开发·P12例1拓展)如图,E,F是▱ABCD对角线AC上的两点,AE=CF. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)连接DE,BF,求证:四边形DEBF是平行四边形. 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠BAE=∠DCF, 在△ABE和△CDF中,, ∴△ABE≌△CDF(SAS); (2)连接DE,BF,如图所示: 由(1)得:△ABE≌△CDF, ∴BE=DF, 同理:DE=BF, ∴四边形DEBF是平行四边形. 【举一反三】 (2023·宁夏中考)如图,已知EF∥AC,B,D分别是AC和EF上的点,∠EDC=∠CBE.求证:四边形BCDE是平行四边形. 【证明】∵EF∥AC,∴∠EDC+∠C=180°. 又∵∠EDC=∠CBE,∴∠CBE+∠C=180°, ∴EB∥DC,∴四边形BCDE是平行四边形. 【技法点拨】 平行四边形判定的方法 1.定义法:两组对边分别平行(无需证明). 2.判定1:两组对边分别相等(利用三角形全等证明). 【重点2】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念) 【典例2】(教材溯源·P15习题6.2T2·2023·广安中考) 如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形. 【自主解答】∵AF=CE, ∴AF-EF=CE-EF,∴AE=CF. ∵∠BAC=∠DCA,∴AB∥CD. 在△ABE与△CDF中,, ∴△ABE≌△CDF(ASA),∴AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 【举一反三】 1.(2024·深圳质检)四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3,当CD=　3　时,这个四边形是平行四边形.  2.如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF. (1)求证:△ABC≌△DEF; (2)连接AD,求证:四边形ABED是平行四边形. 【证明】(1)∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC, ∴BC=EF,在△ABC和△DEF中,, ∴△ABC≌△DEF(SSS); (2)由(1)得:△ABC≌△DEF, ∴∠B=∠DEF,∴AB∥DE,又∵AB=DE, ∴四边形ABED是平行四边形. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(4分·几何直观、模型观念)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是(C) A.AB∥DC,AD=BC B.AB=BC,AD=CD　 C.AD∥BC,AD=BC D.AD=BC,AO=CO 2.(4分·推理能力、运算能力)如图,将两条宽度相同的纸条重叠在一起,使∠BAD=60°,则∠BCD等于 (C) A.30° B.45° C.60° D.120° 3.(4分·推理能力、运算能力)如图,四边形ABCD中,对角线BD⊥AD,BD⊥BC,AD=11-x,BC=x-5,则当x=　8　时,四边形ABCD是平行四边形.  4.(8分·几何直观、模型观念)如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE且AB=DE,AF=DC,求证:四边形BCEF是平行四边形. 【解析】∵AB∥DE, ∴∠BAF=∠EDC, 在△AFB和△DCE中,, ∴△AFB≌△DCE(SAS), ∴FB=CE,∠AFB=∠DCE, ∴∠BFC=∠ECF, ∴FB∥CE,又∵FB=CE, ∴四边形BCEF是平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2　平行四边形的判定 第2课时 课时学习目标 素养目标达成 1.能证明对角线互相平分的四边形是平行四边形 几何直观、推理能力 2.理解平行四边形的判定定理3,并学会简单运用 应用意识、模型观念 基础主干落实　　起步起势 向上向阳 新知要点 对点小练 平行四边形的判定定理3 (1)文字叙述:对角线　互相平分　的四边形是平行四边形.  (2)符号语言:∵AO=OC,BO=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 在四边形ABCD中,已知OA=OC,再添加一个条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是 (C) A.AB=CD　 B.AD=BC C.OB=OD D.∠BAD+∠ADC=180° 重点典例研析　　学贵有方 进而有道 【重点1】对角线互相平分的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念) 【典例1】(教材溯源·P14例2·2023·杭州中考)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA. (1)求证:四边形AECF是平行四边形. (2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积. 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO,BO=DO, ∵BE=DF,∴EO=FO, ∴四边形AECF是平行四边形; (2)∵BE=EF,∴S△ABE=S△AEF=2, ∵四边形AECF是平行四边形, ∴S△AEF=S△CEF=2,EO=FO, ∴S△CFO=1. 【举一反三】 已知,如图所示,AB,CD相交于点O,AC∥DB,AO=BO,E,F分别是OC,OD的中点. 求证:四边形AFBE是平行四边形. 【解析】因为AC∥BD,所以∠C=∠D. 在△AOC和△BOD中, ∴△AOC≌△BOD(AAS), ∴CO=DO. ∵E,F分别是OC,OD的中点, ∴OF=OD,OE=OC,∴EO=FO, 又∵AO=BO, ∴四边形AFBE是平行四边形. 【技法点拨】 用对角线互相平分判定平行四边形的几种情况 1.当出现线段的中点时; 2.当出现两条线段互相平分时; 3.当要证的平行四边形与已知的平行四边形有一条公共对角线,而另一条对角线在一条直线上时. 【重点2】平行四边形判定定理的综合应用(几何直观、模型观念) 【典例2】如图所示,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点. (1)若AB=CD,只添加一个条件:　　　,使四边形ABCD为平行四边形;  (2)在(1)的条件下,若BE⊥AC,DF⊥AC,求证:四边形BEDF是平行四边形. 【自主解答】(1)只添加一个条件:AB∥CD(答案不唯一), ∵AB=CD,AB∥CD, ∴四边形ABCD为平行四边形; 答案:AB∥CD(答案不唯一) (2)如图所示,连接BF,DE, ∵BE⊥AC,DF⊥AC, ∴BE∥DF,∠BEA=∠DFC=90°, ∵AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF, 在△BAE和△DCF中, , ∴△BAE≌△DCF(AAS), ∴BE=DF, 又∵BE∥DF, ∴四边形BEDF是平行四边形. 【举一反三】 如图所示,请在下列四个关系中,选出两个恰当的关系作为条件,推出四边形ABCD是平行四边形,并予以证明.(写出一种即可) 关系:①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°. 已知:在四边形ABCD中,　　,　　,  求证:四边形ABCD是平行四边形. 【解析】已知:①③,①④,②④,③④均可,其余均不可以. 方法一:已知:在四边形ABCD中,①AD∥BC,③∠A=∠C, 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°, ∵∠A=∠C,∴∠C+∠B=180°. ∴AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形. 方法二: 已知:在四边形ABCD中,①AD∥BC,④∠B+∠C=180°, 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵∠B+∠C=180°, ∴AB∥CD,又∵AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形; 方法三: 已知:在四边形ABCD中,②AB=CD,④∠B+∠C=180°,求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵∠B+∠C=180°, ∴AB∥CD,又∵AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形; 方法四: 已知:在四边形ABCD中,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°, 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵∠B+∠C=180°, ∴AB∥CD,又∵∠A=∠C, ∴∠A+∠B=180°,∴AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 素养当堂测评　　(10分钟·16分) 1.(4分·推理能力、几何直观)如图,已知AB∥CD,增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是 (C) A.∠1=∠2 B.AD=BC C.OA=OC D.AD=AB 2.(4分·几何直观、模型观念) 在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在下列条件中,①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AB∥CD,AD=BC;④OA=OC,OB=OD;⑤AB∥CD,∠BAD= ∠BCD,能判定四边形ABCD为平行四边形的有　①②④⑤　(填序号).  3.(8分·推理能力、几何直观)如图,在▱ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF相交于点O,且AO=CO. (1)求证:△AOF≌△COE; (2)连接AE,CF,则四边形AECF　　(填“是”或“不是”)平行四边形.  【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠OAF=∠OCE, 在△AOF和△COE中,, ∴△AOF≌△COE(ASA); (2)四边形AECF是平行四边形,理由如下: 由(1)得:△AOF≌△COE, ∴FO=EO,又∵AO=CO, ∴四边形AECF是平行四边形. 答案:是 学科网（北京）股份有限公司 $$